1、27.2.3 切线(2)2022-12-911.掌握切线长定理,初步学会运用切线长定理进行计算 与证明.(重点)2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.3.学会利用方程思想解决几何问题,体验数形结合思想.(难点)学习目标2022-12-92情境引入同学们玩过空竹和悠悠球吗?在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间,你能从中抽象出什么样数学图形?2022-12-93P1.切线长的定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长叫做切线长AO切线是直线,不能度量.切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量2.切线长与切线的区别在哪里?切线长定理概念学习2022-12-9
2、4思考:PA为O的一条切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B OB是O的一条半径吗?PB是O的切线吗?(利用图形轴对称性解释)PA、PB有何关系?APO和BPO有何关系?O.PAB2022-12-95PO切线长定理:过圆外一点引所画的圆的两条切线,它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分则两条切线的夹角.PA、PB分别切O于A、BPA=PBOPA=OPB几何语言:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.注意知识要点2022-12-96O.PAB已知,如图PA、PB是O的两条切线,A、B为切点.求证:PA=PB,APO=BPO.做一做证明:PA切O于点A,OAPA.同理可得OB
3、PB.OA=OB,OP=OP,RtOAPRtOBP,PA=PB,APO=BPO.2022-12-971.PA、PB是O的两条切线,A、B为切点,直线OP交O于点D、E,交AB于C.(1)写出图中所有的垂直关系;OAPA,OB PB,AB OP.(3)写出图中所有的全等三角形;AOP BOP,AOC BOC,ACP BCP.(4)写出图中所有的等腰三角形.ABP AOB(2)写出图中与OAC相等的角;OAC=OBC=APC=BPC.P练一练2022-12-98P 2.PA、PB是O的两条切线,A,B是切点,OA=3.(1)若AP=4,则OP=;(2)若BPA=60,则OP=.562022-12-
4、99 3.如图,PA、PB是O的两条切线,点A、B是切点,在弧AB上任取一点C,过点C作O的切线,分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7,P=40.则 DOE=.PDE的周长是 ;14OPABCED70解析:连接OA、OB、OC、OD和OE.PA、PB是O的两条切线,点A、B是切点,PA=PB=7.PAO=PBO=90.AOB=360-PAO-PBO-P=140.2022-12-910又DC、DA是O的两条切线,点C、A是切点,DC=DA.同理可得CE=CB.SPDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.OPABCED121212OA=OC,OD=OD,AODCOD,
5、DOC=DOA=AOC.同理可得COE=COB.DOE=DOC+COE=(AOC+COB)=70.2022-12-911切线长问题辅助线添加方法:(1)分别连接圆心和切点;(2)连接两切点;(3)连接圆心和圆外一点.方法归纳2022-12-912问题1 一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,使截出的圆与三角形各边都相切呢?ABCABC三角形的内切圆、内心互动探究2022-12-913问题2 如何作圆,使它和已知三角形的各边都相切?已知:ABC.求作:和ABC的各边都相切的圆.ABCOMND作法:1.作B和C的平分线BM和CN,交点为O.2.过点O作ODBC.垂足为D.3.以O为圆心
6、,OD为半径作圆O.O就是所求的圆.2022-12-9141.与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.4.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.BACIDEF三角形的内心到三角形的三边的距离相等.O是ABC的内切圆,点O是ABC的内心,ABC是O的外切三角形.知识要点2022-12-915名称确定方法图形性质外心:三角形外接圆的圆心内心:三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等;2.OA、OB、OC分别平分BAC
7、、ABC、ACB3.内心在三角形内部ABOABCO填一填2022-12-916例1 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=13cm,BC=14cm,CA=9cm,求AF、BD、CE的长.想一想:图中你能找出哪些相等的线段?理由是什么?ACBEDFO2022-12-917解:设AF=xcm,则AE=xcm.CE=CD=AC-AE=9-x(cm),BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由 BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14,AF=4(cm),BD=9(cm),CE=5(cm).方法小结:关键是熟练运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建
8、立方程.解得 x=4.2022-12-91820 4110 1.如图,PA、PB是O的两条切线,切点分别是A、B,如果AP=4,APB=40 ,则APO=,PB=.P第1题2.如图,已知点O是ABC 的内心,且ABC=60,ACB=80,则BOC=.第2题练练 习习2022-12-9193.如图,PA、PB是O的两条切线,切点为A、B,P=50,点C是O上异于A、B的点,则ACB=.65 或115 P第3题4.ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F三点,如图,已知AF=3,BD+CE=12,则ABC的周长是 .第4题302022-12-920拓展提升:直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm
9、,试问:(1)它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm?(2)若移动点O的位置,使O保持与ABC的边AC、BC都相切,求O的半径r的取值范围.ABCEDFO512022-12-921解:如图所示,设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.ABODCOBBC3,半径r的取值范围为0r3.2022-12-922切线长切 线 长定理作 用图形的轴对称性原 理提供了证线段和角相等的新方法辅助线 分别连接圆心和切点;连接两切点;连接圆心和圆外一点.三角形内切圆运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建立方程.有关概念内心概念及性质应 用小结小结2022-12-923