1、6.4 利用二次曲面的主径面化简二次曲面Simplifying the equation of a quadratic surface by using master diameters6.4.1 二次曲面的主径面方程二次曲面的主径面方程 (the lord diameter surface equation of a quadratic surface)定义定义1 二次曲面（6.1-1）的平行弦的中点轨迹是一个平面，称为共轭于平行弦的径面，而平行弦称为这个径面的共轭弦，平行弦的方向称为这个径面的共轭方向。若方向(X,Y,Z)满足(X,Y,Z)=0，则称(X,Y,Z)为渐进方向，否则称为非渐进
2、方向.不难验证，二次曲面（6.1-1）的对应于方向(X,Y,Z)的径面方程（证明略）为定理定理1 二次曲面的任何径面一定通过它的中心.定义定义2 如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向,那么这个径面就称为二次曲面的主径面.定义定义3 二次曲面主径面的共轭方向（即垂直于主径面的方向）,或者二次曲面的奇向,称为二次曲面的主方向.123,0XF x y zYFx y zZFx y z设二次曲面方程为（6.1-1）,方向（X,Y,Z）如果（X,Y,Z）是（6.1-1）的渐近方向,那么它成为（6.1-1）的主方向的条件是成立,这时称（X,Y,Z）是（6.1-1）的奇向.11121312222313233
3、30,0,0.a Xa Ya Za Xa Ya Za Xa Ya Z如果（X,Y,Z）是（6.1-1）的非渐近方向,那么它成为（6.1-1）的主方向的条件是与它的共轭径面垂直，所以有 从而得 111213122223132333142434()()()()0a Xa Ya Z xa Xa Ya Z ya Xa Ya Z za Xa Ya Z111213122223132333():():():,a X a Y a Za X a Y a Za X a Y a ZX Y Z111213122223132333,.a Xa Ya ZXa Xa Ya ZYa Xa Ya ZZ因此方向（X,Y,Z）成为
4、二次曲面（6.1-1）的主方向的充要条件是存在使得上式成立,把上式改写成 （6.4-2）这是一个关于X,Y,Z的奇次线性方程组,因此X,Y,Z不能全为零,因此，（6.4-3）即111213122223132333()0,()0,()0.aXa Ya Za XaYa Za Xa YaZ1112131222231323330aaaaaaaaa321230III 定义定义4 方程（6.4-3）称为二次曲面（6.1-1）的特征方程,特征方程的根称为二次曲面（6.1-1）的特征根。显然,这里的特征方程与不变量一节中的特征方程是完全相同的.从特征方程（6.4-3）求得特征根,代入（6.4-2）,就可以求出
5、相应的主方向（X,Y,Z）.当=0时,与它相应的主方向为二次曲面的奇向；当0时,与它相应的主方向为非奇主方向,将非奇主方向（X,Y,Z）代入（6.4-1），就得共轭于这个非奇主方向的主径面.例例1 求二次曲面 的主方向与主径面.解解 二次曲面的矩阵是 则 二次曲面的特征方程为 ,所以特征根为=4,3,0.22233222414423 0 xyzxyxzyzxyz3112111711322722313 1 3 7,I 2313111121 11 31 3I33111110.113I 327120 将=4 代入（6.4-2），得解该方程组，得对应于特征根=4的主方向为 （X,Y,Z）=（1,0，-
6、1），将其代入主径面方程（6.4-1）即有 化简得共轭于这个主方向的主径面为：0,30,0.XYZXYZXYZ 32320 xyzxyz 0 xz将=3代入（6.4-2），得解该方程组，得对应于特征根的主方向为 （X,Y,Z）=（1：-1:1）将其代入（6.4-1）并化简得共轭于这个主方向的主径面为：将=0 代入（6.4-2），得解该方程组，得对应于特征根的主方向为 （X,Y,Z）=（1:2:1），这一主方向为二次曲面的奇向(注意：奇向没有对应的主径面）.01zyx0,20,0.YZXYZXY 30,0,30.XYZXYZXYZ二次曲面特征根的性质：定理定理2 2 二次曲面的特征根都是实数.定
7、理定理3 3 特征方程的三个根至少有一个不为零,因而二次曲 面总有一个非奇主方向.推论推论 二次曲面至少有一个主径面.6.4.2 利用主径面化简二次曲面方程利用主径面化简二次曲面方程(Simplifying the equation of a quadratic surface by master diameters)由二次曲面的主径面、主方向、特征根的的一些性质可以得出,化简二次曲面方程（6.1-1）的一般步骤如下：（1）先求解二次曲面（6.1-1）的矩阵的特征方程,求出特征根；（2）根据不同的特征根求出主方向（X,Y,Z）；（3）根据主方向求出主径面 ；（4）取不同特征根下的主径面为新坐标
8、平面作坐标变换,得出曲面的简化方程.321230III123,0XF x y zYF x y zZF x y z例例2 化简二次曲面方程解解 二次曲面的矩阵为 所以曲面的特征方程为 解得二次曲面的三个特征根为=6,3,-2.2225622666 10 0 xyzxyxzyzxyz 13133113,1153333101237,10,36III 327360与特征根=6对应的主方向（X,Y,Z）由方程组决定,解之得对应于特征根=6 的主方向为 （X,Y,Z）=（-8,8,16）=8（-1,1,2）与它共轭的主径面为同理得，特征根=3对应的主方向 （X,Y,Z）=（-5,5,-5）=-5（1,-1,1）与它共轭的主径面为20.xyz 530,350,0.XYZXYZXYZ30 xyz特征根=-2 对应的主方向为 （X,Y,Z）=（20,20,0）=20（1,1,0）与它共轭的主径面为取这三个主径面为新坐标平面作坐标变换 解出,代入原方程得到曲面的化简方程为 显然,这是一个双叶双曲面.0 xy2,63,3.2xyzxxyzyxyz 2226321 0 xyz End谢谢大家！Thank you！
