1、冯西桥弹性力学冯西桥弹性力学07平面问题平面问题B平面问题Chapter 7 平面问题及其分类 平面问题的基本解法 应力函数的性质 直角坐标中的平面问题解例 平面问题的极坐标解 轴对称问题 非轴对称问题 关于解和解法的讨论Chapter 7.4直角坐标解例p 三角级数解三角级数解外载荷外载荷q与解与解 都可展都可展为为Fourier 级数级数或xolHyq应力函数对应力函数对 x 展成三角级数的一般形式：展成三角级数的一般形式：考虑级数中的任意一项：考虑级数中的任意一项：代入协调方程代入协调方程Chapter 7.4直角坐标解例Chapter 7.4平面问题直角坐标解其通解为：其通解为：Cha
2、pter 7.4代入代入 n 就得满足协调方程的一般项：就得满足协调方程的一般项：通过边界条件来确定待定常数。通过边界条件来确定待定常数。直角坐标解例平面问题Chapter 7 平面问题及其分类 平面问题的基本解法 应力函数的性质 直角坐标中的平面问题解 平面问题的极坐标解 轴对称问题 非轴对称问题 关于解和解法的讨论Chapter 7.5平面问题的极坐标解 对于很多工程问题，采用极坐标进行求解更为方对于很多工程问题，采用极坐标进行求解更为方便：便：例如：例如：圆形（柱、轴、筒、盘、环）、楔形、扇圆形（柱、轴、筒、盘、环）、楔形、扇形、带小圆孔的物体、一些半无限大问题，形、带小圆孔的物体、一些
3、半无限大问题，等等。等等。Chapter 7.5基本方程基本方程(1)平衡方程平衡方程(2)几何方几何方程程平面问题的极坐标解Chapter 7.5平面问题的极坐标解(3)本构方程本构方程基本方程基本方程平面应力平面应力Chapter 7.5平面问题的极坐标解 轴向分量为：轴向分量为：平面应力平面应力 平面应变平面应变 平面应变：平面应变：(4)协调方程协调方程Chapter 7.5平面问题的极坐标解基本方程基本方程或Chapter 7.5平面问题的极坐标解 反反之之或Chapter 7.5平面问题的极坐标解Chapter 7.5平面问题的极坐标解 极坐标下的调和算子：极坐标下的调和算子：极坐
4、标平面问题的极坐标平面问题的应力函数解法基本方应力函数解法基本方程程Chapter 7.5平面问题的极坐标解 极坐标下，应力与应力函数的关系式：极坐标下，应力与应力函数的关系式：即应力第一不变量与坐标选择无关。即应力第一不变量与坐标选择无关。位移：位移：Chapter 7.5平面问题的极坐标解Chapter 7.5平面问题的极坐标解2.二阶张量（应力、应变）二阶张量（应力、应变）Chapter 7.5平面问题的极坐标解 或写成：或写成：Chapter 7.5平面问题的极坐标解p 边界条件 rxyoere prp Chapter 7.5平面问题的极坐标解 1r1pr2xyo 2p 2p 1pr1
5、当边界为坐标线时：当边界为坐标线时：=2:=p 1,r =pr1,r=r1:r=-pr2,r =-p 2 (n+1)连通域，位移单值性条件连通域，位移单值性条件平面问题Chapter 7 平面问题及其分类 平面问题的基本解法 应力函数的性质 直角坐标中的平面问题解 平面问题的极坐标解 轴对称问题 非轴对称问题 关于解和解法的讨论Chapter 7.6轴对称问题轴对称问题：轴对称问题：几何形状与载荷分布都与环向坐标几何形状与载荷分布都与环向坐标 无无关关例例1：厚壁筒受内压：厚壁筒受内压 pi,外压外压 poChapter 7.6轴对称问题 例例2：旋转圆盘受：旋转圆盘受离心力离心力 fr=2r
6、例例3：曲梁受纯弯曲：曲梁受纯弯曲:位移与位移与 有关，应力、应有关，应力、应力函数与力函数与 无关无关yxr MMChapter 7.6轴对称问题Mz rMz例例4：圆盘受内、外均匀扭转：圆盘受内、外均匀扭转:应力函数与应力函数与 有关，应力、位移与有关，应力、位移与 无关无关Chapter 7.6轴对称问题p 应力函数解法Chapter 7.6轴对称问题协调方程简化为协调方程简化为四阶欧拉型变系数常微分方程，系数均为实数。四阶欧拉型变系数常微分方程，系数均为实数。Chapter 7.6轴对称问题p 实系数欧拉方程的求解实系数欧拉方程的求解设解具有幂函数形式：设解具有幂函数形式：代入一般形式
7、中消去公因子代入一般形式中消去公因子rk-n，得特征方程，得特征方程Chapter 7.6轴对称问题 其其n个特征根，分别记为个特征根，分别记为k1，k2，kn。当它们为互不相重的实根时，通解形式为：当它们为互不相重的实根时，通解形式为：当出现重根时，每多一重根相应系数就多乘一个对数因当出现重根时，每多一重根相应系数就多乘一个对数因子子lnr。Chapter 7.6轴对称问题 若出现共轭复根，则和虚部对应的是三角函数因若出现共轭复根，则和虚部对应的是三角函数因子。例如，当子。例如，当 时，通解为：时，通解为：当出现重复根时，则实部要多乘对数因子当出现重复根时，则实部要多乘对数因子lnlnr。例
8、。例如，当如，当k1,2为为p重共轭复根时，通解为：重共轭复根时，通解为：设解具有幂函数形式：设解具有幂函数形式：代入一般形式中消去公因子代入一般形式中消去公因子rk-n，得特征方程，得特征方程Chapter 7.6轴对称问题求解应力函数的双重调和方程求解应力函数的双重调和方程Chapter 7.6轴对称问题其特征根：其特征根：通解：通解：应力表示为：应力表示为：Chapter 7.6轴对称问题应变分量：应变分量：Chapter 7.6轴对称问题于是可得位移分量于是可得位移分量Chapter 7.6轴对称问题利用利用：常数Chapter 7.6轴对称问题于是，轴对称位移分量：于是，轴对称位移分
9、量：六个积分常数由边界条件确定。六个积分常数由边界条件确定。位移单值条件要求：位移单值条件要求：B=0Chapter 7.6轴对称问题位移单值条件要求：位移单值条件要求：B=0对于两端自由的轴对称问题，无对于两端自由的轴对称问题，无论轴向有多长都属于平面应力问题。论轴向有多长都属于平面应力问题。Chapter 7.6轴对称问题对于圆域，为防止圆心对于圆域，为防止圆心r=0处出现无限大应力，必须处出现无限大应力，必须令令A=0。于是：。于是：这是个均匀拉压应力状态。这是个均匀拉压应力状态。Chapter 7.6轴对称问题对于无应力对于无应力(A=B=C=0)状态状态,位移分量表达式为：位移分量表
10、达式为：I和和K分别是极坐标原点在分别是极坐标原点在x和和y方向的刚体位移，而方向的刚体位移，而H是绕是绕z轴的刚体转动。轴的刚体转动。Chapter 7.6轴对称问题一般轴对称问题的位移是与一般轴对称问题的位移是与有关的。如果限制原点的刚体位有关的。如果限制原点的刚体位移移(I=K=0),且考虑位移单值情况且考虑位移单值情况(B=0)，则位移与，则位移与 无关。如进无关。如进一步限制刚体转动一步限制刚体转动(H=0)，则只剩下径向位移：，则只剩下径向位移：其中Chapter 7.6轴对称问题p 位移解法限制原点的刚体位移和转动，由对称性可设：限制原点的刚体位移和转动，由对称性可设：代入几何方
11、程、本构方程、平衡方程，得位移表示代入几何方程、本构方程、平衡方程，得位移表示的平衡方程：的平衡方程：Chapter 7.6轴对称问题该欧拉方程的通解为：该欧拉方程的通解为：利用轴对称的应力公式利用轴对称的应力公式 ，得：，得：Chapter 7.6轴对称问题例例1 1 厚壁筒的厚壁筒的 Lam 解解边界条件为：边界条件为：Chapter 7.6轴对称问题应力结果（拉梅公式）：应力结果（拉梅公式）：它和弹性常数无关，因而同时适用于两类平面问题。它和弹性常数无关，因而同时适用于两类平面问题。但是在平面应力中但是在平面应力中 ，而平面应变中，而平面应变中Chapter 7.6轴对称问题位移：位移：
12、可见与弹性常数有关，对平面应变需做弹性常数替换。可见与弹性常数有关，对平面应变需做弹性常数替换。平面问题Chapter 7 平面问题及其分类 平面问题的基本解法 应力函数的性质 直角坐标中的平面问题解 平面问题的极坐标解 轴对称问题 非轴对称问题 关于解和解法的讨论当载荷分布与环向坐标当载荷分布与环向坐标有关时，应力函数可展成三角级数：有关时，应力函数可展成三角级数：其中第一项其中第一项0是解的轴对称分量。是解的轴对称分量。对于环向不闭合的楔形域或扇形域，应力函数展开式中还将出现对于环向不闭合的楔形域或扇形域，应力函数展开式中还将出现因子因子的函数项的函数项Chapter 7.7非轴对称问题C
13、hapter 7.7非轴对称问题J.H.Michell 给出极坐标通解给出极坐标通解 (1899)Chapter 7.7非轴对称问题+C03 (不引起应力不引起应力)+C13rcos (不引起应力不引起应力)+C13rsin (不引起应力不引起应力)Chapter 7.7非轴对称问题几个典型问题几个典型问题(1)闭合圆环形域：边界：闭合圆环形域：边界：r=常数常数 的的 复连通域，周期复连通域，周期性性(2)曲梁：曲梁：单连通域。单连通域。边界：边界：r=常数（主要边），常数（主要边），=常数（次要边）常数（次要边）(3)楔形体：楔形体：单连通域。单连通域。边界边界：=常数（主要边），常数（主
14、要边），r=常数（次要边）常数（次要边）bayxr oyxr oChapter 7.7非轴对称问题-qqaq-qxy 例1 小孔应力集中应力集中系数：应力集中系数：max 为最大局部应力；为最大局部应力；0 为为名义应力名义应力。Chapter 7.7非轴对称问题外圆边界外圆边界r rb b上的应力边界上的应力边界条件：条件：-qqaq-qxy Chapter 7.7非轴对称问题-qqaq-qxy 在内孔处的边界条件为：在内孔处的边界条件为：(1)应设为：应设为：代入协调方程得：代入协调方程得：Chapter 7.7非轴对称问题其特征方程为：其特征方程为：通解为：通解为：Chapter 7.7
15、非轴对称问题应力：应力：利用边界条件，定出积分常数：利用边界条件，定出积分常数：其中其中Chapter 7.7非轴对称问题对无限大板小圆孔情况，对无限大板小圆孔情况，各常数简化为：各常数简化为：等值拉压无限大板中，小圆孔附近的应力：等值拉压无限大板中，小圆孔附近的应力：Chapter 7.7非轴对称问题 具有小圆孔的无限大平板受到远场均匀拉力具有小圆孔的无限大平板受到远场均匀拉力q1aq2q1q2xyChapter 7.7非轴对称问题q1aq2q1q2xyaxy=+qqaqqxy Chapter 7.7非轴对称问题关于关于 =45的反对称问题的解的反对称问题的解周期函数周期函数qqaqqxy
16、Chapter 7.7非轴对称问题baxyo rqqaqqxy Chapter 7.7非轴对称问题qa 0y x3 03 0-0单向均匀拉伸单向均匀拉伸 0的孔板（的孔板（Kirsch问题）问题）平面问题Chapter 7 平面问题及其分类 平面问题的基本解法 应力函数的性质 直角坐标中的平面问题解 平面问题的极坐标解 轴对称问题 非轴对称问题 关于解和解法的讨论Chapter 7.8解和解法的讨论 本章各解例的基本出发点是：假设问题的解由各本章各解例的基本出发点是：假设问题的解由各项可以分离变量的函数组成，即令项可以分离变量的函数组成，即令 然后按如下步骤求解：然后按如下步骤求解：设法判断应
17、力函数沿主要边界的坐标方向上的函数设法判断应力函数沿主要边界的坐标方向上的函数变化规律变化规律(例如例如fi(x)或或gi()。Chapter 7.8解和解法的讨论 代入应力函数解法基本方程，确定另一坐标方向代入应力函数解法基本方程，确定另一坐标方向上的函数变化规律上的函数变化规律(例如例如gi(y)或或fi(r)利用边界条件定出解中所含的待定常数。利用边界条件定出解中所含的待定常数。第一步的判断带有一定的第一步的判断带有一定的经验性经验性，主要方法是：，主要方法是：a)根据几何形状和载荷分布的特点来判断物体内部根据几何形状和载荷分布的特点来判断物体内部应力和应力函数的分布规律。应力和应力函数
18、的分布规律。b)把应力函数沿主要边界的分布规律推广到域内。把应力函数沿主要边界的分布规律推广到域内。Chapter 7.8解和解法的讨论c)对有些问题可以参考材料力学或其他简化理论的结对有些问题可以参考材料力学或其他简化理论的结果，但应注意选其中反映问题本质的那些变化规律。果，但应注意选其中反映问题本质的那些变化规律。d)灵活应用叠加原理。把几个能满足域内方程的解灵活应用叠加原理。把几个能满足域内方程的解叠加起来去共同满足边界条件。叠加起来去共同满足边界条件。第三步的关键是要正确地给定边界条件。在第三步的关键是要正确地给定边界条件。在主要边界上应逐点给定力或位移的边界条件；在放主要边界上应逐点给定力或位移的边界条件；在放松边界上则以积分形式给定合力和合力矩的边界条松边界上则以积分形式给定合力和合力矩的边界条件；在集中力作用处，应转化为附近球面上的积分件；在集中力作用处，应转化为附近球面上的积分形式条件。形式条件。Chapter 7平面问题！
