1、精品课件第六章 计数原理新人教版 排列与组合排列与组合特级教师优秀课件精选教学目标教学目标理解排列的概念及排列数公式。进一步加深理解排列与组合的概念。能综合运用排列、组合解决计数问题。教学重点教学重点教学难点教学难点理解组合的两个性质,并能解决简单组合数问题.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.理解组合的两个性质,并能解决简单组合数问题.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？试写出所有情况起点站终点站北京上海广州北京广州北京上海北京上海广州北京广州北京上海飞机票 上海广州上海广州广州北京上海我们把上面问题中被取的对象
2、叫做元素。于是，所提出的问题就是从3个不同的元素a、b、c中任取2个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法。由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？112211341231241313 41414232122223412312413134142 422 33122341232413344142333334122234131241334142434444一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个不相同元素（只研究被取出的元素各的情况），按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。概念形成概念形成排列的定义中包含两个基本内容
3、：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”，“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。概念深化概念深化根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同。排列的概念；不需要考虑特别元素的排列；需要考虑特殊元素的排列。排列排列下列问题是排列问题吗？（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多
4、少条直线？可确定多少条射线？（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？不是是不是是是1.某省中学生足球赛预选赛每组有6 支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛?解:可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队。按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为6X5=30.2.(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法?(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法?解:(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，
5、最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为 (2)可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法:再让同学乙从5种菜中选1.种，也有5种选法;最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.按分步乘法计数原理，不同的选法种数为3.写出:(1)用04这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数;(2)从a,b,c，d中取出2个字母的所有排列.答案：(1)10,20,30,40,12,13,14,21,23,24,31,32,34,41.42,43 (2)ab,ac,ad,be,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc4.下列问题属于排列问题的是()从10个人中选2人分
6、别去种树和扫地;从10个人中选2人去扫地;从班_上30名男生中选出5人组成一个篮球队;从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.A.B.C.D.A5.一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序?答案：24.6.(1)5名运动员中有3名参加乒乓球团体比赛，如果前三场单打比赛每名运动员各出场1次，那么前三场单打比赛的顺序有几种?(2)乒乓球比赛规定，团体比赛采取5场单打3胜制，每支球队由3名运动员参赛，前三场各出场1次，其中第1,2个出场的运动员分别还将参加第4,5场比赛.写出甲、乙、丙三人参加比赛可能的全部顺序.答案：(1)80(2)甲乙丙;甲丙乙;乙甲丙;乙丙甲;丙甲乙
7、;丙乙甲;甲乙丙甲;甲丙乙甲;乙甲丙乙;乙丙甲乙;丙甲乙丙;.丙乙甲丙;甲乙丙甲乙;甲丙乙甲丙;乙甲两乙甲:乙丙甲乙丙;丙甲乙丙甲;.(1)判断一个问题是不是排列问题，关键看是否与元素的顺序有关若与顺序有关，就是排列问题，与顺序无关，就不是排列问题，必要时可以变换元素的顺序比较是否有变化(2)枚举所有排列时注意“树形图法”、“列表法”等方法的应用小结小结从1,2,3,4,5,6中选出四个数字，能构成多少个没有重复数字的四位数？答案6543360(个).若从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列，有多少种不同的排法？答案：n(n1)(n2)(nm1)种.梳理梳理(1)排列数的定义从n个不同元
8、素中取出m(mn)个元素的 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示.(2)排列数公式(3)全排列一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.所有排列的个数=公式推导公式推导第1位 第2位nn-1第1位第2位第3位第m位nn-1 n-2n-m+1得出结论得出结论利用排列数公式解方程利用排列数公式解方利用排列数公式解方程程1.计算(1);(2);(3);(4);解：根据排列数公式可得(1)(2)(3)(4)2.用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解：百位十位个位从09这10个数字中选取3个的排列数为 ,其中0在百位上的排列数为 ，它们的
9、差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为A.B.C.D.DA.B.C.D.D4.求证：(1)(2)3.一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停故4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法?答案：1680.排列数的两个公排列数的两个公式式(1)排列数的第一个公式 n(n1)(n2)(nm1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可.(2)排列数的第二个公式 用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n、mN，mn”的运用.（
10、1）从甲、乙、丙3名同学中选出2 名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分别写出来.（2）从甲、乙、丙3 名同学中选出2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法？分别写出来。以上两个问题有什么不同吗？问题一问题一（1）从a,b,c,d 4位同学中选出 3 位从左到右排起来照相，有多少种不同的方法？分别写出来.（2）从 a,b,c,d 4位同学中选出 3 位参加学生代表大会，有多少种不同的选法？分别写出来.问题二问题二以上两个问题有什么不同吗？一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合
11、定义组合定义排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”组合的原理；组合的简单应用。组合组合1.平面内有 A,B,C,D共4个点.(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条?解:(1)一条有向线段的两个端点要分起点和終点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为 这12条有向线段分别为:(2)由于不考虑两个端点的顺序，因此将(1)中端点相同、方向不同
12、的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条:AB,AC,AD,BC,BD,CD.2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛.(1)列出所有各场比赛的双方:(2)列出所有冠、亚军的可能情况.解：(1)甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛,共 =6种比赛场次,分别为(甲乙),(甲丙),(甲丁),(乙丙),(乙丁),(丙丁),(2)所有冠亚军的可能有A=12种，分别为(甲乙丙丁),(甲丙乙丁),(甲丁乙丙),(乙甲丙丁),(乙丙甲丁),(乙丁甲丙)，(丙甲乙丁),(丙乙甲丁),(丙丁甲乙)，(丁甲乙丙),(丁乙甲丙),(丁丙甲乙).3.已知平面内A,B,C
13、,D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形.4.现有1,3,7,13这4个数.(1)从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和?(2)从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差?答案：(1)6;(2)11.排列数公式的意义：n(n1)(n2)(nm1)=(n、m ，mn)是“取出第1个元素放到第1位”的方法数、“取出第2个元素放到第2位”的方法数、“取出第m个元素放到第m位”的方法数的乘积.所以，是以上m步的集成的运算公式！也可以这样认为：是“取出m个不同元素”的方法数m1，与“按照一定顺序将m个不同元素排成一列”的方法数m2的乘积.问题一
14、：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？选出来，并排序！得到是“有序列”排列.元素有序.问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙有3种不同的选法！无顺序选出来，但没有排序！得到的是“组”组合.元素无序有顺序新授概念新授概念组合数:从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示如何计算?组合数公式组合数公式组合数公式性质备注n、m ，mn规定：11利用组合数公式解方程。组合数公式解方组合数公式解
15、方程程1.计算：2.在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?解:(1)(2)(3)A.B.C.D.BA.B.C.D.CA.B.C.D.B150A.B.C.D.A均匀分堆问题；部分均匀分堆问题;分情况讨论分堆.分堆问题分堆问题A.B.C.AA.B.C.D.A1.先计算，然后用计算工具检验。(1)(2)(3)(4)答案：(1)15;(2)36;(3)20;(4)148.2.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，
16、现要从中选3门成绩.(1)共有多小种不同的请法?门(2)如果物理和化学恰有1门被迭，那么共有多少种不同的法?(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法?答案：(1)20;(2)12;(3)16.3.壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值?答案：154.填空题(1)有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是_;(2)要从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，不同方法的种数是_;(3)5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是_;(4)集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是 .1060243m
17、n5.一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上.(1)如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法?(2)如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法?答案：(1)665280;(2)103680.6.(1)空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面?(2)空间中有10个点，其中任何4个点不共面，过每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体?答案：(1)56;(2)210.7.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐
18、节目要求排在第2,5,7,10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3,6,9的位置，2个曲艺节目要求排在第4,8的位置，有多少种不同的排法?答案：2888.班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛.(1)每个小组的代表队有多少种选法?(2)如果每支代表队还必须指定1名队长，那么每个小组的代表队有多少种选法?(3)如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法?答案：(1)495;(2)1980;(3)11880.9.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，(1)如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法?i(
19、2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法?(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法?(4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法?答案：(1)60;(2)21;(3)91;(4)120.10.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会.(1)如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法?(2)如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法?答案：(1)63;(2)32.11.从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验.(1)抽出的产品都是合格品的抽法有多少种?(2)抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种?答案：(1)(2)(3)(4)总结总结排列的定义一般的，从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。组合的定义一般的，从n个不同元素中，任意取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合排列数的计算公式组合数定义从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.
