1、数学史与初中数学教学数学史与初中数学教学 如何在数学教学中体现如何在数学教学中体现“立德树人立德树人”的根本任务，如何实施数的根本任务，如何实施数学学科德育，日益受到人们的关注。学学科德育，日益受到人们的关注。基于数学核心素养的培养要求，教师需要实现数学课堂的转型。基于数学核心素养的培养要求，教师需要实现数学课堂的转型。2017年普通高考考试大纲修订：充分发挥高考命题年普通高考考试大纲修订：充分发挥高考命题的育人功能的育人功能和积极导向作用，在数学中增加数学文化的内容和积极导向作用，在数学中增加数学文化的内容。数学史融入数学教材已经成了人们关注的重要课题。数学史融入数学教材已经成了人们关注的重
2、要课题。数学史融入数学教学的成效在实践中得到了检验，越来越多的数学史融入数学教学的成效在实践中得到了检验，越来越多的中学一线教师对中学一线教师对HPM产生浓厚兴趣。产生浓厚兴趣。背背 景景有效教学效果成绩、认知、情感效益育智、育德、育美效率减负增效学有所得学有所用学有得法背背 景景一门科学的历史就是这门一门科学的历史就是这门科学本身。科学本身。J.W.von Goethe(1749-1832)背背 景景歌歌 德德歌德歌德颜色理论颜色理论序序uF克萊因克萊因（F.Klein,1849-1925）背背 景景科科学学的教的教学学方法只是方法只是诱导诱导去作科去作科学学的思考的思考，并并不是不是一一开
3、开头头就教人去碰就教人去碰冷漠冷漠的、的、经过经过科科学洗练学洗练的系的系统统。推。推广这种广这种自然的真正自然的真正科学的科学的教教学学的主要障的主要障碍碍是缺乏是缺乏历史知识。历史知识。背背 景景 为什么规定 ，而不是？u中学教师心目中的疑难问题中学教师心目中的疑难问题nmnmaamnnmaa 负负得正不能用数学语言来证明吗？只能通过数学模型来帮助理解吗？为什么把平面直角坐标系的四个部分叫象限？无理数和有理数的定义是如何产生的？正比例函数和反比例函数是什么意思？是“正向变化和反向变化”？FUNCTION 为什么译为“函数”？1972197619842020背背 景景ICME-2：历史与教学
4、历史与教学之关系国际之关系国际研 究 小 组研 究 小 组（HPM）ICME-3：H P M 正 式正 式隶属于国际隶属于国际市教育委员市教育委员会（会（ICMI）ICME-5：HPM卫星会卫星会议在澳大利议在澳大利亚举行亚举行ICME-14：H P M 卫 星卫 星会议将在中会议将在中国举行国举行HPM：Relationship between History and Pedagogy of Mathematics背背 景景HPM领域的研究课题领域的研究课题HPM为何与为何与如何之如何之探讨探讨教育取教育取向之历向之历史研究史研究历史相历史相似性实似性实证研究证研究教学实教学实践与案践与案例
5、开发例开发HPM与与教师专教师专业发展业发展数学史数学史融入教融入教材研究材研究数学史的教育价值与数学课程目标背背 景景背背 景景HPM教学设计、实施、评价与案例写作教学设计、实施、评价与案例写作 数学史融入初中数学教学：材料、原则、方式与价值数学史融入初中数学教学：材料、原则、方式与价值背背 景景 数学史料数学史料 人物事人物事件件 概念术概念术语语 数学问数学问题题 公式定公式定理理 学科思学科思想想 工具符工具符号号选材原则选材原则 趣味性趣味性 可学性可学性 科学性科学性 有效性有效性 人文性人文性运用方式运用方式 附加式附加式 复制式复制式 顺应式顺应式 重构式重构式效果评价效果评价
6、 知识之知识之谐谐 方法之方法之美美 探究之探究之乐乐 能力之能力之助助 文化之文化之魅魅 德育之德育之效效选题与准备选题与准备背背 景景l 教师按照教学进度确定课题。l 对相关主题的历史进行研究。l 选取合适的历史素材，供教师学习。设计与研讨设计与研讨背背 景景l 教师初步完成教学设计。l 共同体成员对进行设计进行研讨。l 教师对教学设计进行改进。教学目标、重难点；已发表或常用的教学设计；数学史介绍；教学设计中史料的适切性（趣味性、可学性、科学性、人文性、有效性）；数学史的运用方式（附加式、复制式、顺应式、重构式）实施与评价实施与评价背背 景景l 课堂实施；l 课堂观察；l 学生反馈（问卷调
7、查与访谈）；l 评议交流 情感；认知。整理与写作整理与写作背背 景景l 课堂实录；l 数据整理；l 课例写作；l 论文发表；l 教学反思 引言（背景，教学目标等）；数学史料及其运用；教学设计与实施（教学环节+片段）学生反馈（数据整理）结语（目标达成；反思；启示）背背 景景教师专业发展教师专业发展信念信念知识知识能力能力教学取向的数学知识（教学取向的数学知识（MKT）的构成）的构成案例案例1 有理数的乘法有理数的乘法司汤达的故事。如何解决司汤达的故事。如何解决“债务乘以债务等于收入债务乘以债务等于收入”这一悖论？这一悖论？引入引入M.克莱因的债务模型：某人每天欠债克莱因的债务模型：某人每天欠债5
8、美元。美元。三天以前欠债三天以前欠债今日财务今日财务三天后的财务三天后的财务(-3)(-5)03(-5)案例案例1 有理数的乘法有理数的乘法 探究探究类比类比M.克莱因的债务模型，提出其他解释。克莱因的债务模型，提出其他解释。归纳归纳债务模型；运动模型；运算模型；故事模型债务模型；运动模型；运算模型；故事模型 拓展拓展微视频（历史上的其他模型）微视频（历史上的其他模型）案例案例1 有理数的乘法有理数的乘法 小结小结 质疑与探究；质疑与探究；说理与求真；说理与求真；倾听与尊重；倾听与尊重；困难与困惑；困难与困惑；思考与学问思考与学问如果司汤达来打我们今天的课堂，他对负负得正的如果司汤达来打我们今
9、天的课堂，他对负负得正的解释满意吗？解释满意吗？德育之效案例案例2 实数的概念实数的概念问题问题1：我们熟悉的：我们熟悉的A4纸，长和宽的比是什么？纸，长和宽的比是什么？复习旧知复习旧知 新课探究新课探究案例案例2 实数的概念实数的概念问题问题1：我们熟悉的：我们熟悉的A4纸，长和宽的比是什么？纸，长和宽的比是什么？案例案例2 实数的概念实数的概念问题问题2：已知正方形边长为：已知正方形边长为1，如何求它的对角线呢？，如何求它的对角线呢？思考：我们知道，已知正方形的面积，可以求相应的思考：我们知道，已知正方形的面积，可以求相应的边长。那么，能否构造以正方形对角线为边长的正方边长。那么，能否构造
10、以正方形对角线为边长的正方形呢？形呢？案例案例2 实数的概念实数的概念拼图方案之一拼图方案之一拼图方案之二拼图方案之二案例案例2 实数的概念实数的概念拼图方案之三拼图方案之三案例案例2 实数的概念实数的概念问题问题3：所得到的正方形的面积为：所得到的正方形的面积为2，其边长为多少呢？，其边长为多少呢？2212xx在 和 之间22221.41.961.411.98811.4141.9993961.41421.99996164,结论：找不到一个有限小数或无限循环小数表示结论：找不到一个有限小数或无限循环小数表示x。案例案例2 实数的概念实数的概念视频：视频：无理数的历史（无理数的发现；无理数理论无
11、理数的历史（无理数的发现；无理数理论的发展；无理数的辞源）的发展；无理数的辞源）的引入，几何意义的引入，几何意义2 根号的历史根号的历史 概念形成概念形成问题问题4：面积为：面积为3和和5的正方形边长分别为多少？的正方形边长分别为多少？无理数的定义无理数的定义案例 2 实数的概念 感悟理性精神 再现无理数的自然发现过程 获得“再创造”的机会 生活中的无理数；无理数的历史 根号的历史德育之效知识之谐探究之乐文化之魅 正方形面积与边长之和为3/4，求边长。（x2+x=3/4）u古巴比伦泥版上的方程及其解法古巴比伦泥版上的方程及其解法21/23/41/21/2x 数学泥版数学泥版 BM 13901案
12、例3 用字母表示数解法：写下系数1。将1折半。将1/2自乘，得1/4。将1/4与3/4相加，得1的平方。从1中减去1/2，得1/2，即正方形边长。u塞琉古时期泥版上的数列求和塞琉古时期泥版上的数列求和1222221999221222221nnn数学泥版数学泥版 AO 6484（塞琉古时期，约塞琉古时期，约公元前公元前300年）年）2222121231011055 38533 22221212311 2 333nnn 案例3 用字母表示数u古埃及纸草书上的方程问题古埃及纸草书上的方程问题1197xx71778711821948111172164828x 假设答案为,案例3 用字母表示数一个量，加
13、上它的 1/7，等于19。求该量。假设法假设法案例3 用字母表示数u毕达哥拉斯学毕达哥拉斯学派派的形数理论的形数理论三角形数：1 3 6 10 15 21 28 36 45 112312nn n 毕达哥拉斯学派无法回答：毕达哥拉斯学派无法回答：任一三角形数任一三角形数是多少？是多少？案例3 用字母表示数正方形数：1 4 9 16 25 36 49 64 81 u毕达哥拉斯学毕达哥拉斯学派派的形数理论的形数理论21 3(21)nn 21231132 1nnnn 毕达哥拉斯学派无法回答：毕达哥拉斯学派无法回答：任一任一正方形正方形数数是多少？是多少？案例3 用字母表示数命题命题IX.20：预先任意
14、给定几个素数，则有比它们更多的素数。欧几里得用的证明：设A、B、C是预先给定的素数，。u欧几里得的欧几里得的几何原本几何原本欧几里得不能表达“任意多个”素数，只能设具体的几个。Euclid案例3 用字母表示数u丢番图丢番图用字母表示用字母表示未知数未知数 已知两数的和与差，求这两个数。已知两数的和与差，求这两个数。设和为100，差为40，较小数为 x，则较大数为 x+40，于是2x+40=100，故 x=30，较大数为70。已知两数的和与积，求这两个数。已知两数的和与积，求这两个数。设和为20，乘积为96，则所求数为10+x和10-x。于是100-x2 =96，x=2，故所求数为12和8。算术
15、算术第第1卷问题举例卷问题举例丢番图在算术中首次用字母“”来表示未知数。案例3 用字母表示数中文名中文名梵文音译名梵文音译名首音节首音节表示的数表示的数常数Ruparu常数项多少yvat-tvatya第一未知数黑色Calacaca第二未知数蓝色Nlacan第三未知数黄色Ptacap第四未知数白色Pandupa第五未知数红色Lohitalo第六未知数平方数yvat-tvat vargaya vx2平方根Carancu印度数学家用字母表示数印度数学家用字母表示数分析之术用元音字母表示所求量，用辅音字母来表示已知量。案例3 用字母表示数u韦达与韦达与符号代数符号代数Franois Vite(1540
16、-1603)设B为两数之差，D为两数之和，要求这两个数。设较小数为A，则较大数为A+B，故两数之和为2A+B。于是2A+B=D，2A=D-B，A=B/2-D/2。又设较大数为E，则较小数为E-B，故两数之和为2E-B。于是，2E-B=D，2E=D+B，E=D/2+B/2。韦达解丢番图问题：已知两数韦达解丢番图问题：已知两数的和与差，求这两数。的和与差，求这两数。公元前1700年16世纪公元3世纪古巴比伦人古巴比伦人修辞代数：修辞代数：用文字来表达用文字来表达一个方程一个方程丢番图丢番图缩略代数：缩略代数：用字母表示未用字母表示未知数知数符号代数符号代数用字母表示任用字母表示任意数意数韦韦 达达
17、案例3 用字母表示数u教学设计教学设计引入 古埃及一元一次方程问题古埃及一元一次方程问题探究 古希腊丢番图问题的求解古希腊丢番图问题的求解形成形成 用字母表示任意数或一类数用字母表示任意数或一类数巩固 字母表示数的应用字母表示数的应用小结小结 字母表示数的意义字母表示数的意义案例3 用字母表示数案例3 用字母表示数问题问题1：一个量，加上它的2/3，它的1/2和它的1/7，等于33。求该量。21133327xxxx案例3 用字母表示数问题问题2：已知两数的和与差，你能求出这两个数吗？案例3 用字母表示数问题问题3：搭5个正方形，需要几根火柴棍？搭任意多个正方形呢？44+134+234+33生：
18、任意多个正方形所需火柴棍数：生：任意多个正方形所需火柴棍数：4+(正方形个数正方形个数-1)3案例3 用字母表示数 字母表示数字母表示数的历史的历史 经历字母表经历字母表示数的自然示数的自然发生过程发生过程 积累数学活积累数学活动经验动经验 对数学和数对数学和数学活动本质学活动本质的认识；的认识；自信心自信心文化之魅知识之谐探究之乐德育之效案例4 平方差公式没有哪一种数学思想是以被发现的方式发表的。如果一个问题得到了解决，人们就会开发和运用技术，将解法颠倒过来从而将火热的发明变成了冰冷的美丽。H.Freudenthal(1905-1995)火热的发明与冰冷的美丽火热的发明与冰冷的美丽案例4 平
19、方差公式乘法公式在教科书中的乘法公式在教科书中的引入引入案例4 平方差公式 数学泥版数学泥版 YBC 466322211324921021613321634124xyxyxyxyxyxy116,722xyxy案例4 平方差公式351246522751812221912xyxyxyxxyxyy泥版上的和差术二元一次方程组问题：二元一次方程组问题：22222,222244,2424xyaaaxt ytxybaattbatbatbaaaaxb yb 勾实之矩以股弦差为广，股勾实之矩以股弦差为广，股弦并为袤弦并为袤，而股实方其里。以差除勾实，得股弦并。以并除勾实，亦得股弦差。令并自乘，与勾实为实，倍并
20、为法，所得亦弦。勾实减并自乘，如法为股。)(222bcbcbca案例4 平方差公式赵爽与平方差公式赵爽与平方差公式周髀算经周髀算经勾股圆方图注勾股圆方图注股实之矩以勾弦差为广，勾以勾弦差为广，勾弦并为袤弦并为袤，而勾实方其里。以差除股实，得勾弦并，以并除股实，亦得勾弦差。令并自乘，与股实为实，倍并为法，所得亦弦。股实减并自乘，如法为勾。222()()bcaca ca案例4 平方差公式周髀算经周髀算经勾股圆方图注勾股圆方图注赵爽与平方差公式赵爽与平方差公式 已知已知 a，c-b，求，求 b和和c九章算术九章算术勾股章勾股章：“今今有池方一丈，葭生其中央有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，
21、出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长适与岸齐。问水深、葭长各几何。各几何。”bcbcab222平方差公式与勾股算术平方差公式与勾股算术案例4 平方差公式acb 已知已知a，b+c，求，求b，c 九章算术九章算术勾股章勾股章：今有今有竹高一丈，末折抵地，去竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何。本三尺。问折者高几何。bcabcb221案例4 平方差公式平方差公式与勾股算术平方差公式与勾股算术案例4 平方差公式芝诺多鲁斯（Zenodorous,公元前2世纪）论等周图形：在边数相同的等周多边形中，等边且等角的多边形面积最大。古希腊等周问题与平方差公式古希腊等周问题与平方差公式周长为4a的长
22、方形中，正方形面积最大。设长方形的长为a+b，宽为a-b，则面积为a2-b2。古希腊历史学家修昔古希腊历史学家修昔底德（公元前底德（公元前5世纪）世纪）利用周长来估计西西利用周长来估计西西里岛的大小里岛的大小案例4 平方差公式莉拉沃蒂（12世纪）中的平方算法22aababb22297297329733300 294988209婆什迦罗与平方差公式婆什迦罗与平方差公式莉拉沃蒂莉拉沃蒂梵文版梵文版案例4 平方差公式 新课引入新课引入从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为a米的正方形土地租给佃户张老汉。第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也
23、没有吃亏，你看如何?”张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧。”回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”张老汉非常吃惊。你知道张老汉真的吃亏了吗？案例4 平方差公式问问题题1：一个边长为7.9的正方形的面积是多少？在这个正方形左上角割去一个边长为2.1的正方形，你能求出剩余部分的面积吗？公式证明公式证明案例4 平方差公式问问题题2：在一个边长为a的正方形左上角割去一个边长为b（ab）的正方形，你能表示出剩余部分的面积吗？公式证明公式证明案例4 平方差公式历史介绍历史介绍面积割补的证明方法是中国数学家赵爽所给出的，赵爽的生平人们知之甚少，在周髀算经注的前言里，赵爽
24、说自己“负薪余日，聊观负薪余日，聊观周髀周髀”，意思是说，在打柴的空余时间里，钻研古代天文学著作周髀算经，迫于生计，辛苦劳作，却不忘做学问，古人的勤奋，感人至深。在一个边长为a的正方形左上角割去一个边长为b（b a）的正方形，若沿虚线剪开，能否得到平方差公式？案例4 平方差公式拓展思考拓展思考案例4 平方差公式公式特征公式特征案例4 平方差公式公式运用公式运用练习练习1 填表（略）练习练习2 运算（略）练习3（丢番图算术中的问题）已知两个正数已知两个正数的和为的和为 20，乘积为，乘积为 96，求这两个数。，求这两个数。丢番图的解法：假设所求两数分别为 10+x和 10-x，则(10+x)(1
25、0-x)=96，即100-x2=96，故 x2=4，x=2。案例4 平方差公式佃户张老汉真的吃亏了吗？（学生用几何和代数两种方法证明：张老汉所得的土地少了25平方米。）回到回到土地问题土地问题更一般的结论：两个多边形周长相等时，其面积不两个多边形周长相等时，其面积不一定相等一定相等。泥版上的数学问题：已知泥版上的数学问题：已知正方正方形边长为形边长为30，求对角线。，求对角线。数学泥版数学泥版 YBC 7289（约（约1600BC）23245110211.4142156606060 案例5 完全平方公式12341;12311.5;2121 32171.4166;2 23/2121 172204
26、1.41421562 1217/12577aaaa古巴比伦开方术古巴比伦开方术案例5 完全平方公式中国古代的开方术中国古代的开方术案例5 完全平方公式莉拉沃蒂（12世纪）中的平方算法2222abaabb婆什迦罗与平方差公式婆什迦罗与平方差公式莉拉沃蒂莉拉沃蒂梵文版梵文版222210005100005100002 5 100005 案例5 完全平方公式问题问题1：面积为：面积为4和和9的正方形边长分别为多少？的正方形边长分别为多少？问题问题2：面积为：面积为5的正方形边长为多少？的正方形边长为多少？225x案例5 完全平方公式问题问题3：利用多项式乘法，计算：利用多项式乘法，计算(2+x)2。你
27、能用类似。你能用类似的方法计算的方法计算(a+b)2 吗？吗？问题4：你是否能够利用手中的三块正方形纸片的面积关系来验证这个等式？2222abaabb案例5 完全平方公式问题问题4：把：把a+b中的中的+改为改为-，请用你能想到的方法计，请用你能想到的方法计算算(a-b)2。【代数代数/几何几何】2222abaabb案例6 解一元二次方程的配方法数学泥版数学泥版 YBC 6967上的一上的一元二次方程解法元二次方程解法227607/2607/25xxx案例6 解一元二次方程的配方法几何原本几何原本卷卷2命题命题6中的配方法中的配方法2222aax xax案例6 解一元二次方程的配方法花拉子米代
28、数学花拉子米代数学中的一元二次方程解法中的一元二次方程解法22222210392 5392 55395564xxxxxxx a l-K h w a r i z m i(780?-850?):Al-Kitb al-mukhta Jar f Hisb al-jabr wa-l-muqbala 案例6 解一元二次方程的配方法花拉子米代数学花拉子米代数学中的一元二次方程解法中的一元二次方程解法22225103910439255642xxxxx a l-K h w a r i z m i(780?-850?):Al-Kitb al-mukhta Jar f Hisb al-jabr wa-l-muqba
29、la 案例6 解一元二次方程的配方法 复习旧知复习旧知 2116;x 解一元二次方程：22536;x 2329x 用几何语言来表达上述方程。案例6 解一元二次方程的配方法 问题提出问题提出9世纪阿拉伯数学家花拉子米在他的代数学中提出以下问题：一平方与十根等于二十迪拉姆，求根一平方与十根等于二十迪拉姆，求根。（解一元二次方程方程 ）21020 xx不成功的配方不成功的配方 几何探究几何探究案例6 解一元二次方程的配方法 教师引导下，学生得到有效的配方法教师引导下，学生得到有效的配方法22222102010520545545xxxxx案例6 解一元二次方程的配方法 一位学生得到精彩的配方法！一位学
30、生得到精彩的配方法！22222102010520545545xxxxx案例6 解一元二次方程的配方法 拓展理解拓展理解古巴比伦泥板上的问题古巴比伦泥板上的问题：已知两数乘积为10，差为4，求这两数，相当于解方程一元二次方程 x2-4x=10。教师让学生分小组讨论相应的几何方法。案例6 解一元二次方程的配方法2222241042102214xxxxx 教师引导下，学生最终解决了难题！教师引导下，学生最终解决了难题！倾听；倾听；自信；自信；合作合作 逻辑推理；逻辑推理；直观想象；直观想象；表征转换表征转换 数学与生活；数学与生活；数学与历史；数学与历史；获得探究的获得探究的机会，收获机会，收获成功
31、的体验成功的体验德育之效能力之助文化之魅探究之乐案例6 解一元二次方程的配方法案例7 邻补角与对顶角问题问题1：如何：如何测量测量墙角线之间的夹角？墙角线之间的夹角？案例7 邻补角与对顶角问题问题2：直线：直线AB和和CD相交如图相交如图3，形成了四个小于平，形成了四个小于平角的角：角的角：1、2、3、4，任取其中两个角，它，任取其中两个角，它们之间存在怎样的位置关系和数量关系？们之间存在怎样的位置关系和数量关系？案例7 邻补角与对顶角问题问题3：我们凭观察，可知对顶角相等，那么观察的我们凭观察，可知对顶角相等，那么观察的结果是否结果是否可信呢可信呢？即眼见是否为实呢？即眼见是否为实呢？案例7
32、 邻补角与对顶角问题问题4：我们能否通过测量得出：我们能否通过测量得出“对顶角相等对顶角相等”这一结这一结论？（让学生测量论？（让学生测量AOC和和BOD的大小的大小）生：24度。生：25度!师：24和25度都有。通过测量，是否能得出“对顶角相等”？生：不能。师：那么测量的结果是否可以直接作为结论使用了呢？为什么？生：不可以。测出来不一样。有误差。案例7 邻补角与对顶角问题问题5：如何通过：如何通过“说理说理”来确认来确认“对顶角相等对顶角相等”这一这一结论的正确性？结论的正确性？学生说理：1与2、2与3分别是邻补角（已知）1+2=180，2+3=180（邻补角的意义）1+2=2+3（等量代换
33、）1=3（等式性质）案例7 邻补角与对顶角 在泰勒斯以前，不论是巴比伦人和埃及人，都已获得了不少的几何知识，但这些知识都是建立在直觉和经验之上的。而通过观察和测量所得结果可能有误差，所以并不具备说服力。只有从大家已经承认的一些事实或结论来说理，才具有说服力。泰勒斯划时代的贡献就是引入了证明的思想。他提出“数学需要用逻辑推理的方法讲道理”这一观点公元前3世纪，欧几里得编写几何原本，其中就包括我们今天学习的“对顶角相等”。两千多年来，几何原本被世人誉为“数学圣经”。无数的人通过几何原本的学习，步入了科学的殿堂，成就了精彩的人生。相传，有人挖苦泰勒斯，说“你知识渊博，不能赚钱又有什么用”,于是泰勒斯
34、用所掌握的天文知识，预测第二年橄榄大丰收，于是廉价租下米利都岛上所有的榨油作坊。第二年，橄榄果真大丰收，泰勒斯以高价转租榨油作坊，一夜暴富。泰勒斯并非在追求金钱，而是为了向世人证明：科学知识对人的生活是大有用处的。我们今天学习的几何知识，在生活中都是有用的。微视频微视频：泰勒斯的故事：泰勒斯的故事Thales(624 B.C.?-547?B.C.)案例7 邻补角与对顶角 理性；理性；自信自信 数学的价值数学的价值 经历对顶角经历对顶角概念与性质概念与性质的自然发生的自然发生过程过程 数学与生活；数学与生活；数学与历史数学与历史 逻辑推理逻辑推理德育之效知识之谐文化之魅能力之助Geminus（公
35、元前（公元前1世纪）：世纪）：“古人针对各类三角形，对两古人针对各类三角形，对两直角定理作了研究，先是等边直角定理作了研究，先是等边三角形，再是等腰三角形三角形，再是等腰三角形，最，最后是不等边三角形。但后世几后是不等边三角形。但后世几何学家证明了一般定理何学家证明了一般定理任任意三角形三个内角和等于两直意三角形三个内角和等于两直角。角。”案例8 三角形内角和定理案例8 三角形内角和定理案例8 三角形内角和定理毕达哥拉斯的证明案例8 三角形内角和定理v 欧几里得几何原本(卷1，命题32)EDCBA案例8 三角形内角和定理 普罗克拉斯的方案普罗克拉斯的方案案例8 三角形内角和定理 案例8 三角形
36、内角和定理普罗克拉斯方案的改进普罗克拉斯方案的改进 普罗克拉斯方案的一般情形普罗克拉斯方案的一般情形帕斯卡（帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）12岁时，岁时，独立发现了三角形独立发现了三角形内角和定理内角和定理案例8 三角形内角和定理 克莱罗克莱罗几何基础几何基础A.C.Clairaut（1713-1765）案例8 三角形内角和定理案例8 三角形内角和定理 克莱罗的方案案例8 三角形内角和定理德国数学家提波特（Thibaut,1775-1832）的旋转法案例8 三角形内角和定理案例案例8 三角形内角和定理三角形内角和定理从泰勒斯的故事引入泰勒斯的发现。三角形内角和的发现三角形内角和
37、的发现案例案例8 三角形内角和定理三角形内角和定理师师：请同学们以小组为单位，分别用六个同样的等腰三角形（黄色）和六个同样的不等边三角形（红色）来拼图，感受泰勒斯当年的探究和发现过程。案例案例8 三角形内角和定理三角形内角和定理 等腰三角形拼图方案等腰三角形拼图方案案例案例8 三角形内角和定理三角形内角和定理 不等边三角形拼图方案不等边三角形拼图方案案例案例8 三角形内角和定理三角形内角和定理教师让学生在图中锁定某一个三角形，通过添加辅助线来说理。按位置，六个三角形分别称为上左、上中、上右、下左、下中和下右三角形。各小组经过讨论之后，产生了多种方案。三角形内角和的说理三角形内角和的说理案例案例
38、8 三角形内角和定理三角形内角和定理第第 1 组的方案组的方案：锁定下中三角形。与毕达哥拉斯的证明相同 案例案例8 三角形内角和定理三角形内角和定理第第2组的方案组的方案：锁定下中三角形。与19世纪末美国教科书上的证明相同 案例案例8 三角形内角和定理三角形内角和定理第第 3 组的方案组的方案：锁定下中三角形。与克莱罗的证明相同 案例案例8 三角形内角和定理三角形内角和定理第第 4 组的方案组的方案：锁定下中三角形。与欧几里得的证明相同 案例案例8 三角形内角和定理三角形内角和定理 倾听；倾听；自信；自信；合作合作 逻辑推理；逻辑推理；直观想象直观想象 数学与生活；数学与生活；数学与历史；数学
39、与历史；多元文化多元文化 获得探究的获得探究的机会，收获机会，收获成功的体验成功的体验德育之效能力之助文化之魅探究之乐案例9 全等三角形的应用 Thales(624 B.C.?-547?B.C.)泰勒斯泰勒斯出生于米利都，希腊七贤之一。青年时代曾游历埃及，利用竿影测量过金字塔的高度，利用全等三角形计算过轮船到海岸的距离。创立爱奥尼亚学派爱奥尼亚学派。最早将最早将几何学引入希腊，并将其变几何学引入希腊，并将其变为演绎科学。被誉为为演绎科学。被誉为“几何几何学鼻祖学鼻祖”。u几何鼻祖泰勒斯几何鼻祖泰勒斯案例9 全等三角形的应用 对顶角相等；圆为直径所平分；三角形内角和定理；三角形内角和定理；等腰三
40、角形底角相等；角边角定理角边角定理；半圆上的圆周角为直角；相似三角形对应边成比例相似三角形对应边成比例u泰勒斯发现的几何命题泰勒斯发现的几何命题案例9 全等三角形的应用普罗克拉斯（普罗克拉斯（Proclus,5世纪）世纪）说：说：“欧得姆斯在其欧得姆斯在其几何史几何史中将该定理归于泰勒斯。因为中将该定理归于泰勒斯。因为他说，他说，泰勒斯证明了如何求出泰勒斯证明了如何求出海上轮船到海岸的距离海上轮船到海岸的距离，其方，其方法中必须用到该定理。法中必须用到该定理。”Thalesu泰勒斯与角边角定理泰勒斯与角边角定理案例9 全等三角形的应用 直竿直竿 EF 垂直于地面，垂直于地面，在其上有一固定钉子
41、在其上有一固定钉子A，另一横杆可以绕另一横杆可以绕 A 转动，转动，但可以固定在任一位置但可以固定在任一位置上。将该细竿调准到指上。将该细竿调准到指向船的位置，然后转动向船的位置，然后转动EF（保持与底面垂直），（保持与底面垂直），将细竿对准岸上的某一将细竿对准岸上的某一点点C。则根据。则根据ASA定理，定理，DC=DB。u泰勒斯的测量方法泰勒斯的测量方法案例9 全等三角形的应用 16世纪意大利数学家贝里（世纪意大利数学家贝里（S.Belli,?1575）出版于）出版于1565年的测年的测量著作中的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。量著作中的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。拿
42、破仑军队在行军途中为一拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师河流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯的方法迅速测用运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。因此，从古希破仑的嘉奖。因此，从古希腊开始，角边角定理在测量腊开始，角边角定理在测量中一直扮演者重要角色。中一直扮演者重要角色。案例9 全等三角形的应用u战争中的泰勒斯方法战争中的泰勒斯方法案例9 全等三角形的应用在抗美援朝战争中，一名志在抗美援朝战争中，一名志愿军战士利用愿军战士利用泰勒斯的方法泰勒斯的方法测量敌营的距离。测量敌营的距离。u战争中的泰勒斯方法战争中的泰勒斯方法案例9 全等三角形
43、的应用 巩固两个三角形全等的基本判定方法；巩固两个三角形全等的基本判定方法；经历构造全等三角形解决实际问题的过程，培养经历构造全等三角形解决实际问题的过程，培养学生的创新意识、合作能力和表达能力，激发学学生的创新意识、合作能力和表达能力，激发学生学习的积极性和自信心；生学习的积极性和自信心；认识数学的价值，感受数学与现实生活之间的密认识数学的价值，感受数学与现实生活之间的密切联系。切联系。感悟数学背后的人文精神。感悟数学背后的人文精神。u教学目标教学目标u设计思路设计思路引入 微视频微视频1：小黄人遇天堑，引出：小黄人遇天堑，引出问题：如何测量天堑的宽度？问题：如何测量天堑的宽度？探究 构造全
44、等三角形来测量天堑的构造全等三角形来测量天堑的宽度。宽度。回眸 微视频微视频2：泰勒斯的故事。：泰勒斯的故事。练习练习 测量船到海岸的距离。测量船到海岸的距离。案例9 全等三角形的应用案例9 全等三角形的应用 引入引入：小黄人寻找凯文小黄人寻找凯文小黄人在寻找凯文的旅程中小黄人在寻找凯文的旅程中，遇到遇到了了峡谷。峡谷。聪明的小黄人想通过叠罗聪明的小黄人想通过叠罗汉搭桥的方式汉搭桥的方式从空中穿过峡谷。从空中穿过峡谷。然然而而，若桥搭若桥搭得得太短太短，则小黄人会跌则小黄人会跌入入深谷深谷；若搭；若搭得得太长太长，则前端的小则前端的小黄人将会摔在地面上导致黄人将会摔在地面上导致毁容。毁容。请请
45、你开动脑筋你开动脑筋，寻找可行方案来估测寻找可行方案来估测桥的长度桥的长度。案例9 全等三角形的应用生生1的设计方案的设计方案案例9 全等三角形的应用生生2的设计方案的设计方案AC是几个小黄人叠罗是几个小黄人叠罗汉汉,B C 所叠小黄人所叠小黄人是是AC的两倍，接着调整的两倍，接着调整AB 间的距离，使得太间的距离，使得太阳光恰好能经过三点阳光恰好能经过三点。则则AB 就是我们所要的就是我们所要的长度。长度。案例9 全等三角形的应用生生3的设计方案的设计方案小黄人在小黄人在 A 处叠罗汉成处叠罗汉成AC，当，当太阳在左上方时，产生光线太阳在左上方时，产生光线CB，当太阳绕到另一侧时，当太阳绕到
46、另一侧时，产产生光生光线线CB，只要保证只要保证 ACB=ACB，则，则 。但但不 知 什 么 时 候 太 阳 光 能 使不 知 什 么 时 候 太 阳 光 能 使 ACB=ACB。ABCAB C 案例9 全等三角形的应用生生4的设计方案的设计方案只要太阳不是正午，就可只要太阳不是正午，就可以叠高以叠高AC，使得使得C的影的影子可以落在子可以落在B处，再让处，再让AC后退至后退至A C，等出现完整，等出现完整影长影长，A B 就是要就是要求求的长的长度度。我把两根木棍钉在一起，成了一我把两根木棍钉在一起，成了一个类似圆规的工具。将其中一根个类似圆规的工具。将其中一根木棍垂直地面固定，从木棍垂直
47、地面固定，从 C 看向看向 B处，调整角度，得到处，调整角度，得到 ACB，接，接着向后转着向后转180，从，从 C 瞄过去，瞄过去，小黄人依次从小黄人依次从A躺到躺到B，一看到，一看到B 有人，就停止即可。有人，就停止即可。案例9 全等三角形的应用生生5的设计方案的设计方案更多新的设计方案更多新的设计方案案例9 全等三角形的应用泰勒斯泰勒斯(前前6世纪世纪)案例9 全等三角形的应用关于泰勒泰勒斯，有一则趣闻：秋夜，泰勒斯在草关于泰勒泰勒斯，有一则趣闻：秋夜，泰勒斯在草地上观察星星。地上观察星星。他仰望星空，却不慎跌入深坑。一他仰望星空，却不慎跌入深坑。一个路人将他救出，他对那人说：个路人将他
48、救出，他对那人说：“明天会下雨！明天会下雨！”那人笑着摇头走了，并将泰勒斯的预言当作笑话讲那人笑着摇头走了，并将泰勒斯的预言当作笑话讲给别人听。第二天，果真下了雨，人们对他在气象给别人听。第二天，果真下了雨，人们对他在气象方面的知识如此丰富赞叹不已，有人却不以为然，方面的知识如此丰富赞叹不已，有人却不以为然，说泰勒斯知道天上的事情，却看不见脚下的东西。说泰勒斯知道天上的事情，却看不见脚下的东西。两千年后，德国的哲学家黑格尔听到了泰勒斯的这两千年后，德国的哲学家黑格尔听到了泰勒斯的这个故事。他想了想，说了一句名言：只有那些永远个故事。他想了想，说了一句名言：只有那些永远躺在坑里从不仰望高空的人，
49、才不会掉进坑里！躺在坑里从不仰望高空的人，才不会掉进坑里！微视频微视频2如图所示，海上停泊一艘轮船如图所示，海上停泊一艘轮船A，你能设计一个方案，测出，你能设计一个方案，测出船船A到海岸边点到海岸边点B处的距离吗？处的距离吗？（不能上船）并请说明方案的（不能上船）并请说明方案的依据。依据。课堂练习课堂练习案例9 全等三角形的应用生1：经过小黄人问题探究后，我对数学有了一个全经过小黄人问题探究后，我对数学有了一个全新的认识。如果以前完全是为了数学而学数学的话，新的认识。如果以前完全是为了数学而学数学的话，现在就有了实践应用的成分。数学有很强的实践性和现在就有了实践应用的成分。数学有很强的实践性和
50、广泛的应用，长期的解题，让我们几乎失去了将数学广泛的应用，长期的解题，让我们几乎失去了将数学应用于实际生活中的能力。在小黄人问题中，我至少应用于实际生活中的能力。在小黄人问题中，我至少写出了四、五种甚至更多种的办法。写出了四、五种甚至更多种的办法。生2：真的，我渐渐发现了数学的美丽，它绝不仅仅真的，我渐渐发现了数学的美丽，它绝不仅仅是一个死板枯燥的学科，它是一个广阔无垠的世界，是一个死板枯燥的学科，它是一个广阔无垠的世界，一个拥有无限可能、无限机会和无限美丽的新世界。一个拥有无限可能、无限机会和无限美丽的新世界。案例9 全等三角形的应用数数学学观观生3：今天课上的小黄人问题源于生活，所以并没有
