1、3.3.1 两条直线的交点坐标 ( (一）新课引入：一）新课引入： 二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一 解，无解解，无解, ,无穷多解），同时在直角坐标系中两条无穷多解），同时在直角坐标系中两条 直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重 合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来 讨论直角坐标系中两直线的位置关系。讨论直角坐标系中两直线的位置关系。 （二）讲解新课： 两条直线的交点： 如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0 相交，由于交点同时在
2、两条直线上，交点坐标一定 是它们的方程组成的方程组 的解；反之，如果方程组 只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线 A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 例例1 1：求下列两条直线的交点：求下列两条直线的交点：l l1 1：3x+4y3x+4y2=02=0； l l2 2： ：2x+y+2=0. 2x+y+2=0. 例例2 2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: : l l1 1：x x2y+2=02y+2=
3、0，l l2 2：2x2xy y2=0.2=0. 解：解方程组 3x+4y2 =0 2x+y+2 = 0 l1与l2的交点是M（- 2，2） 解：解方程组 x2y+2=0 2xy2=0 l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 y= x x= 2 y=2 得 x= 2 y=2 得 例3：求直线3x+2y1=0和2x3y5=0的交点M的 坐标，并证明方程3x+2y1+（2x3y5）=0 （为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括 直线2x3y5=0）。 证明：联立方程 3x+2y1=0 2x3y5=0 o x y (1, - 1
4、) M 解得： x=1 y= - 1 代入：x+2y1+（2x3y5）= 0 得 0+0=0 M点在直线上 A1x+B1y+C1+（ A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。 M（1，- 1） 即 利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系 已知方程组 A1x+B1y+C1=0 （1） A2x+B2y+C2=0 （2） 当A1，A2，B1，B2全不为零时 （1）B2（2）B1得（A1B2A2B1）x=B1C2B2C1 讨论：当A1B2A2B10时，方程组有唯一解 x = B1C2B2C1 A1B2A2B1 y= A1B2A
5、2B1 C1A2C2A1 当A1B2A2B1=0， B1C2B2C10 时，方程组无解 当A1B2A2B1=0， B1C2B2C10 时，方程组有无 穷多解。 上述方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的 什么位置关系？ 当 时，两条直线相交，交点坐标为 A1 A2 B1 B2 当 = 时，两直线平行； A1 B1 C1 A2 B2 C2 当 = = 时，两条直线重合。 A1 B1 C1 A2 B2 C2 A1B2A2B1 （ , ） B1C2B2C1 A1B2A2B1 C1A2C2A1 例4、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求 出交点的坐标： （1）l1:x-y=0, l2:3x+3y
6、-10=0; （2）l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y=0; （3）l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0; 例5：求经过两条直线x+2y1=0和2xy7=0的交点， 且垂直于直线x+3y5=0的直线方程。 解法一：解方程组 x+2y1=0， 2xy7=0 得 x=3 y= 1 这两条直线的交点坐标为（3，-1） 又直线x+2y5=0的斜率是1/3 所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x3）即 3xy10=0 解法二：所求直线在直线系2xy7+（x+2y1）=0中 经整理，可得（2+）x+（21）y7=0 =3 2+ 21 解得 = 1/7 因此，所求直线方程
7、为3xy10=0 巩固： 两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上，则m 的值是 （A）0 （B）24 （C）6 （D）以上都不对 若直线kxy+1=0和xky = 0相交，且交点在第二象限， 则k的取值范围是 （A）（- 1，0） （B）（0，1 （C）（0，1） （D）（1，） 若两直线（3a）x+4y=4+3a与2x+（5a）y=7平行， 则a的值是 （A）1或7 （B）7 （C）1 （D）以上都错 直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0重合，则必 有 （A）A1=A2，B1=B2，C1=C2 （B） （C）两条直线的斜率相等截距也相等 （D）A1
8、=mA2，B1=mB2，C1=mC2，（mR，且m0） 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 C C C C B B B B A A A A 例例1 1、求经过原点及两条直线求经过原点及两条直线L L1 1:x:x- -2y+2=0,2y+2=0, L L2 2:2x:2x- -y y- -2=02=0的交点的直线的方程的交点的直线的方程. . 例例2 当当 为何值时，直线为何值时，直线 过直线过直线 与与 的交点的交点? k 3 + kx y 5 + x y 0 1 2 + - y x 例例4 4、两条直线两条直线y=kx+2k+1y=kx+2k+1和和x+2yx+2y- -4=0,4=0,的交点的交点 在第四象限，则的取值范围是在第四象限，则的取值范围是 平行平行 重合重合 相交相交 无解无解 无穷多解无穷多解 唯一解唯一解 解方程组解方程组 直线直线 2 1 2 1 2 1 2 1 , , , , l l l l l l l l 问题问题1 1：方程组解的情况与方程组所表示的两条：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？直线的位置关系有何对应关系？
