1、第十二章第十二章 傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换第一节函数的傅里叶级数展开第一节函数的傅里叶级数展开.前面所研究的幂级数是前面所研究的幂级数是18世纪初英国数学家泰勒世纪初英国数学家泰勒建立的，在分析学中，函数的泰勒展开起着很重建立的，在分析学中，函数的泰勒展开起着很重要的作用，但是它对函数的要求很高，而且只能要的作用，但是它对函数的要求很高，而且只能作局部逼近。作局部逼近。19世纪法国数学家傅里叶研究热传世纪法国数学家傅里叶研究热传导方程时建立了把函数展为三角级数的方法，其导方程时建立了把函数展为三角级数的方法，其要求为函数黎曼可积或在反常积分意义下绝对可要求为函数黎曼可积或在
2、反常积分意义下绝对可积，并且它可以整体逼近函数。积，并且它可以整体逼近函数。一、傅里叶级数的引进一、傅里叶级数的引进在声学、光学、热力学中有非常重要的作用在声学、光学、热力学中有非常重要的作用在偏微分方程的研究中有着非常重要的应用在偏微分方程的研究中有着非常重要的应用.物理学中最简单的波物理学中最简单的波_谐波谐波sin()At _,_,_.A振幅角频率初相位振幅角频率初相位在电子信号处理技术中常见的方波在电子信号处理技术中常见的方波,锯齿波锯齿波,三角三角波等波等,它们的合成和分解都大量用到三角级数它们的合成和分解都大量用到三角级数.非正弦周期函数非正弦周期函数:矩形波矩形波otu11 tt
3、tu0,10,1)(当当当当不同频率正弦波逐个叠加不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt .tusin4 .)3sin31(sin4ttu .)5sin513sin31(sin4tttu .)7sin715sin513sin31(sin4ttttu .)7sin715sin513sin31(sin4)(tttttu)0,(tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu .01()sin()nnnf xAAn x若若有有 一般地，一般地，01(cossin)nnnAan xbn x ()()f xFourier称称右
4、右端端级级数数为为所所确确定定的的傅傅里里叶叶级级数数(1)什什么么条条件件下下可可以以把把一一个个周周期期函函数数展展开开为为傅傅里里叶叶级级数数？(2)如如何何展展开开？问题：问题：.二、三角级数二、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 10)sin()(nnntnAAtf1.1.三角级数三角级数 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb ,xt 三角级数三角级数.2.2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1n
5、xnxxxxx.)2,0,2:上的积分等于零上的积分等于零或或（通常取为（通常取为度为度为任意两个不同函数在长任意两个不同函数在长正交正交 ,0cos nxdx,0sin nxdx三角函数系三角函数系.,0sinsin nmnmnxdxmx,0coscos nmnmnxdxmx.0cossin nxdxmx),2,1,(nm其其中中.三、傅里叶级数系数三、傅里叶级数系数1.1.傅里叶系数傅里叶系数01()(cossin),2()kkkaf xakxbkx 若若有有且且右右端端级级数数一一致致收收敛敛于于f xf x.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk)sincos(2)(10
6、.,220 a01()af x dx.)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxaknk.nxdxan2cos,na nxdxxfancos)(1),3,2,1(n.)3(nb求求 nxdxxfbnsin)(1),3,2,1(n nxdxanxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxaknk,nb.),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 2020),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxf
7、ann或或傅里叶系数傅里叶系数.傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa问题问题:10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条件条件.四四.傅里叶级数的收敛判别法傅里叶级数的收敛判别法 (1 1)当当x是是)(xf的的连连续续点点时时,级级数数收收敛敛于于)(xf;(2)(2)当当x是是)(xf的间断点时的间断点时,收敛于收敛于2)0()0(xfxf;则则f(x)f(x)的傅里叶级数在的傅里叶级数在x x点收敛点收敛,并且并且都存在都存在xxfxxfxxfxxfxx )0()(lim,)0()(lim00.注注:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里
8、叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多幂级数的条件低的多.01Fourier:(1)f(x),(cossin)2(3)nnnaanxbnx nnnn1.1.把周期函数展为级数步骤把周期函数展为级数步骤找出的间断点 求出收敛于?找出的间断点 求出收敛于?(2)(2)按公式算出a,b,写出Fourier级数按公式算出a,b,写出Fourier级数根据逐点收敛定理指出级数的收敛情况根据逐点收敛定理指出级数的收敛情况.ntdttuancos)(1),2,1,0(0 n ntdttubnsin)(1 ,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEm ntdttuancos)(1 ,2,1,2
9、,0,2,1,12,)12(4kknkknkEm),2,1,0(0 n ntdttuancos)(1 ,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEm ntdttubnsin)(1),2,1,0(0 n ntdttuancos)(1 ,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEm),2,1,0(0 n ntdttuancos)(1 ntdttubnsin)(1),2,1,0(0 n ntdttuancos)(1 ,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEm ntdttubnsin)(1),2,1,0(0 n ntdttuancos)(1),2,1,0(
10、0 n ntdttuancos)(1 ntdttubnsin)(1),2,1,0(0 n ntdttuancos)(1 ,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEm ntdttubnsin)(1),2,1,0(0 n ntdttuancos)(1.otumEmE otumEmE 和函数图象为和函数图象为所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2,0;(tt.22000112,cos0naxdxaxxdx 解：解：2012 sinnbxnxdxn 11222 02 0 2()sinsinsin,f xxxkxkxxx该函数傅
11、里叶级数图形？该函数傅里叶级数图形？11sin202kxkxkx .作业：作业：P126 2;3;5;6;.解解(1)(1)求正弦级数求正弦级数.,)(进行奇延拓进行奇延拓对对xf 0sin)(2nxdxxfbn正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数 ,6,4,22,5,3,122nnnn当当当当3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0(x.(2)(2)求余弦级数求余弦级数.,)(进行偶延拓进行偶延拓对对xf 00)1(2dxxa,2 0cos)1(2nxdxxan ,5,3,14,6,4,202nnn当当当当5cos513cos31(cos412122 xxxx)0(x.15
12、 (0,)2()cos(1)()nnf xanxx 例例应应当当如如何何把把区区间间内内的的可可积积函函数数延延拓拓后后，使使它它展展开开成成的的傅傅里里叶叶级级数数的的形形如如.3 3、以、以T T为周期的函数傅里叶级数为周期的函数傅里叶级数设设f(x)周期为周期为T,在在(-T/2,T/2)可积和绝对可积可积和绝对可积,01()(cossin)2nnnaf xan xbn x 设设/2/2/2/22()cos,2()sin.TnTTnTaf xn xdxTbf xn xdxT 其其中中阶谐波阶谐波角频率，角频率，nxnbxnaTnn sincos22Tx 令令，()()()22Tff x
13、则则为为周周期期的的周周期期函函数数，.并求其傅氏级数的和函数并求其傅氏级数的和函数.欧拉(Euler)公式,sincosxixeix ieexeexixixixix2sin2cos则则称为称为欧拉公式欧拉公式.欧拉公式欧拉公式揭示了三角函数和复变量指数函数之揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系间的一种关系.,sincosxixeix 也称为也称为欧拉公式欧拉公式.五、傅里叶级数的复数形式五、傅里叶级数的复数形式.2/2/2/2/),2,1(,sin)(2),2,1,0(,cos)(T2TTnTTnnxdxnxfTbnxdxnxfa 其中傅里叶系数公式其中傅里叶系数公式由函数的傅立叶级
14、数由函数的傅立叶级数01()(cossin)2nnnaf xan x bn x.将欧拉公式代入得将欧拉公式代入得1(),2intnnf xc e就是就是f(x)的傅里叶级数复数形式的傅里叶级数复数形式.其中其中,nnnnnncaib caib互互 为共轭复数为共轭复数.222(),(0,1,2,)Tin tTncf t edtnT 傅里叶级数复数形式的系数傅里叶级数复数形式的系数也称为傅里叶级数的复振幅也称为傅里叶级数的复振幅.22=|nnnnnAabc 阶阶谐谐波波的的振振幅幅在在实实数数形形式式中中为为：ncn复复振振幅幅 的的模模恰恰为为 阶阶谐谐波波的的振振幅幅作业：作业：P127 4
15、;7;8;9;11.六、收敛判别法的证明六、收敛判别法的证明1、狄利克雷积分、狄利克雷积分()-,f x 设设在在可可积积或或（在在反反常常积积分分意意义义下下）绝绝对对可可积积其傅里叶级数为其傅里叶级数为01()(cossin)2nnnaf xanxbnx .01(f()=(cossin)2nnkkkaxakxbkx 其其部部分分和和为为s s-2+1sin(-)12=()-2sin2nt xf tdtt x .+-2+1sin(-)12=()-2sin2xxnt xf tdtt x -2+1sin12=(x+u)2sin2nufduu .0-02+1sin12=(+)(x+u)2sin2n
16、ufduu 02+1sin12=()+(-)2sin2nuf xuf x uduu 以上表达式都称为狄利克雷积分以上表达式都称为狄利克雷积分.02+12sin122sin2nuduu =10=121=(+cos)2nkku du 注意到注意到02+1sin12s(f(x)-=()+(-)-2)2sin2nnusf xuf x usduu .()=(+)+(-)-2uf x uf x us 记记f(x)则则的的傅傅里里叶叶级级数数在在x x点点收收敛敛的的问问题题归归结结为为s,取取到到适适当当的的 使使得得02+1sin12lim()=02sin2nnuuduu .2、黎曼引理、黎曼引理(),
17、u 设设函函数数在在 a ba b 上上可可积积和和绝绝对对可可积积，则则以以下下极极限限式式成成立立：alim()sin=0,bpupudu alim()cos=0bpupudu .(1)()x局局部部性性定定理理：函函数数f xf x 的的傅傅里里叶叶级级数数在在 点点的的收收敛敛性性，只只与与该该点点的的充充分分小小邻邻域域的的值值有有关关。利用黎曼引理可得傅里叶级数的一些性质利用黎曼引理可得傅里叶级数的一些性质-(2),lim=lim()cos=0,lim=lim()sin=0,nnnnnnaf xntdtbf xntdt 可可积积和和绝绝对对可可积积函函数数的的傅傅里里叶叶系系数数趋
18、趋于于零零01112+1(3)lim()(-)sin=022sin2nnuuduuu .3.(Dini)迪迪尼尼判判别别法法及及其其推推论论：,()=(+)+(-)-2,()0,()xs.uf x uf x ushuhf xu 迪迪尼尼定定理理：若若能能取取到到适适当当的的s s 使使得得满满足足：对对某某正正数数在在上上，为为可可积积和和绝绝对对可可积积，则则的的傅傅里里叶叶级级数数在在 点点收收敛敛于于.:()(),|()-()|(0uh)(L,1)()x().f xxuxf xu f xLuf xf x 推推论论 利利普普希希茨茨 LipschitzLipschitz 判判别别法法)：若
19、若在在 连连续续 并并且且对对于于充充分分小小的的正正数数在在 点点的的LipschitzLipschitz条条件件为为常常数数，成成立立，则则的的傅傅里里叶叶级级数数在在 点点收收敛敛于于,|()-(0)|(0uh)(L,1)(+0)+(-0)()x.2uf xu f xLuf xf xf x 更更一一般般地地，若若对对充充分分小小的的成成立立为为常常数数，则则的的傅傅里里叶叶级级数数在在 点点收收敛敛于于.一个重要推论一个重要推论(1 1)当当x是是)(xf的的连连续续点点时时,级级数数收收敛敛于于)(xf;(2)(2)当当x是是)(xf的间断点时的间断点时,收敛于收敛于2)0()0(xf
20、xf;则则f(x)f(x)的傅里叶级数在的傅里叶级数在x x点收敛点收敛,并且并且都存在都存在xxfxxfxxfxxfxx )0()(lim,)0()(lim00.富里埃级数性质富里埃级数性质*.一、一致收敛性一、一致收敛性1(),f xa b（）设设周周期期为为2 2 的的可可积积和和绝绝对对可可积积函函数数在在比比更更宽宽的的区区间间上上有有有有界界导导数数，则则f(x)f(x)的的傅傅里里叶叶级级数数在在a,ba,b上上一一致致收收敛敛于于f(x).f(x).2(),f xa b（）设设周周期期为为2 2 的的可可积积和和绝绝对对可可积积函函数数在在比比更更宽宽的的区区间间上上连连续续且
21、且为为分分段段单单调调函函数数，则则f(x)f(x)的的傅傅里里叶叶级级数数在在a,ba,b上上一一致致收收敛敛于于f(x).f(x).0101()(cossin)21()(cossin)2xxxnncccnxnncnaf x dxdxanx bnx dxa x canx bnx dx二、逐项求积定理二、逐项求积定理.注意注意:富里埃级数一般并不能保证可富里埃级数一般并不能保证可以逐项求导以逐项求导.但可以证明富里埃级数的如下逐项求但可以证明富里埃级数的如下逐项求导定理导定理.三、逐项求导定理三、逐项求导定理.1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件；狄利克雷充
22、分条件；4.函数的傅氏展开式；函数的傅氏展开式；5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结6.傅氏级数复数形式傅氏级数复数形式.四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近.四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近.四、小结四、小结1.基本概念；
23、基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近.四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近.四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近.
24、四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近.四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近.四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5.傅氏级数的意义傅
25、氏级数的意义整体逼近整体逼近.四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近.四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近.四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅
26、氏展开式；5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近.四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近.四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5.傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近.四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.傅氏级数的傅氏级数的意义意义整体逼近整体逼近.
