1、1无穷区间上的反常积分无穷区间上的反常积分无界函数的反常积分无界函数的反常积分小结小结 思考题思考题 作业作业第七节第七节 反常积分反常积分(广义积分广义积分)improper integral第五章第五章 定积分定积分 函数与函数与 函数函数2常义积分常义积分积分区间有限积分区间有限被积函数有界被积函数有界积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界常义积分的极限常义积分的极限反常积分反常积分推广推广反反 常常 积积 分分3一、无穷区间上的反常积分一、无穷区间上的反常积分反反 常常 积积 分分(广义积分广义积分)例1 求位于曲线211yx之下,在y轴右边,x轴之上的图形的面积.4 定义定
2、义1 1,),)(上上连连续续在在设设 axf,at 取取 axxfd)(如果极限如果极限存在存在,ttlim则称这个极限值则称这个极限值(1)上的在为),)(axf反常积分反常积分,axxf.d)(记作记作 即即 axxfd)(tatxxfd)(lim当极限存在时当极限存在时,称反常积分称反常积分收敛收敛;当极限不存在时当极限不存在时,称反常积分称反常积分 发散发散.反反 常常 积积 分分5 bxxfd)(bttxxfd)(lim 即即当极限存在时当极限存在时,称反常积分称反常积分当极限不存在时当极限不存在时,称反常积分称反常积分,()(上上连连续续在在设设bxf bt 取取 bxxfd)(
3、上的上的在在为为,()(bxf bxxf.d)(记作记作存在存在,ttlim如果极限如果极限则称这个极限值则称这个极限值反常积分反常积分,(2)收敛收敛;发散发散.反反 常常 积积 分分6,),()(上上连连续续在在设设 xf如果反常积分如果反常积分和和 xxfd)(xxfd)(都收敛都收敛,则称上述两反常积分之和为函数则称上述两反常积分之和为函数 xxfd)(0d)(xxf 0d)(xxf 0d)(xxf 0d)(xxf称反常积分称反常积分 1limt 2limt00),(在在上的上的反常积分反常积分,1t2t即即收敛收敛;记作记作发散发散.否则称反常积分否则称反常积分(3)(xf,d)(x
4、xfxxfd)(xxfd)(12:.tt 注意和是相互独立的反反 常常 积积 分分7注注为了方便起见为了方便起见,规定规定:对反常积分可用如下的简记法使用对反常积分可用如下的简记法使用N-L公式公式,.)()(的的原原函函数数是是连连续续函函数数若若xfxF aaxFxxf)(d)().(lim)(xFFx),()(aFF 反反 常常 积积 分分bbxFxxf)(d)(),()(FbF).(lim)(xFFx )(d)(xFxxf).()(FF 这时反常积分的收敛与发散取决于这时反常积分的收敛与发散取决于 和和 是否存在是否存在.)(F)(F8证证)1(,1 p例例2 2 证明反常积分证明反常
5、积分,d11xxp .1时发散时发散当当 p,1时收敛时收敛当当 p*1limttdxx11dpxxlim lntt11dpxx1limtptdxx11lim1pttp,11,11ppp11dpxx )2(,1 p因此因此时时当当1 p收敛于收敛于;11 p时时当当1 p它发散它发散.反反 常常 积积 分分9例3 计算0,0,pxxedxpp为常数21p注意:运用分部积分时,是整个原函数的增量求极限,只有当两个极限都存在时,才可分成两部分计算.反反 常常 积积 分分10例例4 4 计算反常积分计算反常积分.1d2 xx解解 21dxxxxarctanlim.22 反反 常常 积积 分分 xar
6、ctanxxarctanlim 反常积分的积分反常积分的积分值值的的几何意义几何意义211xy Oxy=20d21xx11例例5 5 .dsin的敛散性的敛散性讨论积分讨论积分xx解解考虑考虑由于被积函数为奇函数由于被积函数为奇函数,积分区间又为对称区间积分区间又为对称区间,0dsinxx由定义可知由定义可知 xxcoslim xxdsin因而因而 cosxxxcoslim只有上述两个极限都存在时只有上述两个极限都存在时,才能使反常才能使反常但是上述两个极限都不存在但是上述两个极限都不存在.0dsinxx故知故知积分收敛积分收敛.反反 常常 积积 分分12为对称区间为对称区间.),(其错误的原
7、因在于认定其错误的原因在于认定不成立的不成立的.注注 xxdsin对于反常积分来说对于反常积分来说,对称区间上的性质对称区间上的性质反反 常常 积积 分分 .dsin的敛散性的敛散性讨论积分讨论积分xx各不相关各不相关.0 xx,13反反 常常 积积 分分xxxedln12 1.计算计算解解xxxedln12 xxedlnln12 exln11 2.位于曲线位于曲线)0(xxeyx下方下方,x轴上方的轴上方的无界图形的面积是无界图形的面积是解解xxeAxd0 xex d0d00 xeexxx 1 14二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分(瑕积分瑕积分)例6 求位于曲线211yx之下,x
8、轴之上,之间的图形的面积.0,1xx反反 常常 积积 分分15定义定义2 2无界无界内内)(xf,at 取取右右邻邻域域 btxxfd)().)(lim(xfx即即则称此极限为则称此极限为若极限若极限存在存在,atlim点点在在a函数函数 a,)(上上连连续续在在设设baxf(瑕点瑕点(1)上的在,()(baxf反常积分反常积分,仍然记为仍然记为,d)(baxxf即即 baxxfd)(btatxxfd)(lim也称也称反常积分反常积分 baxxfd)(收敛收敛;当极限不存在当极限不存在时时,称称反常积分反常积分 baxxfd)(发散发散.反反 常常 积积 分分16,bt 取取 baxxfd)(
9、tabtxxfd)(lim否则否则,).)(lim(xfx即即 taxxfd)(则定义则定义若极限若极限存在存在,btlim b,)(上上连连续续在在设设baxf)(2)瑕点瑕点,称称反常积分反常积分 baxxfd)(发散发散.的为点)(xfb反反 常常 积积 分分17上上在在设设,)(baxf baxxf写成写成d)(baxxfd)(若等号右边两个反常积分若等号右边两个反常积分 baxxfd)().)(lim(xfx即即 c如果如果 axxfd)(bxxfd)(cc则定义则定义 taxxfd)(btxxfd)(ctlim否则否则,就称反常积分就称反常积分 baxxfd)(发散发散.都收敛都收
10、敛,反反 常常 积积 分分(3)瑕点瑕点,反常积分反常积分注注 如瑕点在区间内部如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分分别讨论各段瑕点积分.通常通常用瑕点将区间分开用瑕点将区间分开,)(外连续除bcacx的点为)(xfcctlim18,()(baCxf 注注为了方便起见为了方便起见,为为瑕瑕点点如如a),)(baCxf,为为瑕瑕点点如如b反反 常常 积积 分分由由NL公式公式,则反常积分则反常积分规定规定:baxF)(baxF)(),()(xfxFbaxxfd)()()(aFbF)(bF)(limxFaxbaxxfd)()()(limaFxFbx19证证,1)1(q 10d1xx 10ln x
11、 ,1)2(q 10d1xxq1011 qxq 10d1xxq,11q,1 q.1 q,1时时当当 q反常积分收敛反常积分收敛,其值为其值为,11q,1时时当当 q反常积分发散反常积分发散.反反 常常 积积 分分例例7 7 证明反常积分证明反常积分,d110 xxq.1时发散时发散当当 q,1时收敛时收敛当当 q*20例例 8 求求xxd111 解解 xx1lim0.0为为瑕瑕点点 xxxd111 10ln x反反 常常 积积 分分0发散发散.|lnlim00 xx 也发散也发散.注注 11d1xx 11ln x.0错误的做法错误的做法:xxd11021例9 计算210,1nxdxnxx为正奇
12、数注注此反常积分经变量代换化成了定积分此反常积分经变量代换化成了定积分.反反 常常 积积 分分22例例 xxd102xxd1102 xxd1102 xxd102 下面是下面是无穷区间无穷区间上上无界函数无界函数的的反常积分反常积分发散发散,发散发散.反反 常常 积积 分分12d1xx考虑1211dxx注意:求()baf x dx时,一定要先判断被积函数在积分区间上是否有界.23三、三、函数函数 与函数与函数(1)函数 100 xppe xdxp可以证明此积在 时收敛.0p 此函数在理论和应用上都有很重要的意义.下面介绍它的几个性质.24性质1 1,0pppp利用分部积分公式可证明.一般地.有
13、11,1!nn性质2 0,.pp 当时性质3 应用中常见的积分:2011122xttex dxt以后利用二重积分可证:202xedx从而1225(2)函数1110,10,0nmm nxxdxmn此函数在0,0mn时收敛.此函数在工程中应用很广.利用换元法可以证明:,m nn m另外两类函数的关系:,0,0nmm nmnm n26例 计算120 xx dx 21201133223 322,2 232!8xx dx 27无界函数的无界函数的反常反常积分积分(瑕积分瑕积分)无穷限的反常积分无穷限的反常积分 xxfd)(bxxfd)(axxfd)(注意注意 baxxfd)(四、小结四、小结 1.不要与
14、常义积分混淆不要与常义积分混淆;2.不能忽略内部的瑕点不能忽略内部的瑕点.反反 常常 积积 分分了解 函数与 函数28反反 常常 积积 分分思考题思考题1(选择题选择题),0 x设设).(1d1d10202 xxtttt则则xA arctan)(xBarctan2)(2)(C0)(D解答解答 xxttttxf102021d1d)(令令),0(x )(xf0)(xf恒等于常数恒等于常数.,时时当当 x xxttttxf102021d1d)(202 .2)(xfC 221111xx 211x29思考题思考题2积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？10d1lnxxx解答解答积分积分 10d1lnxxx1,0 xx 1lnlim1xxx xx1lim11 x不是瑕点不是瑕点,10d1lnxxx的瑕点是的瑕点是.0 x可能可能的瑕点是的瑕点是又又 1lnlim0 xxx,1 反反 常常 积积 分分30作业作业习题习题4.7(2244.7(224页页)(A)2.(3)(8)(15)(16)(B)3.反反 常常 积积 分分此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！
