1、214 214 导数的应用导数的应用单调性单调性(一一)一、单调性的基础知识：一、单调性的基础知识：2.2.判定：判定：二、导数法判定单调性：二、导数法判定单调性：第一确定定义域第一确定定义域 第二求导到显然第二求导到显然注注1 1：最终结果要显然：最终结果要显然 乘积配方与比乘积配方与比注注2 2：增大减小驻点：增大减小驻点 等号问题待大学等号问题待大学含参反用必须等含参反用必须等 其他情况暂忽略其他情况暂忽略1.1.定义：定义：3.3.应用：应用：注注3 3：书写格式要简明书写格式要简明当当 f(x)单调时单调时当当 f(x)不单调时不单调时三解不等得结论三解不等得结论 书写格式要简明书写
2、格式要简明概念导数概述导数概述求导应用数学其他学科导数积分求切线斜率判定单调性 求极值 求最值 堪根解证不等式证等式数列求和曲边梯形面积常见的积分常见的积分法法三法三法一表一表 先变后积先变后积1.1.基本积分表基本积分表2.2.分项积分法分项积分法3.3.换元积分法换元积分法4.4.分部积分法分部积分法（2424个公式）个公式）函数求导有技巧先变后导隐函数最终结果若要好因式分解及配方函数的求导运算函数的求导运算1.六个简单函数的求导公式：2.复杂函数的求导法则：复合法则复杂函数六个简单函数六个公式两特例六个公式两特例 简单函数两标准简单函数两标准单个函数纯字母单个函数纯字母 不符条件用法则不
3、符条件用法则哪里不符那里变哪里不符那里变 一直变到纯字母一直变到纯字母 0,xfCxf则若 1,nnnxxfxxf则若 xxfxxfcos,sin则若 xxfxxfsin,cos则若 aaxfaxfxxln,则若 xxexfexf,则若 xfxxfa,log则若 xfxxf,ln则若 0C 1nnnxxxxcossinxxsincos aaaxxln xxeeaxln1log xaaxln1ln xx1x1(参课本P：14)特别地特别地六个简单函数的求导公式六个简单函数的求导公式六个公式是基础 特别留意纯字母常见特例要背熟 不符条件用法则 附：几个常用函数的导数附：几个常用函数的导数).(01
4、11/axaxaxannnnaxaxaxnannnnn122112.)1()(23/dcxbxaxcbxax232特别地/)1(x/)(x1()2fxx)(tan/xx2sec xxee/ln xx1()()cf xcf x法则要用文字背法则要用文字背 xchxbgxaf加减求导可换序 系数能提是特例 xhxgxfxhxgxfxhxgxf先乘后导如何求 逐个求导再相加 2xgxgxfxgxfxgxf分母分母要平方 子前母后要相减)(xhgf/xchxbgxaf/xhxgxf/)()()(xhxhgxhgf复合函数框套框 一直框到纯字母从外向内逐个导 导后相乘剥洋葱复杂函数的求导法则复杂函数的求
5、导法则 xfxfnxfnn/1/)()(xfaaaxfxf/ln ln1axf xfxfxf/cossin xfxfxf/sincos（2）二重复合函数的求导公式 1nnnxxxxcossinxxsincos aaaxxlnlog xaaxln1(1)三重复合函数的求导法则:)()()(xhxhgxhgf)(xhgf/复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数框套框 一直框到纯字母从外向内逐个导 导后相乘剥洋葱/logxfa xf/求导的逆运算求导的逆运算积分积分1.1.不定积分：不定积分：若 ,则称 是 的一个原函数)()(/xfxF)(xf)(xF 的全体原函数，称 的不定积分)(xf)
6、(xf(1)含义：记作：CxFdxxf)()(任意常任意常数数积分号积分号被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量原函数原函数x x的的微微分分CxdxCdx 0CedxexxCxxdxcossinCxxdxsincos)1(11nCxdxxnnnCxdxx|ln1Caadxaxxlndxxgbdxxfadxxbgxaf)()()()()()(/xfdxxfCxfdxxf)()(/(2)常见的不定积分公式常见的不定积分公式 ,2.2.定积分：定积分：(1)含义：四大步 参课本P：3945分割 近似代替取极限求和)()(1limininbafnabdxxf记作：分割取近似，求和取极限
7、分割取近似，求和取极限注：一般的，定积分是一个数值；不定积分是一个函数积分上限积分上限积分下限积分下限求导的逆运算求导的逆运算积分积分1.1.不定积分：不定积分：定积分的性质babadxxfkdxxkf)()(bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(bccabadxxfdxxfdxxf)()()(i:ii:iii:2.2.定积分：定积分：(1)含义：(2)运算方法及性质：方法：i:定义法ii:基本定理法)()()(aFbFdxxfba分割取近似，求和取极限分割取近似，求和取极限)()(xfxxfyxyxfx0lim)(xxfxxfxy)()(一差二比三极限一差二比三极限S1:S
8、1:求函数的改变量求函数的改变量(增量增量)S2:S2:求平均变化率求平均变化率(比值比值)S3:S3:求极限求极限注：将上述中的x换成x0，即为求函数在点x0处的导数导数的概念导数的概念3.数法2.形法连续平滑切斜率1.总纲又名瞬间变化率 点点可导线可导)()(xfxxfyxyxfx0lim)(xxfxxfxy)()(一差二比三极限一差二比三极限S1:S1:求函数的改变量求函数的改变量(增量增量)S2:S2:求平均变化率求平均变化率(比值比值)S3:S3:求极限求极限注：将上述中的x换成x0，即为求函数在点x0处的导数导数的概念导数的概念xyxfx0lim)(将定义将定义 中的条件中的条件“
9、”“”去掉去掉即即0limx 则定义可修正成：则定义可修正成：()yfx中值定理中值定理()()()f bf afba割线极限是切线 一导本身是斜率必须切点横坐标 切点坐标及斜率知一有二基本功 在即切点过待定bkxy00)(00 xfy 10100/)(xxyyxfk),(000yxP),(111yxP导数的几何意义导数的几何意义二导意义是曲率 大凹小凸拐点直线与曲线位置的分类直线与曲线位置的分类相交相离相割相切其他注1：切线是割线的极限位置抛物线,双曲线1个交点曲线 相切椭圆，圆1个交点1个交点相切相切1个交点与相切的关联注2：不同曲线交点个数与相切的关系214 214 导数的应用导数的应用
10、单调性单调性(一一)一、单调性的基础知识：一、单调性的基础知识：2.2.判定：判定：二、导数法判定单调性：二、导数法判定单调性：第一确定定义域第一确定定义域 第二求导到显然第二求导到显然注注1 1：最终结果要显然：最终结果要显然 乘积配方与比乘积配方与比注注2 2：增大减小驻点：增大减小驻点 等号问题待大学等号问题待大学含参反用必须等含参反用必须等 其他情况暂忽略其他情况暂忽略1.1.定义：定义：3.3.应用：应用：注注3 3：书写格式要简明书写格式要简明当当 f(x)单调时单调时当当 f(x)不单调时不单调时三解不等得结论三解不等得结论 书写格式要简明书写格式要简明()f x12,x x1x
11、2x1()f x2()f x对于对于函数函数定义域定义域I I内内某个区间某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量的值的值，若当，若当 时，都有时，都有 则称函数则称函数 在区间在区间D D上是增函数上是增函数 ()f x12,x x1x2x1()f x2()f x对于对于函数函数定义域定义域I I内内某个区间某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量的值的值，若当，若当 时，都有时，都有 则称函数则称函数 在区间在区间D D上是上是减减函数函数 1.1.定义：定义：一、单调性的基础知识：一、单调性的基础知识：说明：单调说明：单调区间区间D D是定义域是定义域I I的子的子区
12、间区间单调性是针对单调性是针对一个区间一个区间定义的定义的从左到右持续升（降）从左到右持续升（降）基本函数复合函数：同增异减基本函数复合函数：同增异减原函数与反函数的单调性相同原函数与反函数的单调性相同奇同偶反和差函数：同加不变异减看前奇同偶反和差函数：同加不变异减看前增大减小增大减小驻点驻点含参反用必须等含参反用必须等具体函数比较法具体函数比较法 抽象函数配凑法抽象函数配凑法形形 法法 背诵法背诵法数数 法法 导数法导数法定义法定义法2.2.判定：判定：3.3.应用：应用：引申：引申：基本应用：基本应用：x1 x2;y1 y2;();()求极值求最值堪根解证不等式解等式求极值求最值堪根解证不
13、等式解等式知二有一知二有一二、导数法判定单调性：二、导数法判定单调性：第一确定定义域第一确定定义域 第二求导到显然第二求导到显然注注1 1：最终结果要显然：最终结果要显然 乘积配方与比乘积配方与比 注注2 2：增大减小增大减小驻点驻点 等号问题待大学等号问题待大学含参反用必须等含参反用必须等 其他情况暂忽略其他情况暂忽略注注3 3：书写格式要简明：书写格式要简明三解不等得结论三解不等得结论 书写格式要简明书写格式要简明当当f(x)单调时单调时当当f(x)不单调时不单调时因因 在在Domain上恒成立上恒成立0)(xf 故故f(x)在在Domain上上 （）0)(xf当当xDomain时，解时，
14、解 得得f(x)在在I I1，I I2上上 当当xDomain时，解时，解 得得f(x)在在I I1，I I2上上 0)(xf练习练习1.1.求导到显然求导到显然 书写要简明书写要简明 (1)(1)课本课本P P：24 24 例例2 2)(xf0)1(3)(2xxf故函数故函数 在在R上单调递增上单调递增解：解：因因 在在R 上恒成立上恒成立(2)(2)课本课本P P：24 24 例例2 2 01cos)(xxf解：解：因因 在在 上恒成立上恒成立),0()(xf故函数故函数 在在 上单调上单调递减递减),0(3)(3)课本课本P P：31 A31 A组组 Ex1Ex1当当f(x)单调时单调时
15、因因 在在Domain上恒成立上恒成立0)(xf 故故f(x)在在Domain上上 （）练习练习1.1.求导到显然求导到显然 书写要简明书写要简明(4)(4)课本课本P P：24 24 例例2 2 当当f(x)不单调时不单调时0)(xf当当xDomain时，解时，解 得得f(x)在在I I1，I I2上上 当当xDomain时，解时，解 得得f(x)在在I I1，I I2上上 0)(xf解：解：因因 )1(2)(xxf0)(xf解解 得得f(x)在在(,1),1)上上解解 得得f(x)在在(1,(1,)上上0)(xf(5)(5)课本课本P P：24 24 例例2 2 2466)(2xxxf解：
16、解：因因 )2171)(2171(6xx0)(xf解解 得得f(x)在在 上上解解 得得f(x)在在 上上0)(xf),2171(),2171,()2171,2171(练习练习1.1.求导到显然求导到显然 书写要简明书写要简明(6)(6)课本课本P P：26 26 练习练习1 1当当 f(x)不单调时不单调时0)(xf当当xDomain时，解时，解 得得f(x)在在I I1，I I2上上 当当xDomain时，解时，解 得得f(x)在在I I1，I I2上上 0)(xf当当 f(x)单调时单调时因因 在在Domain上恒成立上恒成立0)(xf 故故f(x)在在Domain上上 （）解解：因因
17、)1(2)(xxf0)(xf解解 得得f(x)在在(,1),1)上上解解 得得f(x)在在(1,(1,)上上0)(xf0)(xf解解 得得f(x)在在(,-1),(1,-1),(1,)上上解解 得得f(x)在在(-1,1)(-1,1)上上0)(xf解：解：因因 1)(xexf0)(xf解解 得得f(x)在在(,0),0)上上解解 得得f(x)在在(0,(0,)上上0)(xf解：解：因因 )1)(1(3)(xxxf0)(xf解解 得得f(x)在在 上上解解 得得f(x)在在 上上 0)(xf解：解：因因 )31)(1(3)(xxxf),1(),31,()1,31(练习练习2.2.定义域优先定义域
18、优先xxxfln)(7)(7)判定函数的判定函数的 单调性单调性解：解：因因 xxxf1)(0)(xf解解 得得f(x)在在(,0),(1,0),(1,)上上解解 得得f(x)在在(0,1)(0,1)上上0)(xf0)(xf当当x x0 0时时，解解 得得f(x)在在 (,0),(1,0),(1,)上上 当当x x0 0时时，解解 得得f(x)在在(0,1)(0,1)上上0)(xf0)(xf当当x x0 0时时，解解 得得f(x)在在 (1,(1,)上上当当x x0 0时时，解解 得得f(x)在在(0,1)(0,1)上上0)(xfxxh1)(8)(8)判定函数的判定函数的 单调性单调性练习练习
19、2.2.定义域优先定义域优先)(xh01)(2xxh故函数故函数 在在R上单调递增上单调递增解：解：因因 在在R 上恒成立上恒成立故故h(x)在在(,0),(0,0),(0,)上上解：解：因因 当当x0时恒成立时恒成立01)(2xxh练习练习3.3.含参型含参型342)4(3)(23xxmmxxf)1)(4()(xmxxf(9)(9)判定函数的判定函数的 单调性单调性析：析：因因 ，故需故需分类讨论，其标准是：分类讨论，其标准是：？m=0,m=4m=0,m=4 当当m m0 0时，时，当当m m0 0时，时，当当m m4 4时，时，当当0 0m m4 4时，时，当当m m4 4时，时，342)
20、4(3)(23xxmmxxf(9)(9)判定函数的判定函数的 单调性单调性)1)(4()(xmxxf解：解：因因 ，故，故 当当m m0 0时，时，当当m m0 0时，时，当当m m4 4时，时，当当0 0m m4 4时，时，当当m m4 4时，时，0)(xf解解 得得f(x)在在 上上解解 得得f(x)在在 上上 0)(xf),4,(m)1,4(m解解 得得f(x)在在(1,(1,)上上解解 得得f(x)在在(,1),1)上上0)(xf0)(xf0)(xf解解 得得f(x)在在 上上 0)(xf),1,()4,1(m0)(xf因因 在在R R上恒成立上恒成立,故故f(x)在在R R上上解解 得得f(x)在在 上上0)(xf0)(xf)1,4(m解解 得得f(x)在在 上上解解 得得f(x)在在 上上 ),1(),4(m),4,(m),1(作业：作业：预习：预习：继续研究：继续研究：导数的应用导数的应用_单调性单调性2.2.判定函数的判定函数的 单调性单调性xexhx)(1.1.课本课本P P：31 A31 A组组 Ex2 Ex2 3.3.判定函数的判定函数的 单调性单调性axexfx)(
