1、建筑力学建筑力学第十八章第十八章 位移法位移法第十八章第十八章 位移法位移法【学习目标】1.理解位移法的基本原理；2.理解的基本未知量与基本结构的确定；3.掌握等截面单跨超静定梁的转角位移方程；4.熟练掌握用位移法计算连续梁和超静定刚架。第十八章第十八章 位移法位移法【引言】与力法相应，位移法是分析超静定结构的另一种基本方法。力法是以结构中的多余未知力作为基本未知量，通过结构的变形条件建立力法方程求出多余未知力后，再求出结构的其它未知力。然而，在一定的外因作用下，对于线弹性结构，结构的内力和位移之间恒具有一定的关系。因此，在结构计算时，也可以将结构中的某些未知位移作为基本未知结构中的某些未知位
2、移作为基本未知量量，先根据结构的平衡条件求出这些基本未知量，然后利用位移与内力之间的关系求出相应的内力。这个方法是以未知的结点位移作为基本未知量，故称为位移法。18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程一、等截面单跨超静定梁的概念在位移法计算超静定结构时，常需要把杆件看作等截面单跨超静定梁，而各杆两端的位移视为单跨梁的支座位移。所谓等截面单跨超静定梁，顾名思义就是杆件的横截面都相同、只有一跨的超静定梁（以下简称为单超梁），这样的梁有三种形式，分别是两端固定的单跨超静定梁、一端固定一端铰支的单跨超静定梁和一端固定一端定向（滑动）的单跨超静定梁，如图18-1（a）、（
3、b）、（c）所示。（a）（b）（c）18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程二、作用在单超梁上的外因作用在单超梁上的外因，分为有两种：一种是支座位移，另一种是荷载。1支座位移：又可以分为支座转角和支座杆端相对线位移两种。（1）支座转角：A、B，规定以顺时针转为正顺时针转为正，反之为负，如图18-2（a）所示。（2）支座杆端相对线位移：,规定使杆端A、B连线的弦转角弦转角 产生顺时针转动为正产生顺时针转动为正,反之为负,如图18-2（b）所示。18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程2荷载：作用在单超梁上的荷载，一般有均布荷载、集中
4、力、集中力偶三种，如图18-3（a）、（b）、（c）所示，其中均布荷载和集中力经常以向下为正，集中力偶以顺时针形式出现。18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程三、单超梁在外因作用下的杆端内力1单超梁受支座位移作用受支座位移作用引起的杆件两端的内力杆端内力单超梁在支座位移作用下，梁的支座反力及内力都可以用上一章介绍的力法求得。在位移法中，将单超梁由于支座位移作用引起的杆件两端的内力，称为杆端内杆端内力力，分为杆端弯矩杆端弯矩与杆端剪力杆端剪力，分别用MAB、FSAB等表示。其中杆端弯矩规定绕杆端以顺时针为正，绕支杆端弯矩规定绕杆端以顺时针为正，绕支座（或结点）以
5、逆时针为正座（或结点）以逆时针为正；杆端剪力仍然规定绕杆杆端剪力仍然规定绕杆端或绕支座（结点）以顺时针为正端或绕支座（结点）以顺时针为正，如图18-4（a）、（b）所示。18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程2单超梁受荷载作用受荷载作用引起的杆件两端的内力固端内力单超梁在荷载作用下，梁的支座反力及内力仍然都可以用上一章介绍的力法求得。在位移法中，将单超梁由于荷载作用引起的杆件两端的内力，称为固端内力固端内力，分为固端弯矩固端弯矩与固端剪力固端剪力，分别用 、等表示，其中上角标F表示固端内力是由于荷载作用引起的。其中固端弯矩固端弯矩与上面杆端弯矩一样，也规定绕杆
6、端规定绕杆端以顺时针为正，绕支座（或结点）以逆时针为正以顺时针为正，绕支座（或结点）以逆时针为正；固固端剪力仍然规定绕杆端或绕支座（结点）以顺时针为端剪力仍然规定绕杆端或绕支座（结点）以顺时针为正正。FABMFSABF18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程为了计算方便,将三种单超梁受支座位移作用引起的杆端内力全部用力法求得,并列于表18-1中,其中 称为单超梁的线刚度；将单超梁受荷载作用引起的固端内力也全部用力法求得,并列于表18-2中。lEIi 18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程表表18-1 单超梁的杆端内力（单超梁的杆
7、端内力（1）18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程表表18-1 单超梁的杆端内力（单超梁的杆端内力（2）18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程表表18-2 单超梁的固端内力（单超梁的固端内力（1）18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程表表18-2 单超梁的固端内力（单超梁的固端内力（2）18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程表表18-2 单超梁的固端内力（单超梁的固端内力（3）18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程四、单超梁的
8、转角位移方程如果单超梁受到支座移动（包括支座转角和支座杆端相对线位移）与各种荷载同时作用，则根据叠加原理叠加原理，其杆端内力可以由表18-1和表18-2中的相应栏目相叠加后得到。18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程1两端固定单超梁的转角位移方程：如图18-5（a）所示，两端固定单超梁受到支座移动与各种荷载同时作用，其中杆端A和B的角位移分别为A和B，A、B两端在垂直于杆轴AB方向的相对线位移为，梁上还作用有外荷载，则其杆端弯矩和剪力分别为：（18-1）（18-2）FF426246ABABABBAABBAMiiiMlMiiiMlssFs2Fs266126612
9、ABBAABABBAABiiiFFllliiiFFlll 18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程2一端固定另端铰支单超梁的转角位移方程：如图18-5（b）所示，一端固定另端铰支单超梁受到支座移动与各种荷载同时作用，其中杆端A的角位移为A，A、B两端在垂直于杆轴AB方向的相对线位移为，梁上还作用有外荷载，则其杆端弯矩和剪力分别为：（18-3）（18-4）F330 ABAABBAMiiMlMFs2sFs2s3333ABAABBAABAiiFFlliiFFll 18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程 3一端固定另端定向单超梁的转角位
10、移方程：如图18-5（c）所示，一端固定另端定向单超梁受到支座移动与各种荷载同时作用，其中杆端A的角位移为A，梁上还作用有外荷载，则其杆端弯矩和剪力分别为：（18-5）（18-6）FFABAABBAABAMiMMiM Fsss0ABABBAFFF18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程上面的公式（18-1）（18-6）称为等截面单超梁的转角位移方程。它反映了杆端内力与杆端位移及所作用荷载之间的关系。该6个公式今后可以直接应用。18.2 位移法的基本原理位移法的基本原理如图18-6（a）所示等截面连续梁，设各杆的抗弯刚度都等于EI，线刚度都为 （i=EI/l），在
11、均布荷载作用下产生如图中虚线所示的变形。其中杆AB和杆BC在B点处刚性连接，在B端两杆产生相同的角位移 B。lEIi 18.2 位移法的基本原理位移法的基本原理位移法研究时，设想将该连续梁的两根杆件经过处理，变成如图18-6（b）所示的单超梁，其中杆AB为两端固定梁在B端发生角位移 B；杆BC为B端固定、C端铰支的梁，在梁上受均布荷载作用，并在B端发生角位移 B。则如果能求得单超梁的支座转角 B，单超梁即可以按照公式（18-1）（18-6）计算杆端内力，作最后内力图。下面介绍如何计算角位移 B。18.2 位移法的基本原理位移法的基本原理为了将图18-6(a)转化为图18-6(b)进行计算，我们
12、假设在连续梁结点B处加入一附加刚臂，其符号为“”，如图18-6(c)所示，附加刚臂的作用是约束约束B点的转动点的转动，而不能约束移动，而不能约束移动。由于结点B原来无线位移，所以加入此附加刚臂后，B点就不能产生任何位移了，即相当于固定端相当于固定端。于是原结构变成了AB和BC两个单超单超梁的组合体梁的组合体，我们称该组合体为位移法的基本结构位移法的基本结构。18.2 位移法的基本原理位移法的基本原理基本结构原来已受荷载作用,再使B点处的附加刚臂转过与实际变形相同的转角Z1=B（Z1是刚结点的转角是刚结点的转角,为为位移法的基本未知量位移法的基本未知量,由于Z1又是单超梁的支座位移,所以先假定为
13、正,即按顺时针方向转动）,就可使基本结构的受力和变形与原结构相同图18-6(c),因此可以用基本结构代替原结构进行计算。18.2 位移法的基本原理位移法的基本原理研究基本结构上B点的平衡图18-6(c)，根据MB=0,可得：MBA+MBC=0 （a）其中MBA和MBC都为单超梁的杆端弯矩，对图18-6(b)可以按公式（18-1）（18-6）计算，即：，（b）14iZBAM8213qliZBCM18.2 位移法的基本原理位移法的基本原理将MBA和MBC的表达式（b）代入到上面的平衡方程（a）式中，可得：解得：（）求得Z1为正，说明转角Z1（B）与假设方向一致，为顺时针方向转动。将其代入到式（b）
14、中，可得而0821314qliZiZiqlZ562114214qliZBAM1428213qlqliZBCM28212qliZABM18.2 位移法的基本原理位移法的基本原理求得各杆的杆端弯矩以后，就可以应用区段叠加法作出连续梁的最后弯矩图，如图18-6（d）所示。18.2 位移法的基本原理位移法的基本原理将其中作AB杆作弯矩图的步骤，介绍如下：（1）根据杆端弯矩的正负确定弯矩弧线的转向，由于MAB和MBA都为正，所以弯矩弧线绕杆端都是顺时针方向的；如图18-7（a）所示。（2）根据弯矩弧线的箭尾确定杆端的哪一侧为受拉侧，其中弯矩MAB弧线的箭尾在下面为下侧受拉，弯矩MBA弧线的箭尾在上面为上
15、侧受拉。（3）将弯矩的竖标值画在杆端的受拉侧，并连虚线；（4）用区段叠加法作出该杆的最后弯矩图（由于AB杆段无荷载，所以可以将虚线直接变成实线），如图18-7（b）所示。18.2 位移法的基本原理位移法的基本原理归纳上面位移法的思路，其过程如下：1位移法是以结点位移（刚结点转角为其中之一）作为基本未知量，通过添加附加约束限制结点位移（附加刚臂限制刚结点的转动，其他形式的结点位移用其他约束限制），使原超静定结构变成若干单超梁的组合体，即位移法求解超静定结构的基本结构；2在添加附加约束处列出平衡条件。例如附加刚臂限制了刚结点的转动，所以建立的平衡条件为力矩平衡条件；3根据公式（18-1）（18-6
16、）分别列出各单超梁在原荷载以及支座位移共同作用下的杆端内力表达式；4将表达式代入到平衡条件中，求出结点位移值；5将求得的结点位移值再代回到杆端内力表达式中，求出各杆端最后内力，作出最后内力图。18.3 位移法的基本未知量与基本结构位移法的基本未知量与基本结构一、位移法的基本未知量由上节内容可知，如果将超静定结构上每根杆件都变成单超梁，求得两端的转角位移和垂直于杆轴的相对线位移，则各杆的内力均可根据公式（18-1）（18-6）确定。由于超静定结构中的杆件是在结点处相互连接的，汇交于某刚结点处的各杆杆端位移相等，且等于结点位移。因此，在位移法中，基本未知量应基本未知量应是刚结点的转角位移和结点线位
17、移是刚结点的转角位移和结点线位移。在计算时，应首先确定刚结点转角位移和独立的结点线位移的数目。18.3 位移法的基本未知量与基本结构位移法的基本未知量与基本结构1刚结点的转角位移由于变形协调，汇交于同一刚结点处各杆端的转角相等且等于刚结点的转角。所以，每一个刚结点只有一个独立的转角位移。在结构的固定支座处，其转角为零或是已知的支座位移；铰结点或铰支座处的杆端转角不是独立的位移，确定杆件内力时并不需要知道它们的数值，可不作为基本未知量。因此，刚结点转刚结点转角位移未知量的数目就等于刚结点的数角位移未知量的数目就等于刚结点的数目目。18.3 位移法的基本未知量与基本结构位移法的基本未知量与基本结构
18、如图18-8(a)所示刚架，A、B、C均为固定支座，它们的转角为零；结点E为铰结点；D、F都是刚结点，分别产生结点角位移 D和 F，在位移法中，未知量都用Z表示，结点角位移 D和 F分别用Z1和Z2表示。因此，该刚架有两个刚结点转角位移。为了限制刚结点的转角位移，需要在刚结点上施加附加刚臂“”。18.3 位移法的基本未知量与基本结构位移法的基本未知量与基本结构2独立的结点线位移在超静定梁及刚架的计算中，为了减少基本未知量的个数，使计算得到简化，通常忽略各杆的轴向变形对位移的影响，并假设结点转角和各杆弦转角都是微小的。因而认为受弯直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，这样，每一根受弯直杆就相当于
19、一个约束，从而减少了独立的结点线位移数目。18.3 位移法的基本未知量与基本结构位移法的基本未知量与基本结构由此，图18-8(a)所示刚架，A、B、C是固定端,由于AD、BE、CF两端距离保持不变,因此在微小位移的情况下，结点D、E、F都没有竖向位移。结点D、E、F虽然有水平线位移，但由于杆DE、EF长度不变,故三结点D、E、F均有相同的水平位移,用Z3表示。所以,该刚架只有一个独立的结点线位移。为了限制结点线位移,需要在结点上添加附加支座链杆“”。18.3 位移法的基本未知量与基本结构位移法的基本未知量与基本结构在位移法中，对于超静定刚架，由于不考虑各杆长度的改变，因此，独立的结点线位移数目
20、可用几何组成分析的方法确定，即“结点铰结化、增设外链杆结点铰结化、增设外链杆”的方法：把刚架所有刚结点和固定支座都改为铰结点，得到一个相应的铰接链杆铰接链杆体系体系，若此体系一般是几何可变或瞬变体系，则为使其成为几何不变所需添加为使其成为几何不变所需添加的最少（支座）链杆数目的最少（支座）链杆数目即为原结构的独立结点线位移数目。18.3 位移法的基本未知量与基本结构位移法的基本未知量与基本结构图18-8(a)所示刚架，把所有的刚结点和固定支座都改为铰结点得到18-8(b)所示铰接链杆体系，它是几何可变的，但是添加一根非竖向链杆就能使其成为几何不变体系，因此，原刚架只有一个独立的结点线位移。18
21、.3 位移法的基本未知量与基本结构位移法的基本未知量与基本结构位移法的基本未知量包括刚结点转角位移和独立的结点位移法的基本未知量包括刚结点转角位移和独立的结点线位移，因此其数目等于超静定结构的刚结点转角位线位移，因此其数目等于超静定结构的刚结点转角位移和独立的结点线位移之和移和独立的结点线位移之和。图18-8(a)所示刚架的全部基本未知量共有三个：即刚结点转角位移Z1、Z2和独立的结点线位移Z3。18.3 位移法的基本未知量与基本结构位移法的基本未知量与基本结构图18-9(a)所示刚架有三个刚结点E、F、G，因而有三个独立的结点角位移。其相应的铰接链杆体系如图18-9(b)所示，需在结点E、G
22、处加入两根水平附加链杆后体系才能成为几何不变。故原结构有五个基本未知量：即三个刚结点转角位移和两个独立的结点线位移。18.3 位移法的基本未知量与基本结构位移法的基本未知量与基本结构二、位移法的基本结构在确定的位移法的基本未知量以后,在产生刚结点转角位移的刚结点上,添加附加刚臂“”，限制刚结点的转动；在产生独立结点线位移的结点上，添加附加支座链杆“”，限制独立的结点线位移。原超静定结构在添原超静定结构在添加了附加约束后，变成为若干单超梁的组合加了附加约束后，变成为若干单超梁的组合体体即位移法求解超静定结构的基本结构。如图18-8（c）和图18-9（c），即是将图18-8（a）和图18-9（a）
23、通过添加附加约束后所得到的位移法的基本结构。18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例一、位移法计算连续梁连续梁在位移法计算连续梁时，一般情况下，只有刚只有刚结点转角位移而没有结点线位移结点转角位移而没有结点线位移。例例18-1 用位移法计算图18-10(a)所示连续梁，并作内力图，已知EI=常数。18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例解解：（1）确定基本未知量和基本结构连续梁有一个刚结点B，基本未知量为结点B的转角位移Z1。在结点B加附加刚臂，并使刚臂顺时针转动刚臂顺时针转动Z1，得到基本结构如图18-10(b)所示。（2）建立平衡条件：如图18-10(c)所示，根据基本结构上添加附加刚
24、臂B处的力矩平衡条件，即：MB=0,可得：MBA+MBC=0 18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例对基本结构来说，在加了附加刚臂后，AB杆变成为两端固定的单超梁，BC杆变成为一端固定一端铰支的单超梁，所以可以根据公式（18-1）（18-6）分别列出杆端弯矩表达式,令i=EI/24，则iAB=3 i,iBC=4 i，因此：61128861128114iZiZFlZABiBAM18112826411282213iZiZqlZBCiBCM18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例（3）将杆端弯矩表达式代入平衡条件，得：24iZ112=0解得：（）求得的Z1为正,说明刚结点B的转角为顺时针方向转
25、动。（4）求各杆端最后弯矩，作最后弯矩图iZ211mkN12621126112iiiZBAMmkN1218211218112iiiZBCMmkN38862168112iiFlZABiABM18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例根据各杆端最后弯矩作弯矩图，如图18-10（e）所示，其中AB杆与BC杆根据各自的最后杆端弯矩正负，作示意图如图18-10（d）所示，显然AB杆两端都是上侧受拉，BC杆的B端也是上侧受拉。用区段叠加法可以作出最后弯矩图。mkN12BAMmkN12BCMmkN3ABM18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例（5）根据弯矩图作剪力图分别截取AB杆与BC杆画隔离体的受力图
26、，如图18-10（g）所示。根据平衡条件，可以推导出公式（过程略）：(18-7)上面式中 为将AB当作简支梁时在原荷载作用下AB杆A端的剪力。根据各杆端最后剪力作剪力图，如图18-10（h）所示。0SABFABlBAMABMSABF0SABF18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例所以：kN875.1381230SABFABlBAMABMSABFkN125.4381230SBAFABlBAMABMSBAFkN1426460120SBCFBClCBMBCMSBCFkN1026460120SCBFBClCBMBCMSCBF18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例总结本例，位移法有两个要点：一个
27、一个是在添加附加约束，并使附加约束产生正向的位移从而得到基本结构后，要分析原结构各杆都变成了哪一种单超梁，并受到哪些作用？二二是应建立什么平衡条件？18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例二、位移法计算无侧移刚架无侧移刚架无侧移刚架的各结点只有转角位移而没有线位只有转角位移而没有线位移移，这种刚架的计算与连续梁完全相似。例例18-2 用位移法计算如图18-11(a)所示刚架，作弯矩图。18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例解解：(1)确定基本未知量和基本结构：刚架有两个刚结点B、C，没有结点线位移，基本未知量为结点B、C的角位移Z1和Z2。在结点B、C添加附加刚臂，并使刚臂分别顺时针转动
28、刚臂分别顺时针转动Z1和和Z2，得到基本结构如图18-11(b)所示。18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例（2）建立平衡条件：根据基本结构上添加附加刚臂处的力矩平衡条件，可得：MB=0，MC=0即：MBA+MBC+MBD=0，MCB+MCE=0 18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例（3）根据公式（18-1）（18-6）分别列出上面的杆端弯矩表达式。令i=EI/4，则横杆iAB=iBC=i，竖杆iBD=iCE=2i，因此：401382420138213iZiZqlZABiBAM1814iZZBDiBDM1222214qlZBCiZBCiBCM3802214iZiZ18.4 位移法的计
29、算示例位移法的计算示例 杆端弯矩表达式1222412qlZBCiZBCiCBM2028844028824iZiZFlZCEiCEM38024121224202412iZiZiZiZ18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例（4）将杆端弯矩表达式代入平衡条件中，可得：15iZ1+2iZ2+13.33=0 2iZ1+12iZ2+6.67=0联立解得：Z1=0.833/i（），Z2=0.415/i（）解得的结果为负结果为负，说明转角转角Z1、Z2为逆时为逆时针方向转动针方向转动。18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例（5）求各杆端最后弯矩，作弯矩图。mkN5.3740833.034013iiiZ
30、BAMmkN83.30380415.02833.043802214iiiiiZiZBCMmkN67.6833.0818iiiZBDMmkN34.23380415.04833.023802412iiiiiZiZCBMmkN34.2320415.082028iiiZCEM18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例求各杆端最后弯矩用区段叠加法作刚架最后弯矩图如图18-11（c）所示。mkN335.3833.0414iiiZDBMmkN34.1820415.042024iiiZECM18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例为了对弯矩图进行校核，可取刚结点B进行平衡条件验算，如图18-11（d）所示：
31、MB=37.56.6730.83=0，满足平衡条件。18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例三、位移法计算有侧移刚架有侧移刚架有侧移刚架除了产生刚结点转角位移刚结点转角位移外，还有结点线位结点线位移移产生。对于刚结点转角位移，仍然与上面一样，添加附加刚臂附加刚臂加以限制；而对于结点线位移，则需要添加附加支座链杆附加支座链杆加以限制。例例17-3 用位移法计算如图18-18(a)所示刚架,作弯矩图。18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例解解：（1）确定基本未知量和基本结构刚架有两个基本未知量，即刚结点C的转角位移Z1和结点D的线位移Z2。在结点C加刚臂，在结点D加水平链杆，并使附加刚臂顺时
32、针转动附加刚臂顺时针转动Z1，附加支座链杆向右产，附加支座链杆向右产生位移生位移Z2（使竖杆的弦转角为顺时针方向），得到基本结构如图18-18(b)所示。18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例（2）建立平衡条件：根据基本结构上添加附加刚臂处的力矩平衡条件，可得：MC=0 即：MCA+MCD=0 再截取剪力隔离体，如图18-12（d）所示，根据基本结构上添加附加支座链杆方向的静力平衡条件，可得：FSx=0 即：FSCA+FSDB=018.4 位移法的计算示例位移法的计算示例（3）分析基本结构各杆，根据公式（18-1）（18-6）分别列出上面的杆端内力表达式。令i=EI/4，则iAC=iBD=
33、EI/4=i，iCD=3EI/6=2i，因此：25.11424614iZiZZiiZCAM16iZCDM24315.122412146ZiiZZiZiSCAF15163832243iqlZiSDBF18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例（4）将杆端内力表达式代入平衡条件中,可得：联立解得：（），（）解得的结果为正结果为正，说明转角转角Z1为顺时针方向转动为顺时针方向转动，侧移侧移 Z2为向右移动为向右移动。025.1110iZiZ0152161515.1ZiiZiZ158.31iZ05.21218.4 位移法的计算示例位移法的计算示例（5）求出各杆端最后弯矩值,作弯矩图如图18-12（e）
34、,其中：mkN95.1805.215.1158.3425.114iiiiiZiZCAMmkN95.18158.3616iiiZCDMmkN26.2505.215.1158.3224612iiiiZiiZACM82243qlZiBDMmkN79.358241005.2143ii18.4 位移法的计算示例位移法的计算示例（6）根据杆端弯矩计算杆端剪力，画剪力图如图18-12（f），其中：kN05.11495.1826.25AClCAMACMSACFSCAFkN16.3695.18CDlDCMCDMSDCFSCDFkN95.2824104079.350SBDFBDlDBMBDMSBDF0SDBFBD
35、lDBMBDMSDBFkN05.1124104079.3518.4 位移法的计算示例位移法的计算示例（7）研究结点C、D的平衡，分别求出各杆的轴力，作轴力图如图18-12（g）。其中：FNCA=3.16kN，FNCD=11.05kN，FNDB=3.16kN。18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用前面介绍的位移法计算超静定结构，主要是以根据基本结构上添加约束处的平衡条件建立位移法方程进行求解的。位移法还可以有先建立典型方程，再进行求解的形式。以图18-13(a)所示刚架介绍建立位移法典型方程的步骤。该刚架有两个基本未知量，分别为结点B的角位移Z1和结点C的水平线位移Z2。18
36、.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用如果在结点B附加刚臂，可以阻止刚结点的转动；在结点C附加链杆，可以阻止结点水平位移。再令附加刚臂产生顺时针方向的转角Z1，附加支座链杆产生正向的位移Z2，得到基本结构如图18-13(b)所示。由于基本结构的受力和变形与原结构完全相同，但原结构上并没有附加刚臂和附加链杆，所以基本结构上附加刚臂上的反力矩F1和附加链杆上的反力F2均为零。即 （a）1200FF18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用根据叠加原理，把基本体系中F1、F2分解成下面三种情况的叠加：（1）基本结构在原荷载作用下的计算（图18-13c）；（2）基本结构
37、在Z1单独作用时的计算（图18-13d）；（3）基本结构在Z2单独作用时的计算（图18-13e）。18.4 位移法的典型方程及其应位移法的典型方程及其应用用（1）基本结构在原荷载作用下的计算（图18-13c）可以根据表18-2先求出各杆的固端弯矩和固端剪力，再由BA、BC杆的固端弯矩求得附加刚臂上的反力矩F1F；由BA、CD杆的固端剪力求得附加支座链杆中的反力F2F。18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用（2）基本结构在Z1单独作用时的计算（图18-13d）使基本结构在结点B发生转角位移Z1，但结点C不动（即Z2=0）。由BA、BC杆的杆端弯矩求得附加刚臂上的反力矩F11；
38、由BA、CD杆的杆端剪力求得附加支座链杆中的反力F21。18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用（3）基本结构在Z2单独作用时的计算（图18-13e）使基本结构在结点C发生结点水平线位移Z2，但结点B不动（Z1=0）。由BA、BC杆的杆端弯矩求得附加刚臂上的反力矩F12；由BA、CD杆的杆端剪力求得附加支座链杆中的反力F22。18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用叠加以上三种情况，得基本结构在荷载和结点位移Z1、Z2共同作用下附加刚臂的反力矩F1和附加链杆上的反力F2，根据原结构的平衡条件，有：F1=F1F+F11+F12 =0 (a)F2=F2F+F21
39、+F22 =0根据叠加原理，F11、F21、F12、F22与Z1、Z2的关系为：Fij=kijZj代入式（a）可得：F1=k11Z1+k12Z2+F1F =0 (18-8)F2=k21Z1+k22Z2+F2F =0 18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用式中：k11、k21基本结构在刚结点产生单位转角位移Z11单独作用(Z20)时，在附加刚臂上产生的反力矩和附加链杆中产生和反力；k12、k22基本结构在结点产生单位线位移Z21单独作用(Z10)时，在附加刚臂上产生的反力矩和附加链杆中产生和反力。在上面所有外因作用下引起附加约束的反力中，附加刚附加刚臂上反力矩的正负，规定与附
40、加刚臂的正向转动方向臂上反力矩的正负，规定与附加刚臂的正向转动方向一致，即顺时针方向为正；附加支座链杆上反力的正一致，即顺时针方向为正；附加支座链杆上反力的正负，规定与附加支座链杆的正向移动方向一致，即位负，规定与附加支座链杆的正向移动方向一致，即位移向右使竖杆产生顺时针方向的弦转角为正移向右使竖杆产生顺时针方向的弦转角为正。18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用公式(18-8)就是具有两个基本未知量Z1和Z2的位移法方程，称为位移法的典型方程典型方程。式(17-8)中的每一方程表示基本结构中与每一基本未知量相应的附加约束处约束力等于零的平衡条件。若原结构是具有n个基本未知
41、量的结构，其基本结构就有n个附加约束，也就有n个附加约束处的平衡条件,即n个平衡方程。18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用显然，可由n个平衡方程解出n个基本未知量，即：在建立位移法方程时，基本未知量Z1、Z2、Zn均假设为正号，即假设结点角位移为顺时针转向，结点线位移使杆产生顺时针转动。计算结果为正时，说明实际的位移方向与所设方向一致；计算结果为负时，说明实际的位移方向与所设方向相反。18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用例例18-4 用位移法典型方程计算例18-3所示刚架，作弯矩图。18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用解解：（1
42、）确定基本未知量和基本结构刚架有两个基本未知量，即刚结点C的转角位移Z1和结点D的线位移Z2。在结点C加刚臂，在结点D加水平链杆，并使附加刚臂顺时针转动附加刚臂顺时针转动Z1，附加支座链杆，附加支座链杆向右产生位移向右产生位移Z2（使竖杆的弦转角为顺时针方向），得到基本结构如图18-14(b)所示。18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用（2）建立位移法典型方程 F1=k11Z1+k12Z2+F1F =0 F2=k21Z1+k22Z2+F2F =0（3）计算方程的系数和自由项令i=EI/4，则iAC=iBD=EI/4=i，iCD=3EI/6=2i 18.4 位移法的典型方程及
43、其应用位移法的典型方程及其应用1）基本结构在单位转角 单独作用下的计算查表18-1，得到各杆端弯矩：作出图，如图18-15(a)所示。11Z0 ，6344 ，22DCCDCDACCAACACMiiMiiMiiM18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用由结点C的力矩平衡（图18-15 b），求k11根据MC=0，可得：k11=4i+6i=10i18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用为计算k21，沿有侧移的柱AC和BD柱顶处作一截面，取柱顶以上横梁CD为隔离体，如图18-15(c)所示，建立水平投影方程查表18-1，可得，；而所以：0 xF0 Bss21DCA
44、FFk2346 siiFACCA0BsDF2321ik18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用2）基本结构在单位结点线位移 单独作用下的计算查表18-1，得到各杆端弯矩作出 图，如图18-16(a)所示。12Z0 ，433236ADBBDBDBDCCACAACMiliMiliMM2M18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用由结点C的力矩平衡（图18-16 b），求k12 根据MC=0，可得：也可以根据反力互等定理，得：2312ik232112ikk18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用为计算k22，取柱顶以上横梁CD为隔离体，如图18-1
45、6(c)所示，建立水平投影方程查表18-1，可得，所以：0 xF0ss22DBCAFFk43412 2siiFACCA16343 2siiFDBDB1615ss22iFFkDBCA18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用3）基本结构在荷载单独作用下的计算查表18-2，得到各杆的固端弯矩作出MF图，如图18-17(a)所示。0FFFFFDBDCCDCAACMMMMMmkN208410822FqlMBD18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用由结点C的力矩平衡（图18-17b），求F1F根据MC=0，可得：F1F=018.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型
46、方程及其应用取柱顶以上横梁CD为隔离体，如图18-17(c)所示，建立水平投影方程查表18-2，可得，所以，0 xF0 2FsDBFsCAFFFF0 FsCAFkN158410383 FsqlFDBkN15 2FsDBFsCAFFFF18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用(4)解位移法方程，求解Z1、Z2将系数和自由项代入位移法方程，得解得：（）（）025.1110iZiZ0152161515.1ZiiZiZ158.31iZ05.21218.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用最后弯矩图可以根据叠加原理求作，其公式为：如图18-12（e）所示。其中：FFMZ
47、MZMMMMM221121iZ158.31iZ05.21218.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用最后弯矩图18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用总结本例用位移法的典型方程求解超静定结构的过程为：（1）确定基本未知量和建立基本结构。确定原结构的基本未知量即刚结点转角位移和独立结点线位移数目。在原结构产生刚结点转角位移处添加附加刚臂阻止其转动，在独立的结点线位移处添加附加支座链杆阻止其移动，并令附加约束发生正向的位移，得到基本结构。18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用（2）建立位移法方程。根据基本结构在原荷载和结点位移共同作用下，在附加
48、约束处的约束反力（力矩）等于零的条件，建立位移法方程。18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用（3）计算系数及自由项。作基本结构在单位结点位移Zi=1作用下的弯矩图 图，再查表得到相关杆件的杆端剪力,由平衡条件计算方程的系数；作基本结构在荷载单独作用下的弯矩图MF图,再查表得到相关杆件的固端剪力,由平衡条件计算方程的自由项。iM18.4 位移法的典型方程及其应用位移法的典型方程及其应用（4）解位移法方程，求出基本未知量。（5）作内力图。利用叠加公式 ，计算结构各杆的杆端弯矩并作M图；利用各杆力矩平衡方程计算各杆杆端剪力并作Fs图；利用结点的平衡条件计算杆端轴力并作FN图。FM
49、ZMZMM2211第十八章第十八章 位移法小结位移法小结位移法是以结构的结点位移作为基本未知量的求解超静定结构的另一基本方法。内容主要包括位移法的求解思路、等截面直杆的转角位移方程及位移法的基本未知量、基本结构及位移法方程的建立与求解。重点是会利用等截面直杆的杆端内力表和固端内力表计算各种外因影响下的杆端内力，并熟练掌握用位移法计算超静定梁和刚架，具体内容如下：第十八章第十八章 位移法小结位移法小结1等截面直杆的转角位移方程表示杆端内力与杆端位移及所受荷载之间的关系,是位移法的基本公式。单位杆端位移产生的杆件两端的内力称为杆端内力；荷载作用下产生的杆件两端的内力称为固端内力。位移法是以力法解得
50、的三种单跨超静定梁的杆端内力和固端内力作为计算基础。注意位移法中关于结点位移和杆端内力、固端内力的正负号规定。第十八章第十八章 位移法小结位移法小结2位移法的基本未知量是结构上的结点位移，包括刚结点的转角位移和独立的结点线位移。刚结点转角位移的数目等于结构刚结点的数目；独立结点线位移的数目等于将刚结点改为铰结点后得到的铰接链杆体系成为几何不变所需附加的最少链杆数目。3位移法是在原超静定结构是的刚结点处附加刚臂、在独立结点线位移方向附加链杆后，变成的一个若干超静定梁的组合体,即位移法的基本结构。在基本结构上作用有原结构的原荷载以及附加约束产生正向的结点位移。第十八章第十八章 位移法小结位移法小结
