1、4.2 动态过程微分方程描述动态过程微分方程描述 动态微分方程描述的是被控量与给定量或扰动量之间的函数关系，给定量和扰动量可看成是系统的输入，被控量看成输出量。建立微分方程时，一般从系统的环节着手，先确定各环节的输入量和输出量，以确定其工作状态，并建立各环节的微分方程，而后消去中间变量，最后得到系统的动态微分方程。对于比较复杂的系统，建立系统微分方程一般采用以下对于比较复杂的系统，建立系统微分方程一般采用以下步骤：步骤：（1）将系统划分为多个环节，确定各环节的输入及输出）将系统划分为多个环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节可考虑写一个方程。信号，每个环节可考虑写一个方程。（2）根据物理定
2、律或通过实验等方法得出物理规律，列）根据物理定律或通过实验等方法得出物理规律，列出各环节的原始方程式，并考虑适当简化、线性化。出各环节的原始方程式，并考虑适当简化、线性化。（3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含有输入变量、输出变量以及参量的系统方程式。含有输入变量、输出变量以及参量的系统方程式。dttduCtitututiRdttdiLi)()()()()()(00)()()()(00202tutudttduRCdttudLCi，FCHLR3.0,1.2,6.1关系曲线。画出电流与电容电压的的值，并，时的电压，求接入时零，电容电压为初
3、始状态是电感电流为)()(1005.10,2.00tutistVtV见：见：.仿真程序4-2.m 4.3 拉氏变换与控制系统模型拉氏变换与控制系统模型例4-3 求ttbtubteatat3cos)(sin)(2见：见：.仿真程序4-3.m0111101111asasasabsbsbsbsGnnnnmmmm.)(1431212ssssG)().()().()()(nmpspspszszszsksG2121DUCXYBUAXX.)43s2ss)(3s(s)62ss)(1s()s(G23222传递函数模型传递函数模型 TF零极点增益零极点增益模型模型 ZPK状态空间模型状态空间模型 SS)5s)(3
4、s)(1s()2s(6)s(G2s2s1)s(G227243645232345234)(sssssssssSGniipsirkSG1)(2537222342)(ssssssSG1s4.0s1)s(G2)31)(ss(5s)s(G1)44ss1s)s(G222)3i1s(3i)1s(3)s(G)s2)(222nnnssG n nT 10222nnsssD )(1221 nnS,1221 nnp,)()(nnsssG 221n wn=1%固有频率固有频率sigma=0,0.2,0.4,0.6,0.9,1,1.5%7个不同的阻尼比个不同的阻尼比num=wn*wnt=linspace(0,20,200
5、)%将将t在在0到到20之间分成之间分成200份份for j=1:7den=conv(1,0,1,2*wn*sigma(j);%求取开环传递函数的分母求取开环传递函数的分母s1=tf(num,den)%建立开环传递函数建立开环传递函数sys=feedback(s1,1)%建立单位负反馈系数的传递函数建立单位负反馈系数的传递函数y(:,j)=step(sys,t);%求单位阶跃响应求单位阶跃响应endplot(t,y(:,1:7);gridtitle(典型二阶系统取不同阻尼比时的单位阶跃响应典型二阶系统取不同阻尼比时的单位阶跃响应)gtext(sigma=0);gtext(sigma=0.2);
6、gtext(sigma=0.4);gtext(sigma=0.6);gtext(sigma=0.9);gtext(sigma=1.2);gtext(sigma=1.5);2nTKTKST1STK)s(G2n2T1T21K)1sT(sk)s(GT=1%时间常数时间常数k=0.1,0.2,0.5,0.8,1.0,2.4,3.0%7个不同的开环增益取值个不同的开环增益取值t=linspace(0,20,200)%将将t在在0到到20之间分成之间分成200份份num=1;den=conv1,0,T,1)for j=1:7s1=tf(num*k(j),den)%建立开环传递函数建立开环传递函数sys=f
7、eedback(s1,1)%建立单位负反馈系数的传递函数建立单位负反馈系数的传递函数y(:,j)=step(sys,t);%求单位阶跃响应求单位阶跃响应endplot(t,y(:,1:7);gridtitle(典型二阶系统取不同开环增益时的单位阶跃响应典型二阶系统取不同开环增益时的单位阶跃响应)gtext(k=0.1);gtext(k=0.2);gtext(k=0.5);gtext(k=0.8);gtext(k=1.0);gtext(k=2.4);gtext(k=3.0);2nn22n)s21(2s)s(1)s(R)s(C)s(G42ss)s4(1)s(G2tao=0,0.2,0.4%3个不同
8、的微分时间常数个不同的微分时间常数t=linspace(0,8,80)%将将t在在0到到8之间分成之间分成80份份num=4;den=1,2,4%开环传递函数的分子分母表达式开环传递函数的分子分母表达式for j=1:3sys=tf(conv(num,tao(j),1),den)%建立系统传递函数建立系统传递函数y(:,j)=step(sys,t);%求单位阶跃响应求单位阶跃响应endplot(t,y(:,1:3);gridtitle(比例微分控制，不同微分时间下的系统阶跃响应比例微分控制，不同微分时间下的系统阶跃响应)gtext(tao=0);gtext(tao=0.2);gtext(tao
9、=0.4);).)(5)(s2s().147.3(s)(2271261051ssssGk=147.3%原系统的增益原系统的增益t=0:0.1:6%仿真时间仿真时间num0=k*1,1.5den00=1,2,5;den01=1,10,26;den02=1,1.7%分母系数分母系数=-5i,-1i,p5=-1.7和和1个个零点零点z1=-1.5。显然主导极点为。显然主导极点为-1i，由主导极点，由主导极点构成的传递函数为构成的传递函数为52s)(2ssG5sys0=tf(num0,conv(den00,conv(den01,den02)%建立原系统建立原系统传递函数传递函数y0=step(sys0
10、,t);%求原系统单位阶跃响应求原系统单位阶跃响应num1=5sys1=tf(num1,den00)%建立主导极点构成的系统传递函数建立主导极点构成的系统传递函数y1=step(sys1,t)plot(t,y0,t,y1);gridtitle(阶跃响应对比阶跃响应对比)gtext(原系统的单位阶跃响应原系统的单位阶跃响应);gtext(主导极点构成主导极点构成的系统的单位阶跃响应的系统的单位阶跃响应)由图看出主导极点构成的系统和原系统在动态性能上差别由图看出主导极点构成的系统和原系统在动态性能上差别很小。很小。)50)(s()(21010500sssG用用Simulink进行仿真。进行仿真。=
11、-5i,-10。显然主导极点。显然主导极点为为-5i，由主导极点构成的传递函数为，由主导极点构成的传递函数为50s)(21050ssG 所谓根轨迹是系统的某个特定参数，通常是回路增益所谓根轨迹是系统的某个特定参数，通常是回路增益K从从0变化到无穷大时，描绘闭环系统特征方程的根在变化到无穷大时，描绘闭环系统特征方程的根在S平平面的所有可能位置的图形。面的所有可能位置的图形。由前面可知，自动控制系统的稳定性完全由它的闭环由前面可知，自动控制系统的稳定性完全由它的闭环极点（特征根）决定，而系统的品质取决于它的闭环极点极点（特征根）决定，而系统的品质取决于它的闭环极点和零点。因此，在设计一个闭环系统时
12、，如果能够通过分和零点。因此，在设计一个闭环系统时，如果能够通过分析开环系统来确定闭环系统的特征，将具有重大意义。析开环系统来确定闭环系统的特征，将具有重大意义。1948年，年，Evans根据反馈系统开环和闭环传递函数之根据反馈系统开环和闭环传递函数之间的关系，提出了一种简便的方法，由开环传递函数来直间的关系，提出了一种简便的方法，由开环传递函数来直接寻求闭环特征根的轨迹的总体规律，而无须求解高阶系接寻求闭环特征根的轨迹的总体规律，而无须求解高阶系统的特征根，这就是根轨迹法。统的特征根，这就是根轨迹法。1.绘制零极点的函数绘制零极点的函数pzmap()2.常用的调用格式：常用的调用格式：pzm
13、ap(sys)4.在连续系统根轨迹图上加等阻尼线和等自然振荡角频在连续系统根轨迹图上加等阻尼线和等自然振荡角频率线的函数率线的函数sgrid()3.计算给定一组根的根轨迹增益的函数计算给定一组根的根轨迹增益的函数rlocfind()常用的调用格式：常用的调用格式：k,poles=rlocfind(sys)2.绘制根轨迹的函数绘制根轨迹的函数rlocus()常用的调用格式：常用的调用格式：rlocus(sys)rlocus(sys,k)在在MATLAB命令窗口输入命令窗口输入“rltool”就可以激活根轨迹就可以激活根轨迹GUI窗口。窗口。例如：对于单位负反馈控制系统的开环传递函数为：例如：对于
14、单位负反馈控制系统的开环传递函数为：)4s)(1s(s)1s(K)s(Gnum=1 1;den=conv(1 0,conv(1-1,1 4);sys=tf(num,den）rltool（sys)例例6-1 已知某系统的闭环传递函数为：已知某系统的闭环传递函数为：试使用试使用MATLAB画出系统的零极点，并求出系统的零极画出系统的零极点，并求出系统的零极点。点。)()(.)(5326522sssssGnum=2.5*1,6;den=conv(1,2,3,1,5);sys=tf(num,den）pzmap(sys)p,z=pzmap(sys)title(零极点图零极点图)例例6-2 已知单位负反馈
15、系统，系统的开环传递函数为：已知单位负反馈系统，系统的开环传递函数为：试使用试使用MATLAB绘制系统的根轨迹。绘制系统的根轨迹。)(.()()(141501ssssKsGnum=1,1;den=conv(1,0,conv(0.5,1,4,1);sys=tf(num,den）rlocus(sys)title(根轨迹图根轨迹图)例：已知系统开环传递函数为：例：已知系统开环传递函数为：绘制闭环系统的根轨迹。绘制闭环系统的根轨迹。)22)(3()()(2ssssKSHSG解：解：num=1;den1=1 0;den2=1 3;den3=1 2 2;den=conv(den1,conv(den2,de
16、n3);K=0:1:200;%系统增益向量系统增益向量 r=rlocus(num,den,K);绘制增益为绘制增益为k时的闭环极点时的闭环极点 x=-4:0.1:4;y=-4:0.1:4;tx=zeros(1,length(x);零矩阵零矩阵 ty=zeros(1,length(y);plot(r,.);绘制根轨迹绘制根轨迹 line(x,tx);line(y,ty);划直线划直线 例例6-3 已知单位负反馈系统，系统的开环传递函数为：已知单位负反馈系统，系统的开环传递函数为：试使用试使用MATLAB绘制系统的根轨迹。绘制系统的根轨迹。并在根轨迹图上任选一点，计算该点的增益并在根轨迹图上任选一
17、点，计算该点的增益K及其所有极及其所有极点的位置。点的位置。)()()()(12315ssssKsGnum=1,5;den=conv(1,1,conv(1,3,1,12);sys=tf(num,den)rlocus(sys)k,poles=rlocfind(sys)%计算所选定点处的增益和其他闭环极点计算所选定点处的增益和其他闭环极点title(根轨迹图根轨迹图)例例6-4 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为：已知某单位负反馈系统的开环传递函数为：试使用试使用MATLAB画出带栅格线的根画出带栅格线的根轨迹图。轨迹图。3215222sssssG)(num=2,5,1;den=1,2,3;sy
18、s=tf(num,den)rlocus(sys)sgridtitle(带栅格线的带栅格线的 根轨迹图根轨迹图)例例6-10 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为：已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为：1.画出根轨迹画出根轨迹 2.确定使闭环系统稳定的增益值确定使闭环系统稳定的增益值K3.分析系统的阶跃响应性能分析系统的阶跃响应性能4.利用利用rltool对系统的性能进行分析。对系统的性能进行分析。)()()(411ssssKsGclc;%清除命令窗口的显示清除命令窗口的显示clear;%清除工作空间的所有变量清除工作空间的所有变量num=1,1;den=conv(1,0,conv(1,-1
19、,1,4);sys=tf(num,den）rlocus(sys);grid on;title(根轨迹图根轨迹图)采用频率特性作为数学模型来分析和设计系统的方法采用频率特性作为数学模型来分析和设计系统的方法称为频率特性法，又称频率响应法。称为频率特性法，又称频率响应法。频率分析法是根据频率特性曲线的形状及其特征量来频率分析法是根据频率特性曲线的形状及其特征量来分析研究系统的特性，而不是对系统模型求解。分析研究系统的特性，而不是对系统模型求解。频率特性定义：频率特性定义：频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比相对频率的关系特性，记为：与输入之
20、比相对频率的关系特性，记为：)()()()()(jioeAjXjXjG)()()(ioXXA式中，式中，称为幅频特性，称为幅频特性，称为相频特性，称为相频特性，)()()(io频域性能指标主要有：频域性能指标主要有：1.谐振频率谐振频率r r,表示幅频特性表示幅频特性A()出现最大值时所对出现最大值时所对应的频率。应的频率。2.谐振峰值谐振峰值M r,表示幅频特性的最大值，表示幅频特性的最大值，M r值大表明值大表明系统对频率的正弦信号反映强烈，即系统的平稳性系统对频率的正弦信号反映强烈，即系统的平稳性差，阶跃响应的超调量大。差，阶跃响应的超调量大。3.频带频带b b,表示幅频特性表示幅频特性
21、A()的幅值衰减到起始值的的幅值衰减到起始值的0.707倍时所对应的频率。倍时所对应的频率。b b 大表明系统快速性好，大表明系统快速性好，阶跃响应上升时间短。阶跃响应上升时间短。4.零频零频A(0)，表示频率，表示频率=0时的幅值，时的幅值，A(0)表示系统阶表示系统阶跃响应的终值，跃响应的终值，A(0)与与1之间的差反映了系统的稳态之间的差反映了系统的稳态精度，精度，A(0)越接近越接近1，系统的精度越高。，系统的精度越高。频域法采用图形化的方法对系统进行分析，频率特性曲频域法采用图形化的方法对系统进行分析，频率特性曲线包括三种形式：线包括三种形式：1.极坐标图（极坐标图（Nyquist图
22、）图）2.对数坐标图（对数坐标图（Bode图）图）3.对数幅相图（对数幅相图（Nichols图）图）1.Nyquist曲线绘制函数曲线绘制函数 nyquist()一般用法：一般用法：nyquist(num,den)绘制以连续时间多项式传递绘制以连续时间多项式传递函数表示的系统极坐标图。函数表示的系统极坐标图。例例7-1:已知一个典型的一阶环节传递函数为：已知一个典型的一阶环节传递函数为：试绘制该环节的试绘制该环节的Nyquist图。图。135ssG)(num=5;den=3,1;G=tf(num,den)nyquist(G);grid2.Bode 图绘制函数图绘制函数bode()一般用法：一般
23、用法：bode(num,den)绘制以连续时间多项式传递函数表示的系统绘制以连续时间多项式传递函数表示的系统bode图。图。例例7-2:已知一个典型的二阶环节传递函数为：已知一个典型的二阶环节传递函数为：其中其中n n=0.7,试分别绘制试分别绘制0.1,0.4,1.0,1.6,2.0时的时的Bode图。图。2222nnnsssG )(w=0,logspace(-2,2,200)%w为为10-2102之间对数等间距分布的之间对数等间距分布的200个数。个数。wn=0.7%自然振荡角频率自然振荡角频率zeta=0.1,0.4,1.0,1.6,2.0;%阻尼比的不同取值阻尼比的不同取值for j=
24、1:5sys=tf(wn*wn,1,2*zeta(j)*wn,wn*wn)bode(sys,w);hold on;绘制在同一图上绘制在同一图上endgtext(zeta=0.1);gtext(zeta=0.4);gtext(zeta=1.0);gtext(zeta=1.6);gtext(zeta=2.0);已知系统开环传递函数为：已知系统开环传递函数为：编程绘制编程绘制Bode 图。图。2)50)(5.0()4(100)(ssssSGk解：解：K=100;Z=-4;P=0 0.5 50 50;num,den=zp2tf(Z,P,K);bode(num,den);title(Bode Polt)
25、;3.Nichols曲线绘制函数曲线绘制函数nichols()一般用法：一般用法：nichols(num,den)绘制以连续时间多项式传递函数表示的系统绘制以连续时间多项式传递函数表示的系统nichols图。图。4.绘制等绘制等M圆和等圆和等N圆的函数圆的函数ngrid()Nichols图通常与等图通常与等M圆（等幅值圆）和等圆（等幅值圆）和等N圆（等相角圆（等相角圆）一起使用，从开环频率特性获得闭环频率特性。圆）一起使用，从开环频率特性获得闭环频率特性。例例7-3:已知一高阶系统的传递函数为：已知一高阶系统的传递函数为：试绘制系统的试绘制系统的nichols图。图。6063560028600
26、00606906356102810000102323sssssssG.)(num=0.0001,0.0281,1.06356.9.6;den=0.0006,0.0286,0.06356,6;G=tf(num,den)ngrid(new)nichols图栅格，先清除。图栅格，先清除。nichols(G)例例7-4:已知二阶系统的传递函数为：已知二阶系统的传递函数为：试计算此系统的谐振幅值和谐振频率。试计算此系统的谐振幅值和谐振频率。53632sssG.)(Function Mr,Pr,Wr=mr(G)mag,pha,w=bode(G)得到幅值、相角、角频率得到幅值、相角、角频率magn(1,:)
27、=mag(1,:);phase(1,:)=pha(1,:)M,i=max(magn)Mr=20*log10(M)%求得谐振峰值求得谐振峰值Pr=phase(1,i)Wr=w(i,1)求得谐振频率求得谐振频率例例7-4:已知二阶系统的传递函数为：已知二阶系统的传递函数为：试计算此系统的谐振幅值和谐振频率。试计算此系统的谐振幅值和谐振频率。53632sssG.)(主程序代码：主程序代码：num=3.6;den=1,3,5;G=tf(num,den)Mr,Pr,Wr=mr(G)%调用函数调用函数mr 从从 Nyquist稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右半平
28、面的极点且闭环系统是稳定的，则开环系统的半平面的极点且闭环系统是稳定的，则开环系统的Nyquist曲线离曲线离(1,j0)点越远，闭环系统的稳定性越好；点越远，闭环系统的稳定性越好；开环系统的开环系统的Nyquist曲线离曲线离(1,j0)点越近，闭环系统的点越近，闭环系统的稳定性越差。稳定性越差。系统的相对稳定性用系统的相对稳定性用Nyquist曲线相对点曲线相对点(-1,j0)的靠近程的靠近程度，定量表示为增益裕度和相角裕度。度，定量表示为增益裕度和相角裕度。2.增益裕度增益裕度增益裕度用于表示增益裕度用于表示G(j)H H(j)曲线在负实轴上相对于曲线在负实轴上相对于(-1,j0)点的靠
29、近程度点的靠近程度 。当当G(j)H H(j)曲线与负实轴交于曲线与负实轴交于G G点时，点时，G G点的频率点的频率g g称称为相位穿越频率，此时为相位穿越频率，此时g处的相角为处的相角为-180-180，幅值为，幅值为 ，开环频率特性幅值，开环频率特性幅值 的倒数称的倒数称为增益裕度或幅值裕度，用为增益裕度或幅值裕度，用K Kg表示：表示：)()(jHjG)()(jHjG)()(gggjHjGK 1增益裕度用分贝数表示为：增益裕度用分贝数表示为：)()(lggggjHjGK 20 对于最小相位系统：对于最小相位系统：当当 或或 时，时，闭环系统稳定，闭环系统稳定，1或（后者或（后者0）时，
30、闭环系统不稳定。）时，闭环系统不稳定。=1或（后者或（后者=0）时，系统处于临界状态。）时，系统处于临界状态。1)()(jHjG020)()(lgggjHjG 3.相角裕度相角裕度在图在图7.18中，中，G(j)H H(j)与单位圆相交于与单位圆相交于C C点，点，C C点处点处的频率为的频率为c c ，此时，此时1)()(jHjG使系统达到临界稳定状态而尚可增加的滞后相角就称使系统达到临界稳定状态而尚可增加的滞后相角就称为系统的相角裕度。表示为：为系统的相角裕度。表示为：相角裕度相角裕度是增益穿越频率是增益穿越频率c处相角与处相角与-180线之间的距线之间的距离。离。对于最小相位系统：对于最
31、小相位系统：当当 0时，闭环系统稳定；时，闭环系统稳定；当当 0时，闭环系统不稳定。时，闭环系统不稳定。)(c 180 MATLAB在稳定性分析中的应用在稳定性分析中的应用MATLAB提供了用于计算系统稳定裕度的函数提供了用于计算系统稳定裕度的函数margin,其其调用法则如下：调用法则如下：Margin(num,den):计算连续系统传递函数表示的幅值裕度计算连续系统传递函数表示的幅值裕度和相角裕度，并绘出相应的和相角裕度，并绘出相应的Bode 图。图。gm,pm,wcg,wcp=margin(mag,phase,w);由幅值由幅值mag（不（不是以是以dB为单位），相角为单位），相角pha
32、se及角频率及角频率w矢量计算系统幅矢量计算系统幅值裕度和相角裕度及相应的相角交界频率值裕度和相角裕度及相应的相角交界频率wcg、截止频率、截止频率wcp、而不直接绘出、而不直接绘出Bode图。图。s=allmargin(sys):计算幅值裕度、相角裕度及对应频率。计算幅值裕度、相角裕度及对应频率。输出输出s是一个结构体，它包括幅值裕度、相角裕度及对是一个结构体，它包括幅值裕度、相角裕度及对应的频率、时滞增益裕度。应的频率、时滞增益裕度。例例7-5 已知一高阶系统的开环传递函数为已知一高阶系统的开环传递函数为 试计算系统的相角稳定裕量和幅值稳定裕量，并绘制试计算系统的相角稳定裕量和幅值稳定裕量
33、，并绘制系统的系统的Bode图。图。).)(.)(.().()(1001010025010301016705ssssssGnum=5*0.0167,1den=conv(conv(1,0,0.03,1),conv(0.0025,1,0.001,1)G=tf(num,den)%建立传递函数建立传递函数w=logspace(0,4,50)%w为为100104之间对数等间距分之间对数等间距分 布的布的50个数个数bode(G,w);grid;Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G)%求稳定裕量求稳定裕量(Gm幅值稳定裕量、幅值稳定裕量、Pm相角稳定裕量）相角稳定裕量）例例7-6 已知一高阶系统的
34、开环传递函数为已知一高阶系统的开环传递函数为 试计算当开环增益试计算当开环增益K=5,500,800,3000时，系统稳定裕量时，系统稳定裕量的变化。的变化。k=5,500,800,3000for j=1:4num=k(j)*0.0167,1den=conv(conv(1,0,0.03,1),conv(0.0025,1,0.001,1)G=tf(num,den)%建立传递函数建立传递函数y(j)=allmargin(G)%计算幅值裕度，相角裕度以及对应频率计算幅值裕度，相角裕度以及对应频率endY(1);y(2);y(3);y(4);).)(.)(.().()(1001010025010301
35、01670sssssKsG 例例7-7 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制系统的极坐标图，并利用试绘制系统的极坐标图，并利用Nyquist稳定判据判断稳定判据判断闭环系统的稳定性。闭环系统的稳定性。k=100；z=-5;p=2,-8,-20%开环传递函数的零极点和增益开环传递函数的零极点和增益G=zpk(z,p,k)%建立传递函数建立传递函数nyquist(G);grid%绘制绘制Nyquist图并添加栅格。图并添加栅格。)()()()(20825100sssssG 例例7-8 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试分别绘制试分别绘制=1,7.8,20时系统
36、的极坐标图，并利用时系统的极坐标图，并利用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性。稳定判据判断闭环系统的稳定性。)()(105100sssKsGz=;p=0,-5,-10；k=100*1,7.8,20%开环传递函数的零极点和增益开环传递函数的零极点和增益G=zpk(z,p,k(1);re1,im1=nyquist(G)%绘制绘制Nyquist图图G=zpk(z,p,k(2);re2,im2=nyquist(G)G=zpk(z,p,k(3);re3,im3=nyquist(G)plot(re1(:),im1(:),re2(:),im2(:),re3(:),im3(:)v=-5,1,-5,1;
37、axis(v)gridxlabel(Real Axis);ylabel(Imaginary Axis);text(-0.4,-3.6,K=1);text(-2.7,-2.7,K=7.8);text(-4.4,-1.6,K=20)系统校正与综合：设计一个系统并选择适当的参数系统校正与综合：设计一个系统并选择适当的参数以满足性能指标的要求，或对原有系统增加某些必要以满足性能指标的要求，或对原有系统增加某些必要的元件或环节，使系统能够全面满足性能指标要求，的元件或环节，使系统能够全面满足性能指标要求，也叫系统设计。这是一个反复试探的过程，也叫系统设计。这是一个反复试探的过程，MATLAB/Simul
38、ink提供了有效手段。提供了有效手段。稳态稳态性能指标性能指标动态动态性能指标性能指标静态位置误差系数静态位置误差系数 Kp静态速度误差系数静态速度误差系数 Kv静态加速度误差系数静态加速度误差系数 Ka稳态误差稳态误差 ess时域指标：超调量时域指标：超调量Mp、调节时间、调节时间ts、上升时间、上升时间tr、峰值时间、峰值时间tp 频域指标频域指标开环开环频域指标频域指标闭环闭环频域指标频域指标开环增益、开环截止频率开环增益、开环截止频率c相角裕度相角裕度、幅值裕度、幅值裕度Kg中频段宽度、高频段衰减率中频段宽度、高频段衰减率谐振频率谐振频率r谐振峰值谐振峰值Mr闭环截止频率闭环截止频率
39、o闭环带宽闭环带宽 0o低频段斜率、中频段斜率低频段斜率、中频段斜率 为使控制系统能满足一定的性能指标，通常需要在控为使控制系统能满足一定的性能指标，通常需要在控制系统中引入一定的附加装置，称为控制器或校正装制系统中引入一定的附加装置，称为控制器或校正装置。置。校正装置按不同特性分为：校正装置按不同特性分为：1.超前校正超前校正2.滞后校正滞后校正3.滞后超前校正滞后超前校正4.串联校正串联校正5.反馈校正反馈校正6.前馈校正前馈校正 PID控制器由比例单元（控制器由比例单元（P)、积分单元、积分单元(I)、和微分单、和微分单元元(D)组成。基本的组成。基本的PID控制规律为：控制规律为：sK
40、sKKsGDIpc)(PID控制器使用中只需设定三个参数即可。很多情况控制器使用中只需设定三个参数即可。很多情况下，并不一定需要三个单元，可以取其中一个或两个下，并不一定需要三个单元，可以取其中一个或两个单元，但比例控制是必不可少的。单元，但比例控制是必不可少的。例例8-1 控制系统如图所示，其中控制系统如图所示，其中Go(s)为三阶对象模型：为三阶对象模型：H(s)为单位反馈，对系统采用纯比例控制，比例系数分为单位反馈，对系统采用纯比例控制，比例系数分别为别为Kp=0.1，2.0，2.4，3.0，3.5，试求各比例系数下，试求各比例系数下系统的单位阶跃响应，并绘制响应曲线。系统的单位阶跃响应
41、，并绘制响应曲线。)()()(5211ssssGoG=tf(1,conv(conv(1,1,2,1),5,1);%开环传递函数开环传递函数kp=0.1,2.0,2.4,3.0,3.5 for i=1:5G=feedback(kp(i)*G,1);step(G);hold onendgtext(kp=0.1);gtext(kp=2.0);gtext(kp=2.4);gtext(kp=3.0);gtext(kp=3.5);从图可以看出，随着从图可以看出，随着Kp值增大，系统响应速度也加快，值增大，系统响应速度也加快，系统的超调也随着增加，调节时间也随着增长。但当系统的超调也随着增加，调节时间也随着
42、增长。但当Kp增大到一定值后，闭环系统将趋于不稳定。增大到一定值后，闭环系统将趋于不稳定。P控制一般不单独使用。控制一般不单独使用。具有比例加微分控制规律的控制称为具有比例加微分控制规律的控制称为PD控制，其传递控制，其传递函数为：函数为：结构如下图：结构如下图：sKKsGppc)(例例8-2 控制系统如图所示，其中控制系统如图所示，其中Go(s)为三阶对象模型：为三阶对象模型：H(s)为单位反馈，采用比例微分控制，比例系数为单位反馈，采用比例微分控制，比例系数Kp=2,微分系数分别取微分系数分别取=0，0.3，0.7，1.5，3，试求各比例微，试求各比例微分系数下系统的单位阶跃响应，并绘制响
43、应曲线。分系数下系统的单位阶跃响应，并绘制响应曲线。G=tf(1,conv(conv(1,1,2,1),5,1);%开环传递函数开环传递函数kp=2 tau=0,0.3,0.7,1.5,3for i=1:5G=tf(kp*tau(i),kp,1);sys=feedback(G1*G,1);step(sys);hold onendgtext(tau=0);gtext(tau=0.3);gtext(tau=0.7);gtext(tau=1.5);gtext(tau=3);)()()(5211ssssGo 具有比例加积分控制规律的控制称为具有比例加积分控制规律的控制称为PI控制，其传递函数控制，其传
44、递函数为：为：其中，其中，Kp为比例系数，为比例系数，Ti为积分时间为积分时间常数。常数。sTKKsGippc1)(PI控制器可以使系统在进入稳态后，无稳态误差。所以控制器可以使系统在进入稳态后，无稳态误差。所以常用来改善系统的稳态性能。常用来改善系统的稳态性能。例例8-3 单位负反馈控制系统的单位负反馈控制系统的开环传递函数为：开环传递函数为：采用比例积分控制，比例系数采用比例积分控制，比例系数Kp=2,积分实践常数分别积分实践常数分别取取Ti=3,6,14,21,28,试求各比例积分系数下系统的单位阶试求各比例积分系数下系统的单位阶跃响应，并绘制响应曲线。跃响应，并绘制响应曲线。G=tf(
45、1,conv(conv(1,1,2,1),5,1);%开环传递函数开环传递函数kp=2 ti=3,6,14,21,28for i=1:5G1=tf(kp,kp/ti(i),1,0)sys=feedback(G1*G,1);step(sys);hold onendgtext(ti=3);gtext(ti=6);gtext(ti=14);gtext(ti=21);gtext(ti=28);)()()(151211ssssGo 具有比例加积分加微分控制规律的控制称为具有比例加积分加微分控制规律的控制称为PID控制，其控制，其传递函数为：传递函数为：其中，其中，Kp为比例系数，为比例系数，Ti为积分时
46、间常数为积分时间常数,为微分时间常为微分时间常数。数。sKsTKKsGpippc 1)(PID控制通过积分作用消除误差，而微分控制可缩小超控制通过积分作用消除误差，而微分控制可缩小超调量、加快系统响应，是综合了调量、加快系统响应，是综合了PI控制与控制与PD控制长处并控制长处并去除其短处的控制，因而被广泛使用。去除其短处的控制，因而被广泛使用。PID控制器的参数整定是控制系统设计的核心内容，它控制器的参数整定是控制系统设计的核心内容，它根据被控过程的特性确定根据被控过程的特性确定PID控制器的各个参数。控制器的各个参数。PID参数整定方法很多，有：理论计算整定法、工程整参数整定方法很多，有：理
47、论计算整定法、工程整定法：定法：Ziegler-Nichols整定法、临界比例度法、衰减曲整定法、临界比例度法、衰减曲线法等。线法等。但在但在MATLAB环境下，可以根据经验公式，直接根据环境下，可以根据经验公式，直接根据仿真曲线来选择仿真曲线来选择PID参数。参数。sKsKKsGDip1)(Kp KI KD 分别为比例系数、积分系数和微分系数。分别为比例系数、积分系数和微分系数。PID传递函数改写为：传递函数改写为：1.将积分系数和微分系数将积分系数和微分系数 KI和和KD 设为设为0，Kp置较小的值。置较小的值。2.使系统投入稳定运行，如无法稳定运行，选择其他方使系统投入稳定运行，如无法稳
48、定运行，选择其他方法。法。3.2.逐渐增大比例系数逐渐增大比例系数Kp直到系统出现等幅振荡，记录直到系统出现等幅振荡，记录此时临界振荡增益此时临界振荡增益Kp和临界振荡周期和临界振荡周期T。4.3.按上表经验公式，进行按上表经验公式，进行PID整定，然后再进行仿真校整定，然后再进行仿真校验。验。稳定边界法参数整定计算公式：稳定边界法参数整定计算公式：使用稳定边界法整定使用稳定边界法整定PID参数分为以下几步参数分为以下几步：例例.试采用稳定边界法整定控制系统试采用稳定边界法整定控制系统PID调节器。已知调节器。已知某被控对象为二阶惯性环节，其传递函数为：某被控对象为二阶惯性环节，其传递函数为：
49、在在Simulink环境下，应用稳定边界法的步骤：环境下，应用稳定边界法的步骤：1.搭建系统方框图搭建系统方框图2.2.设置设置PID参数名称及环境参数参数名称及环境参数3.双击双击Gain元件，分别填入元件，分别填入Kp,Ki,Kd;4.在仿真环境中选在仿真环境中选“Simulation”中的中的“parameters”,将将“stop time”设置为设置为60，“Relative tolerance”设置设置为为le-5,5.分别双击分别双击To workspace元件，输出分别设为元件，输出分别设为tout和和simout6.3.在在MATLAB环境下输入：环境下输入：Kp=1;Ki=
50、0;Kd=0;)()(12151sssG测量装置特性为：测量装置特性为：1101ssGm)(稳定边界法的第二步是求取临界振荡周期和临界增益。稳定边界法的第二步是求取临界振荡周期和临界增益。方法是方法是:先选取较大的先选取较大的Kp，例如，例如100，使系统出现不稳定，使系统出现不稳定的增幅振荡，然后采取折半取中的办法寻找临界增益。的增幅振荡，然后采取折半取中的办法寻找临界增益。最后，确定最后，确定Kp=12.5;T=15.2在命令窗口键入：在命令窗口键入：kp=12.5;T=15.2;kd=0.075*kp*T;ki=1.2*kp/T;kp=0.6*kp;运行仿真图，结果为：运行仿真图，结果为
