1、第第1111讲讲 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论掌握内容l 李氏稳定性的概念稳定性的概念l 稳定性判别方法稳定性判别方法 Stabilityl自动控制系统的出现伴随着稳定性问题自动控制系统的出现伴随着稳定性问题11.1 稳定性研究的历史稳定性研究的历史 利用微分方程进行稳定性分析利用微分方程进行稳定性分析特性方程的根决定稳定性特性方程的根决定稳定性特征方程的系数判据特征方程的系数判据l稳定性研究决定了频率特性的发展稳定性研究决定了频率特性的发展Black发明反馈放大器发明反馈放大器Nyquist判据判据相角裕量相角裕量增益裕量增益裕量l 李亚普诺夫理论成为现代控制理论李亚普诺夫理论成
2、为现代控制理论与非线性控制的重要基础与非线性控制的重要基础1892年，发表年，发表“论稳定论稳定性的一般问题性的一般问题”线性系统线性系统非线性系统非线性系统天遇：混沌与稳定性的起源11.2 稳定性的概念与定义稳定性的概念与定义平衡稳定性平衡稳定性扰动运动微分方程扰动运动微分方程2sin0mlmgl22sin0Bk2sin0k2sin0k无阻尼下垂摆无阻尼下垂摆阻尼下垂摆阻尼下垂摆倒立摆倒立摆定义定义 平衡点平衡点：状态：状态x xe e称为系统的一个平衡点，称为系统的一个平衡点，如果一旦如果一旦x(t)=xx(t)=xe e,则此后状态永远停留则此后状态永远停留在在x xe e.平衡点满足方
3、程平衡点满足方程()0eexf x对线性时不变系统对线性时不变系统xAx0Ax 对于孤立平衡状态，总可以经过对于孤立平衡状态，总可以经过适当的坐标平移变换，将它变换适当的坐标平移变换，将它变换到状态空间原点。因此，经常以到状态空间原点。因此，经常以原点作为平衡状态来讨论系统的原点作为平衡状态来讨论系统的稳定性。稳定性。李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定 如果对任一实数如果对任一实数0,0,都对应地存在一都对应地存在一个实数个实数(，t t0 0)0,)0,使得由满足不等式使得由满足不等式|x|x0 0-x-xe e|(,t0),t0)的任一初始状态的任一初始状态x x0 0出发的受扰
4、运动都满足出发的受扰运动都满足不等式不等式|(t;x(t;x0 0,t,t0 0)-x)-xe e|则称则称x xe e在李雅普诺夫意义下稳定。在李雅普诺夫意义下稳定。x0 xeS()S()(t)任给任给存在存在一致稳定一致稳定 若上述若上述的选取只与的选取只与有关，而和有关，而和t t0 0无关，则称平衡状态是一致稳定。无关，则称平衡状态是一致稳定。渐近稳定渐近稳定 孤立平衡状态孤立平衡状态x xe e=0=0在时刻在时刻t t0 0渐近稳定，渐近稳定，XeXe是李雅普诺夫意义下稳定的（是李雅普诺夫意义下稳定的（mustmust)相对于平衡状态相对于平衡状态x xe e=0=0满足渐近性满足
5、渐近性00lim(;,)0tt x t使系统为渐近稳定的最大区域称吸引域。使系统为渐近稳定的最大区域称吸引域。x0 xeS()S()(t)吸引域吸引域不稳全局稳定全局稳定 若以状态空间的任一有限非零点为初始若以状态空间的任一有限非零点为初始状态的受扰运动都有界，且成立状态的受扰运动都有界，且成立 则系统的原点平衡状态是大范围（全局）则系统的原点平衡状态是大范围（全局）渐近稳定。渐近稳定。00lim(;,)0tt x t不稳定不稳定 设系统的孤立平衡状态为设系统的孤立平衡状态为x xe e。若。若对某个实数对某个实数00和任意实数和任意实数0,0,不管不管多小，在多小，在S(S()内总会存内总会
6、存在一个状态在一个状态x x0 0，使从，使从x x0 0出发的轨出发的轨迹将离开迹将离开S(S(),),则称该孤立平衡则称该孤立平衡状态是不稳定的。状态是不稳定的。x0 xeS()S()(t)无论多大无论多小11.311.3 李雅普诺夫第一方法李雅普诺夫第一方法（线性化方法或间接法）（线性化方法或间接法）基本思路基本思路 将非线性系统运动方程在平衡将非线性系统运动方程在平衡状态附近进行泰勒展开，舍去高次状态附近进行泰勒展开，舍去高次项，导出一次近似的线性化系统。项，导出一次近似的线性化系统。根据线性化系统特征值在复平根据线性化系统特征值在复平面上的分布来判断系统在平衡状态面上的分布来判断系统
7、在平衡状态附近的稳定性。附近的稳定性。()xf x0|()xhfxxfxx忽略忽略A非线性系统非线性系统雅可比矩阵雅可比矩阵111122221212nnnnnnfffxxxffffxxxxfffxxx非线性系统在平衡点的非线性系统在平衡点的线性化方程线性化方程xAx线性化定理线性化定理线性化系统线性化系统非线性系统非线性系统平衡点平衡点A的特征值具的特征值具有负实部有负实部A的特征值具的特征值具有正实部有正实部A的特征值实的特征值实部为零部为零例5xaxbxxax0,a 渐近稳定0,a 不稳定0,a 未知例：判断局部稳定性例：判断局部稳定性2112242212xxxxxxx 231011 21
8、14202xxAxAleksandr Lyapunov(June 6 1857 November 3,1918)1876,圣彼得堡大学学习，师从切比雪夫圣彼得堡大学学习，师从切比雪夫 1892，获博士学位并成为教授，获博士学位并成为教授 1901，俄罗斯科学院院士，俄罗斯科学院院士 1908，参加第，参加第4届数学大会，并参与欧拉届数学大会，并参与欧拉选集的编辑出版工作选集的编辑出版工作 1918，夫人去世，随之自杀，不治身亡，夫人去世，随之自杀，不治身亡Lyapunovs central limit theorem、Lyapunov equation、Lyapunov exponent Ly
9、apunov function、Lyapunov stability 11.4 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法（直接法）（直接法）阻尼系统阻尼系统12212xxkBxxxmm 能量能量221211()22E xkxmx1 122()E xkx xmx x能量的导数能量的导数22()BE xxm(0)0,()0EE x()0E x 是否对所是否对所有系统都有系统都成立？成立？V(x)是向量是向量x的标量函数，的标量函数，S是是x空间包含空间包含原点的封闭有限区域，若对于原点的封闭有限区域，若对于S中的所有中的所有x，都有，都有 V(x)对于向量对于向量x中各分量有连续的偏导数中各分量有连续
10、的偏导数 V(0)=0 当当x0，V(x)0 正定函数正定函数2212()V xxx212()()V xxx212()(32)V xxx 2122()V xx xx二次型函数二次型函数()TV xx PxSylvesterSylvester定理定理当当P P是对称矩阵时，是对称矩阵时，V(x)V(x)为正定为正定的充分必要条件是的充分必要条件是P P的顺序主子行列式都为正的顺序主子行列式都为正 二次型函数的正定性等价于其加权二次型函数的正定性等价于其加权矩阵矩阵P P 的正定性。的正定性。实对称阵实对称阵P P为负定的充分必要条为负定的充分必要条件是其各阶主子式满足件是其各阶主子式满足0i 0
11、i(i 为偶数为偶数)(i 为奇数为奇数)222212312 31 3()104224V xxxxxxxxxx 1012()141211TV xxx李雅普诺夫稳定性定理李雅普诺夫稳定性定理 给定一个定常系统的运动方程和平给定一个定常系统的运动方程和平衡状态，若对该系统可以找到单值标量衡状态，若对该系统可以找到单值标量函数函数V(x)V(x)，且，且V(x)V(x)对各状态分量均具有对各状态分量均具有一阶连续偏导数，若成立一阶连续偏导数，若成立V(x)V(x)正定正定V(x)V(x)的导数负定的导数负定 则则x xe e=0=0是是局部渐近稳定局部渐近稳定的平衡状态，的平衡状态，称称V(x)V(
12、x)是系统的一个李雅普诺夫函数。是系统的一个李雅普诺夫函数。若若V(x)半负定，则半负定，则Lyapuno意义下稳定意义下稳定x ()V x 系统的原点平衡状态为系统的原点平衡状态为大范围渐近稳定大范围渐近稳定放宽后的条件放宽后的条件V0(;,0)Vt x直观理解直观理解 系统的运动伴随能量的变化系统的运动伴随能量的变化,若若能使系统能量变化的速率始终为能使系统能量变化的速率始终为负负(能量为单调减少能量为单调减少),),系统的受系统的受扰运动最终会回到平衡状态扰运动最终会回到平衡状态.x1x2说明说明 普适性普适性(线性线性非线性非线性时变时变)直观性直观性(广义能量广义能量)函数的选取缺少
13、有效方法函数的选取缺少有效方法 充分条件充分条件(若找不到李氏函数若找不到李氏函数,不不意味不稳定意味不稳定)不稳定的判别定理不稳定的判别定理 对对LTI LTI 自治系统自治系统,若可构造标量函数若可构造标量函数V(x),V(0)=0,V(x),V(0)=0,以及围绕状态空间原点以及围绕状态空间原点的一个区域的一个区域,使对所有非零状态使对所有非零状态x x满足满足 V(x)V(x)为正定为正定 V(x)V(x)为正定为正定 则系统原点平衡状态则系统原点平衡状态x=0 x=0为不稳定为不稳定例22121122221212()()xxx xxxxx xx 原点原点(x(x1 1=0,x=0,x
14、2 2=0)=0)是唯一的平衡状态是唯一的平衡状态正定函数正定函数2212()V xxx1 122()22V xx xx x22212()2()V xxx x ()V x 11.5 连续时间线性系统状态稳定连续时间线性系统状态稳定性判据性判据xAx()TV xx Px()()TTTTV xx Px x Px x A P PAx()()TTTV xxA PPA xx Qx 对对n n维维LTILTI系统系统,原点平衡状态原点平衡状态x xe e=0=0是是渐近稳定的充分必要条件为渐近稳定的充分必要条件为,对任给对任给一个一个n n*n n正定对称矩阵正定对称矩阵Q,Q,李亚普诺夫李亚普诺夫方程有
15、唯一正定对称解阵方程有唯一正定对称解阵P PTA PPAQ 说明说明 Q Q常取为对角阵或单位阵常取为对角阵或单位阵 其实质是给出了矩阵其实质是给出了矩阵A A的特征值具有的特征值具有负实部的充要条件负实部的充要条件 其意义主要用于理论推导和分析其意义主要用于理论推导和分析例例 判断稳定性判断稳定性1123xxTA PPAQ 131332321 21 11 0132301pppppppp 12312312320410621240ppppppppp 1237/43/85/8ppp7/45/805/83/8p11.6 11.6 外部稳定性和内部稳定性外部稳定性和内部稳定性（了解了解）LTILTI系
16、统系统BIBOBIBO稳定稳定传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)G(s)所有极点均具所有极点均具有负实部有负实部外部稳定性外部稳定性BIBO稳定性稳定性内部稳定性内部稳定性 由任意时刻由任意时刻t t0 0的非零初始状态的非零初始状态x x0 0引起引起的状态零输入响应为有界的状态零输入响应为有界,且成立且成立0lim()0utxt LTILTI系统内部稳定系统内部稳定lim0A tte LTI系统内部稳定的充要条件系统内部稳定的充要条件状态矩阵状态矩阵A A的所有特征值的所有特征值i i均具有负实部均具有负实部内部稳定性和外部稳定性关系内部稳定性和外部稳定性关系内部稳定内部稳定外部稳定外部稳定外部稳定外部稳定内部稳定内部稳定系统系统BIBOBIBO稳定只意味着其能控稳定只意味着其能控能观部分为渐近稳定能观部分为渐近稳定结论结论 若线性定常系统为能控和能若线性定常系统为能控和能观，则其内部稳定性和外部观，则其内部稳定性和外部稳定性是等价的。稳定性是等价的。
