1、1引言引言分析静力学分析静力学:考虑约束的限制运动方面，通过主动力在约束所容许的考虑约束的限制运动方面，通过主动力在约束所容许的微小位移上的元功微小位移上的元功静力学分为静力学分为刚体静力学刚体静力学和和分析静力学分析静力学刚体静力学刚体静力学（几何静力学）（几何静力学）:用几何的方法研究刚体的平衡用几何的方法研究刚体的平衡.直接研究主动力和约直接研究主动力和约束反力的关系束反力的关系2 选取研究对象，取分离体；选取研究对象，取分离体；刚体静力学解题步骤刚体静力学解题步骤 进行受力分析，画受力图；进行受力分析，画受力图；建立平衡方程；建立平衡方程；求解平衡方程。求解平衡方程。用用虚位移原理虚位
2、移原理处理平衡问题处理平衡问题只在需要求解约束反力（包括内力）时，只在需要求解约束反力（包括内力）时，才有针对性地解除约束才有针对性地解除约束3 约束的定义约束的定义 质点系分为质点系分为自由质点系自由质点系和和非自由质点系非自由质点系 约束方程约束方程0),(tzyxzyxf非自由质点系受到的预先给定的限制称为非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束约束用数学方程来表示的限制条件称为用数学方程来表示的限制条件称为约束方程约束方程如如1 约束约束 虚位移虚位移 虚功虚功4几何约束和运动约束几何约束和运动约束几何约束几何约束-只限制质点或质点系在空间的位置只限制质点或质点系在空间的位置xyolM
3、222lyx 222ryxAA lABxoy实例实例r0By222)()(lyyxxBABA 约束的分类约束的分类5定常约束和非定常约束定常约束和非定常约束定常约束定常约束非定常约束非定常约束f(x,y,z)=0f(x,y,z，t)=02022)(vtlyx xyolMv稳定约束稳定约束不稳定约束不稳定约束如如如如-约束方程中不显含时间约束方程中不显含时间 t 的约束的约束。-约束方程中显含时间约束方程中显含时间 t的约束的约束。在任意瞬时在任意瞬时t，其约束方程为其约束方程为6-如果约束不仅限制质点在某一如果约束不仅限制质点在某一方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动，方向的运动，而且能限
4、制其在相反方向的运动，称之为双面约束，或固执约束称之为双面约束，或固执约束-如果约束仅限制质点在某一方向如果约束仅限制质点在某一方向的运动，称之为单面约束，或非固执约束的运动，称之为单面约束，或非固执约束双面约束和单面约束双面约束和单面约束双面约束双面约束单面约束单面约束如单摆如单摆刚性摆杆约束刚性摆杆约束不可伸长的绳约束不可伸长的绳约束222lyx222lyx双面约束双面约束单面约束单面约束约束方程分别为：约束方程分别为：7-约束方程中不含导数或可积分约束方程中不含导数或可积分为有限形式。为有限形式。完整约束和非完整约束完整约束和非完整约束完整约束完整约束非完整约束非完整约束本章只讨论：本章
5、只讨论：完整的、定常的、完整的、定常的、双面的、几何约束！双面的、几何约束！-约束方程总是微分形式。约束方程总是微分形式。8二、二、虚位移虚位移 在某瞬时，质点系在某瞬时，质点系在在约束所允许的约束所允许的条件下，条件下，可能可能实现的、任何无限小实现的、任何无限小的位移的位移称为虚位移称为虚位移在稳定几何约束下，质点系无限小的实位移是其在稳定几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一虚位移之一虚位移的特点：虚位移的特点：虚位移仅与约束条件有关，是虚位移仅与约束条件有关，是纯粹的几何量纯粹的几何量与实位移相比：与实位移相比：虚位移是无限小的位移；实位移可为无限小，虚位移是无限小的位移；实位
6、移可为无限小，也可为有限值也可为有限值虚位移是假想的位移，与时间、力、质点系的虚位移是假想的位移，与时间、力、质点系的运动情况无关运动情况无关9虚位移常用虚位移常用 r、x、s、等表示；等表示；-等时变分算子符号（变分符号）；等时变分算子符号（变分符号）；-表示无限小的变更；表示无限小的变更；的运算规则与微分算子的运算规则与微分算子“d”的的 运算规则相同。运算规则相同。说明说明关于符号关于符号10AB三、虚功三、虚功质点或质点系所受的力在虚位移上所作质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功，用的功称为虚功，用W 表示。表示。W=F rB力偶力偶 M 的虚功：的虚功：W=M 力力 F 的
7、虚功：的虚功：=Fr cosFrmMxoyF于是，于是，rB W=F r112 虚位移原理虚位移原理 具有具有完整、双面、定常、理想约束完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。虚功之和等于零。011 niiiniiFrFW 0)(1 niiiiiiizZyYxX 矢量表达式为矢量表达式为 坐标分解式为坐标分解式为虚功原理虚功原理虚功方程虚功方程静力学普遍方程静力学普遍方程12 虚位移原理的应用虚位移原理
8、的应用研 究 平 衡 状 态研 究 平 衡 状 态1、确定、确定主动力之间的关系主动力之间的关系或或平衡位置平衡位置2、求解其、求解其内力内力或或约束反力约束反力13螺旋千斤顶中，旋转手柄螺旋千斤顶中，旋转手柄OA=l=0.6m，螺距螺距h=12mm。今在今在OA的水平面内作用一垂直手的水平面内作用一垂直手柄的柄的力力P=160N，试求举起重物试求举起重物B的重量。不的重量。不计各处摩擦计各处摩擦。WAolP P P PB14WAolP P P PBBrPlW 千斤顶受理想约束，千斤顶受理想约束，给给P力点力点A虚位移虚位移rA=l由虚功方程由虚功方程Pl W rB=0rB:=h:2，相应地相
9、应地W力点力点B有有rBWF=0可知，当可知，当P=160N时，能举起时，能举起50.27KN的重物，的重物，是是P 的的314倍！倍！2hrB NPhlW31027.502 rA rB15曲柄滑块机构如图，已知曲柄OA=r，连杆AB=l，曲柄上作用力偶MM，滑块上作用力P P，求系统在图示位置平衡时，MM与P P的关系。ABxoyPM16 222sincos1sinrlrrrB 给给OA以虚位移以虚位移，由由 WF=0PrB M =0 求虚位移间的关系求虚位移间的关系法一法一:投影定理投影定理rAAB=rBAB r cos90()=rB cos MABxoy P且且rA=r 相应地滑块相应地
10、滑块B有有 rB rB rA 90()BrPM 17法法2用虚速度法。用虚速度法。vAAB=vBABrOAcos90()=vBcos OABBvr sinsincos1222 rlrrPMOAArv 且且dtrvBB ABxoy 由速度投影定理由速度投影定理dtr 222sincos1sinrlrr rB 90()18 MABxoy P 法法3方程变分法方程变分法 coscosABOAxB sinsinABOAxBABOA sinsin OAABcoscos OAABOAxB2coscossinsin 19图示机构中，当曲柄图示机构中，当曲柄OC绕绕O轴摆动时，滑块轴摆动时，滑块A沿沿OC滑动
11、，从而带动杆滑动，从而带动杆AB沿铅直槽沿铅直槽K滑动。滑动。OC=a，OK=l，在在C点垂直曲柄作用一力点垂直曲柄作用一力Q，AB上作用力上作用力P沿沿AB方向，方向，求机构在图示位置平衡时力求机构在图示位置平衡时力Q、P的关系。的关系。BCAOKlQPQPQP20BCAOKlQPQPQP给杆给杆OC以虚位移以虚位移，虚功方程为虚功方程为以以OC为动系，为动系，A为动点，为动点，则有虚速度合成式为则有虚速度合成式为B点有虚位移点有虚位移rB，aArrAreArrBCrAB杆作平动杆作平动,于是得于是得0 CBrQrP aC rCBrrPQ dtdtdtrAeAaArrr cosrleA 2c
12、oscosrrleAaA 2cosrrlaAB PalQ 2cos 21abPABC用虚位移原理，求用虚位移原理，求 B 处的反力处的反力BPAB1C1CB、用反力代替、用反力代替B支座支座、给结构一虚位移、给结构一虚位移、写虚功方程、写虚功方程CBbaa 0 BBCNP PbaaNB 22已知三铰拱上作用有已知三铰拱上作用有集中载荷集中载荷P及及力偶力偶M，求求B支座的约支座的约束反力。束反力。三铰拱是受有完全约束的系统，必须解除三铰拱是受有完全约束的系统，必须解除部分约束，赋予运动自由度，才能应用虚部分约束，赋予运动自由度，才能应用虚位移原理。位移原理。分析分析PMABCaaaD23PMa
13、aABCaD(1)求求B铰水平约束力：铰水平约束力：给虚位移给虚位移，FBx atatvcC22r aB2r aDrC则相应有则相应有根据虚位移原理，有根据虚位移原理，有0 DBBxFrPrFMW PaMFBx21(AC作定轴转动；作定轴转动；BCD作平面运作平面运动，瞬心为动，瞬心为C。)解除解除B支座的水平约束，代之以水平反力支座的水平约束，代之以水平反力FBx t DrBrCr24PMaaD aC2r aB2r aD5r 0cos DBByFrPrFMW aMPFBy21根据虚位移原理，有根据虚位移原理，有（AC作定轴转动；作定轴转动；BCD作平面运动，瞬心为作平面运动，瞬心为A。）。）
14、(2)求求B支座的垂直约束反力：支座的垂直约束反力：给虚位移给虚位移则相应有则相应有解除解除B铰的垂直约束，代铰的垂直约束，代之以垂直反力之以垂直反力FBy 55cos DrCr解得解得FByBr 25P2P1llllABCDEqM图示图示ABCD为一静定连续梁，作用于其上为一静定连续梁，作用于其上的载荷的载荷M=5kN.m，P1=P2=4kN，q=2kN/m，=30，l=2m，求支座求支座A处的反力偶。处的反力偶。26解解:将固定端约束解除将固定端约束解除给给xA，而令而令yA=0、A=0，则：则：xB=xA虚功方程为虚功方程为XAxAP1cosxA0(XAPlcos)xA0XA P1cos
15、 3.46(kN)XAYAxAxBxDxAxBxDxAxBxDxAxBxDP2P1llllqABCDMEABDCP2P1EqMXAYAXAYAMAXAYAyA=0！AB不能有转动不能有转动A=0！A不能有竖直向位移不能有竖直向位移27yByAyEyD给给yA，而令而令xA、A=0，则则yA =yE=yB ，yC =0yB=l =yD，YAyA(YA 2ql P1sin+P2)yA0YA=2ql+P1sinP26.0 (kN)虚功方程为虚功方程为yByAyEyDyByAyEyD+2qlyE+P1sinyB P2yD0llll YAABDCEMAXAP2P1qM28 给给 ，而令而令xA、yA=0
16、，则则yE=l ,yB=2l ，yC =0，MA(MA+M2ql 22lP1sin+2lP2)0虚功方程为虚功方程为 MA M2ql 22lP1sin2lP2 3.0 (kNm)llll yEyD=l=2l ，M+2qlyE+P1sin yB P2yD0 2 YAABDCEMAXAP2P1qMyD yB29P2P1llllABCDEqM图示图示ABCD为一静定连续梁，作用于其上的载荷为一静定连续梁，作用于其上的载荷M=5kN.m，P1=P2=4kN，q=2kN/m，=30，l=2m，求支座，求支座A处的反力偶。处的反力偶。MAXAYAP2llCDXBYBYCYC30图示机构中各杆之间均用铰连连
17、接，杆长图示机构中各杆之间均用铰连连接，杆长AE=BD=2l，DH=EH=l。D、E间连着一刚度系数为间连着一刚度系数为K、原长为原长为l的弹簧，杆和弹簧的自重及各处摩擦均不计。今在铰的弹簧，杆和弹簧的自重及各处摩擦均不计。今在铰链链H上加一力上加一力Q，使机构处于静止平衡状态，试确定使机构处于静止平衡状态，试确定Q与与的关系。的关系。ABHEDQKC31ABHEDQCF Fxy由由 WF=0QyyH+FxxE+FxxD=0，0 Dx cos3sin20lylxxHED求变分得求变分得 cos2lxE sin3lyH 各主动力作用各主动力作用点的坐标为点的坐标为弹簧的伸长量为弹簧的伸长量为=2
18、lcosl=(2cos1)l 弹性力的大小为弹性力的大小为 F=F=k=k l(2cos1)解：解除弹簧约束，代之以弹性力解：解除弹簧约束，代之以弹性力F、F，并视为主动力。并视为主动力。ABHEDQKC32代入虚功方程得代入虚功方程得Q3lcos 2kl(2cos 1)sin 3Qcos =0 tan)1cos2(32 klQ于是得平衡时于是得平衡时Q与与应应满足的关系为：满足的关系为：各主动力在坐标轴上的投影为各主动力在坐标轴上的投影为 )1cos2()1cos2(klFFklFFQQxxyABHEDQCF Fxykl(2cos 1)(2lsin)=033建立虚位移之间的关系的方法建立虚位
19、移之间的关系的方法1.作图给出机构的微小运动，直接由几何关系来定作图给出机构的微小运动，直接由几何关系来定2.给出各主动力作用点的坐标方程，求变分，各变分间给出各主动力作用点的坐标方程，求变分，各变分间的比例。的比例。即为虚位移间的比例；即为虚位移间的比例；3 .“虚速度虚速度”法法 （点的合成运动、平面运动基点法、速度投影法、瞬心法等）（点的合成运动、平面运动基点法、速度投影法、瞬心法等）34aADCBMOPPBDABD图示机构中，曲柄图示机构中，曲柄OA上作用一力偶，其矩为上作用一力偶，其矩为M，另外滑块另外滑块D上作用上作用一水平力一水平力P，机构尺寸如图。求当机构平衡时机构尺寸如图。求
20、当机构平衡时P与力偶矩与力偶矩M的关系。的关系。（用虚位移原理）（用虚位移原理）aBAcossin2BCBCDBtgaBD 2sin20DFMFatgM2解：虚位移分析如图解：虚位移分析如图用虚位移原理用虚位移原理35PBD静力学方法验证静力学方法验证aMNAB DBPaAMOaADCBMOPaADCBMOPaADCBMOPAB、BC、CD均为二力杆均为二力杆对对OA杆杆NABNABNONBCND y0 BDPM tgaPaNAB 2 PtgNAB2 36ADCBMOEFrCAsin2cos2llBC tgrtgCB 0BFM FrtgM 解：虚位移分析如图解：虚位移分析如图用虚位移原理用虚位
21、移原理AC D B 曲柄压缩机如图，在曲柄曲柄压缩机如图，在曲柄OA上作用力偶上作用力偶M，已知已知 OA=r，BDC 为一个杆，为一个杆，滑块，滑块B上作用力上作用力F，系统在图示系统在图示位置时平衡，求位置时平衡，求M 与与F 的关系。（用虚位移原理）（的关系。（用虚位移原理）（10分）分）lDEDCBD 37在图示桁架中，已知：在图示桁架中，已知：P、L。试用虚位移原理求杆试用虚位移原理求杆CD的内力的内力LLLLLACDBP LP2 解：虚位移分析如图解：虚位移分析如图 LC LDPOPAOBDBD5 LOD5 PBD :OBD之瞬心之瞬心NCNDBDPD B P C O LCDBP 380 DDCCPNNP 2/PND 用虚位移原理用虚位移原理A0cos5045cos2 LNLPDo52cos LP2 LC LDPOPAOBDBD5 LOD5 LCDBPNCNDBDPD B P C O 39LLLLLACDBP 0AM4/PND LLLDBNDO 0OM2/2PNNBD 静力学方法验证静力学方法验证4041
