1、返回第八节第八节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一、一、函数的连续性函数的连续性二、二、函数的间断点函数的间断点三、小结三、小结返回引例引例?)(lim0 xfxxxy00 x)(xgy xy00 xy=(x)?)(lim0 xgxxAg(x0)Ag(x0)返回定定义义 .)()(,0,000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当问题：问题：函数在点函数在点x0 0连续与存在极限的区别连续与存在极限的区别？1)f(x)在在x=x0必须有定义必须有定义2)A=f(x0)一、函数的连续性一、函数的连续性1.连续的定义连续的定义返回一、函数的连续性一、函数的连续性2.函数的增量函数的增量),(
2、,),()(00 xUxxUxf 内内有有定定义义在在设设函函数数.)(),()(0的增量的增量相应于相应于称为函数称为函数xxfxfxfy xy0 xy00 xx)(xfy x 0 xxx y y.,00的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点 xxxx y=(x)0,0.xy 当时0,0.xy 当时不一定趋于返回返回例例1 1.0,0,0,0,1sin)(处处连连续续在在试试证证函函数数 xxxxxxf证证,01sinlim0 xxx,0)0(f又又由定义由定义1知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 返回3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(00
3、00处处左左连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处处右右连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfbxxf 返回处连续处连续在在函数函数0)(xxf左、右极限与函数值相等左、右极限与函数值相等.)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx 返回例例2 2.0,0,2,0,2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00
4、xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf返回4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函
5、数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(sin内是连续的内是连续的在区间在区间函数函数 xy返回例例3 3.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),(x任取任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx ,1)2cos(xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对任意的对任意的 ,sin 有有,2sin20 xxy 故故.0,0 yx由由夹夹逼逼准准则则时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy返回oyx0 xoyx0 xoyx0 x二、函数的间断点二、函数的间断点oyx返回二、函数的间断点二、函数的间断点 3定定义
6、义;)()1(0处无定义处无定义在点在点xxf;)(lim)2(0 不不xfxx).()(lim00 xfxfxx).()(),()(00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称xfxxxf)3(:)(满足三个条件之一满足三个条件之一若函数若函数xf 返回例例4 4.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为间断点为间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间返回例例4 4.01sin)(处的连续性处的
7、连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为间断点为间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间返回 例例5 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当1-1xyo11lim)(lim00 xxxf0)0(f而而.0为函数间断点为函数间断点 x返回例例6 6.0,0,1,0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的间断点为函数的间断点 xoxy跳越间断点跳越间断点返回可去间断点可去间断点.)()(),()(
8、lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.,)(lim0 xfxx若若0 x则则返回7例例.1)1(是间断点是间断点，不不 xf,2)(lim1 xfx.1)(,2)1(连续连续在在则则只要令只要令 xxff.1 是可去间断点是可去间断点故故 x.111)(2处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxf解解返回解解,1)1
9、(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1 xfx),1(f.0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x例例8 8.1,1,11,10,1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 返回,2)1(f令令.1,1,1,10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy112 ,1,11,10,1,2)(xxxxxxf返回例例9 9.0,0,0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy,0)00(f,)00(f.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间返回间断点分类：间断点分类：,断点断点左、右极限都存在
10、的间左、右极限都存在的间.点点称为函数的第一类间断称为函数的第一类间断.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在一个不存一个不存处的左、右极限至少有处的左、右极限至少有在点在点如果如果xfxxxf断点，断点，不是第一类间断点的间不是第一类间断点的间.点点称为函数的第二类间断称为函数的第二类间断返回可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x返回例例1010.0,0,0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)
11、(lim00 ,1)(lim)(lim00 xaxfxx ,a,)0(af),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf,1 a返回三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:跳跃型跳跃型,可去型可去型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)返回可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类
12、间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x返回思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则|)(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若|)(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？返回思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx)()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故|)(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.返回但反之不成立但反之不成立.例例 0,10,1)(xxxf在在00
13、x不不连连续续但但|)(|xf、)(2xf在在00 x连连续续返回一、一、填空题：填空题：1 1、指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_类间类间断点；在断点；在2 x是第是第_类间断点类间断点.2 2、指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_类间类间断点；在断点；在1 x是第是第_类间断点；在类间断点；在1 x是第是第_类间断点类间断点.二、二、研究函数研究函数 1,11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的连续性，并画出函数 的图形的图形.练练 习习 题题返回返回一、一、1 1、一类、一类,二类；二类；2 2、一类、一类,一类一类,二类二类.二、二、,),1()1,()(内连续内连续与与在在 xf1 x为跳跃间为跳跃间 断点断点.三、三、1 1、1 x为第一类间断点；为第一类间断点；2 2、,2为可去间断点为可去间断点 kx )0(kkx为第二类间断点为第二类间断点.0,12,tan)(1xkkxxxxf ),2,1,0(k,练习题答案练习题答案返回
