1、oxyABL1 nMiM1 iM2M1Mix iy 所作的功。求变力移动到点从点光滑曲线平面上一条沿上连续在作用下设一个质点在变力实例FBALxOyLyxQyxPjyxQiyxPyxFAB,),(),(),(),(),(常力所作的功常力所作的功.ABFW10.2.1 10.2.1 变力沿曲线作功问题变力沿曲线作功问题10.2 10.2 第二类曲线积分的概念与性质第二类曲线积分的概念与性质ABF (1)分割分割:用点用点 将将L分分 成成n个小弧段个小弧段,取其中一个小弧段取其中一个小弧段 来分析；来分析；iiMM1),(,),(),(111222111 nnnyxMyxMyxM10.2.1 1
2、0.2.1 变力沿曲线作功问题变力沿曲线作功问题(2)近似代替近似代替:,1 iiiyyyjyixMMiiii)()(1 ,11iiiiixxxMM其中 :),(1的力上任一点用iiiiMM则则功功点点的的力力来来近近似似代代替替小小弧弧段段上上各各,iiiiiMMFW1),(oxyABL1 nMiM1 iM2M1Mix iy 用有向线段用有向线段来近似代替iiiiiiiyQxPW ),(),(即：即：jQiPFiiiiii),(),(),(10.2.1 10.2.1 变力沿曲线作功问题变力沿曲线作功问题),(iiF(3)求和求和:niiiiiiiniiyQxPWW11,:0,取取上上述述和和
3、的的极极限限令令个个小小弧弧段段的的最最大大长长度度为为设设 n(4)取极限取极限：niiiiiiiyQxPW10,lim W即为变力沿曲线所作的功即为变力沿曲线所作的功。oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 10.2.1 10.2.1 变力沿曲线作功问题变力沿曲线作功问题曲曲线线定定向向：:),(),(),(ttzztyytxxL：t增加或增加或减少来减少来定义方定义方向向L不不自自交交不不封封闭闭曲曲线线曲线曲线ABAB简单闭曲线简单闭曲线 以逆时针还是顺时针来规定其方向。以逆时针还是顺时针来规定其方向。10.2.2 10.2.2 第二类曲线积分的定义与性质第二
4、类曲线积分的定义与性质,的的一一条条有有向向光光滑滑曲曲线线弧弧到到点点面面内内从从点点为为设设BAxoyL),(,),(),(111222111 nnnyxMyxMyxM).,;,2,1(01BMAMniMMnLnii 个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把 iniiisF10),(lim 定义定义,11 iiiiiiiiiyyyxxxyxs其中其中设设.),(1上上任任意意取取定定的的点点为为弧弧点点iiiiMM .),(),(上有界上有界在在函数函数LyxQyxPF 上的点上的点用用L如如果果当当各各小小弧弧段段,0max1时时长度的最大值长度的最大值 inis 极限极限),(),(lim
5、10iiiiniiiyQxP iiniiLsFsdyxF),(lim),(10即,),(),(叫叫做做被被积积函函数数其其中中yxQyxPF .叫叫积积分分路路径径L称称为为有有向向弧弧元元素素。sd或或 LsdyxF),(,存存在在 LdyyxQdxyxP),(),(),(),(limiiiiiniiyQxP 10,),(上上可可积积在在则则称称LyxF极极限限称称为为向向量量值值函函数数或或称称上上的的第第二二类类曲曲线线积积分分在在有有向向曲曲线线弧弧(),(LyxF,的的曲曲线线积积分分）对对坐坐标标记作记作 LdyyxQdxyxP),(),(.),(lim),(10iiniiLxPd
6、xyxP 时，可得当),(,0,0),(21yxQFyxPF.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ LLLniiiiniiiidyyxQdxyxPdyyxQdxyxPxQxP),(),(),(),(),(lim,),(lim1010存存在在时时，从从而而，当当 LsdyxF),(1 LsdyxF),(2iiniiLsFsdyxF),(lim),(10已知：LdyyxQdxyxP),(),(推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP .),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyx
7、R .,),(),(第第二二类类曲曲线线积积分分存存在在上上连连续续时时线线弧弧在在光光滑滑曲曲当当LyxQyxPF 存在条件：存在条件：RdzQdyPdx),(),(),(lim10iiiiiiiiiiiniizRyQxP dxzyxP),(dyzyxQ),(dzzyxR),(性质性质.,)2(2121LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则和两段光滑的有向曲线弧分成如果则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设,)3(LLL即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(LLLsdGsdFsd
8、GF )()1(所所做做的的功功。沿沿路路径径变变力力 kRjQiPF RdzQdyPdxW即，即，意意义义：第第二二类类曲曲线线积积分分的的物物理理10.2.3 10.2.3 第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算,),(),(续续上上有有定定义义且且连连在在曲曲线线弧弧设设LyxQyxP定理定理 LdyyxQdxyxP),(),(则曲线积分则曲线积分续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以,)(),(tt ),(),(tytxL 的参数方程为的参数方程为,时时变到变到单调地由单调地由当参数当参数 t,),(BLALyxM运动到终点运动到终点沿沿起点起点
9、的的从从点点dttttQtttP)()(),()()(),(证证明明：dyyxQdxyxPL),(),(由由于于 niiiiLxPdxyxP10),(lim),(先先计计算算)()(1iiittx.1之间与在iiitt可可得得取取),(),(iiii iiniiiiniiitPxP )()(),(),(11 ,maxmax11iniinits 令令 LdxyxP),(0 0 dttttP )()(),(证毕证毕.LLdyyxQdxyxP),(),(,)(iitoxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 1iiixxx1iiiyyy)()(1iitt)()(1iitt Ld
10、yyxQdxyxP),(),(dttttP)()(),(LLdyyxQdxyxP),(),(dttttQ)()(),(dttttQtttP)()(),()()(),(特殊情形特殊情形.),(:)(baxxyyL，终终点点为为起起点点为为 1 LQdyPdx则则.,)(:)(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 2 LQdyPdx则则.,)()()(:)(终终点点起起点点空空间间曲曲线线：ttztytx 3dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),(ba)(,xyxQ)(xy.dx)(,xyxP dc),(yyxP)(yx)
11、,(yyxQ.dy两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()(tytxL ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),(为为处处的的切切线线向向量量的的方方向向角角上上点点yxL.)(),(连续连续tytx TABxyo)(),(tytxT切向量为切向量的方向余弦为切向量的方向余弦为 ,)()()(cos22tytxtx ,)()()(cos22tytxty ,),(为处的切线向量的方向角上点空间曲线zyx RdzQdyPdx LLdsQPQdyPdx)coscos(即即yyxQxyxPABLd),(d),(LdsyxQyxP cos),(cos),(212222)()()()(
12、),()()()()(),(tttytxtytytxQtytxtxtytxP 21d)()(),()()(),(ttttytytxQtxtytxP ttytxd)()(22 dsRQP)coscoscos(的一段弧。的一段弧。到点到点上从点上从点为抛物线为抛物线其中其中计算计算例例)1,1()1,1(d 12BAxyLxxyL 解解:2 yyyxy为参数为参数选择选择 Lxxyd5452115 yyy d2114 ,11:y 112y yyyd2的一段弧。的一段弧。到点到点上从点上从点为抛物线为抛物线其中其中计算计算例例)1,1()1,1(d 12BAxyLxxyL :上上Ao解解:两部分两部
13、分和和分为分为为参数为参数选择选择oBAoLxyx,oBAoLxxyxxyxxyddd:上上oB54 d2 1023 xx 01x01:xxyxx10:xxyxxxxxd)(10 )(x dx :d 22 LLxy为为其中其中计算计算例例的上半圆周；的上半圆周；按逆时针方向绕行按逆时针方向绕行圆心为原点圆心为原点半径为半径为,)1(a的直线段。的直线段。轴到点轴到点沿沿从点从点)0,()0,()2(aBxaA 解解:(1):的的参参数数方方程程L sincosayax,0:)(cosd)cos1(023 a ,0)2(yL的方程的方程 Lxy d )1(23033343coscosaa 0 2
14、2sina d)sin(a ,:aax Lxy d:2故故 aaxd00 :d 22 LLxy为为其中其中计算计算例例的上半圆周；的上半圆周；按逆时针方向绕行按逆时针方向绕行圆心为原点圆心为原点半径为半径为,)1(a的直线段。的直线段。轴到点轴到点沿沿从点从点)0,()0,()2(aBxaA sincosayax,0:LLyxxxy:,dd2 32为为其中其中计算计算例例的一段弧；的一段弧；到到从从上上抛物线抛物线)1,1()0,0(,)1(2Boxy ;)1,1()0,0(,)2(2的一段弧的一段弧到到从从上上抛物线抛物线Boyx 。依次是点依次是点、这里这里有向折线有向折线)1,1(),0
15、,1(),0,0(,)3(BAooAB:,)1(Lx为参数为参数选选 ,10:,:,)2(2 yyxLy为为参参数数选选解：解：Lyxxxydd2 2 101d54yy Lyxxxydd2 2 10,2xy ,10:x 10 x2(2x 2x xx d)2 101d43xx22(y yy2)4y yd LLyxxxy:,dd2 32为为其中其中计算计算例例 dd2:)3(2Lyxxxy此时此时:oA在在 1:xAB Lyxxxydd2 2 oAyxxxydd22 AByxxxydd2 2 ,10:y 10d)102(yy1 ,0 y,10:x0 1 被积函数相同，被积函数相同，起点和终点也相同
16、，起点和终点也相同，虽然路径不同虽然路径不同但是积分结果相同但是积分结果相同.oAAByxxxyyxxxydd2dd222是是其中其中例：求例：求zyzyxyxx,d2d3d2 .)3,1,2()1,0,1(的直线的直线到到从点从点BA ,2,1,1 AB解：先求直线的方程，解：先求直线的方程，,21,1 tztytx直直线线的的参参数数方方程程：,21111 zyx，变到变到从从1 0 tzyzyxyxxd2d3d2 610134222 ttttttd)41(210 tttttttd)843321(22102 ttttttttd2)21(2d)1(3d)1(102 小结小结1第二类曲线积分（
17、对坐标的曲线积分）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）的概念的概念2第二类曲线积分（对坐标曲线积分）第二类曲线积分（对坐标曲线积分）的计算的计算3两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系思考题思考题 当当曲曲线线L的的参参数数方方程程与与参参数数的的变变化化范范围围给给定定之之后后（例例如如L：taxcos，taysin，2,0 t，a是是正正常常数数），试试问问如如何何表表示示L的的方方向向（如如L表表示示为为顺顺时时针针方方向向、逆逆时时针针方方向向）？思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例如例如L：taxcos，taysin，2,0 t中中当当
18、t从从 0 变变到到 2时时，L取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当t从从 2变变到到 0 时时，L取取顺顺时时针针方方向向.练练 习习 题题一、一、填空题填空题:1 1、对对_的曲线积分与曲线的方向有关；的曲线积分与曲线的方向有关；2 2、设设0),(),(dyyxQdxyxPL,则则 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_；3 3、在公式在公式 dyyxQdxyxPL),(),(dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中,下下 限限对应于对应于L的的_点点,上限上限 对应于对应于L的的_点；点；4 4、两类曲线积分的联系是、两类曲线积分的联系是_
19、 _.二、二、计算下列对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分:1 1、Lxydx,L其中其中为圆周为圆周)0()(222 aayax及及 x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按按 逆时针方向绕行逆时针方向绕行)；2 2、Lyxdyyxdxyx22)()(,L其中其中为圆周为圆周 222ayx (按逆时针方向饶行按逆时针方向饶行)；3 3、ydzdydx,其中为有向闭折线其中为有向闭折线ABCD,这里这里 的的CBA,依次为点依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)；4 4、ABCDAyxd
20、ydx,其中其中ABCDA是以是以)0,1(A，)1,0(B,)0,1(C,)1,0(D为顶点的正方形正向边界线为顶点的正方形正向边界线.三、三、设设z轴与重力的方向一致轴与重力的方向一致,求质量为求质量为m的质点从位的质点从位置置),(111zyx沿直线移到沿直线移到),(222zyx时重力所作时重力所作的功的功.四、四、把对坐标的曲线积分把对坐标的曲线积分 LdyyxQdxyxP),(),(化成化成对弧长的积分对弧长的积分,L其中其中为为:1 1、在在xoy面内沿直线从点面内沿直线从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1)(1,1)；2 2、沿抛物线沿抛物线2xy 从点从点(0,0)(0,
21、0)到点到点(1,1)(1,1)；3 3、沿上半圆周沿上半圆周xyx222 从点从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1).(1,1).练习题答案练习题答案一、一、1 1、坐标；、坐标；2 2、-1-1；3 3、起、起,点；点；4 4、dzRQdyPdx dsRQP)coscoscos(.二、二、1 1、;23a 2 2、2；3 3、21；4 4、0 0.三、三、)(,0,012zzmgWmgF .四四、1 1、LdyyxQdxyxP),(),(LdsyxQyxP2),(),(；2 2、LdyyxQdxyxP),(),(LdsxyxxQyxP241),(2),(；3 3、LdyyxQdxyxP),(),(LdsyxQxyxPxx),()1(),(22.
