1、A1010AAA结构函数结构函数描述系统状态的函数。描述系统状态的函数。xi=1 表示单元i 发生（即元、部件故障）（i=1,2,n）0 表示单元i 不发生（即元、部件正常）（i=1,2,n）y=1 表示顶上事件发生0 表示顶上事件不发生y=(X)或 y=(x1,x2,xn)(X)系统的结构函数与门结构与门结构 与门的结构函数 ninixxxxT121 ninnixxxxxxxX12121,minnnxxxxx从,min121只有所有基本事件发生时，顶上事件才发生。根据布尔代数运算法则，它是逻辑“与”（逻辑乘）的关系，其逻辑式为：这就是与门结构函数。用代数算式表示为：式中，中取最小值，即只要有
2、一个最小的“0”（正常），则整个系统为“0”（正常）。或门结构或门结构 ninixxxxT121niinxxxxT121ix nnniiniixxxxxxxxX,max111111212111nxxx,max21nxx 1只要有一个或一个以上基本事件发只要有一个或一个以上基本事件发生时，顶上事件就发生。根据布尔代生时，顶上事件就发生。根据布尔代数运算法则，它是逻辑数运算法则，它是逻辑“或或”（逻辑加）（逻辑加）的关系，其逻辑式为：的关系，其逻辑式为：当 仅取0,1二值时，结构函数可写成：式中，从 中取最大值，即只要其中有一个最大的“1”（故障），整个系统就为“1”（故障）。这就是或门结构函数。
3、用代数算式这就是或门结构函数。用代数算式表示为：表示为：则其结构函数为：则其结构函数为：5342543153425431xxxxxxxxxxxxxxxxXT+AB+CX1X4X3X3X2例例2 2 图图1 1 某事故某事故树示意图树示意图 4658吸收律交换律分配律757486321756574648632128637565746412863765412635412321211xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxMxMMxxMMxxMxT结果得7个交集的并集，这7个交集就是7个最小割集,即 757486321,xxxxxxxxx图2图1事故
4、树的等效图 211,xMx211,xMx 顶上事件与下一层的中间事件 是用或门连接的。故T被 代替时，纵向排列。211)或门(xMxT 与下一层事件 之间也是或门连接的，故 被 代替时，仍然是纵向排列。1M32,MM1M32,MM2232111)或门()或门(xxMMMxxT 与下一层事件 之间是与门连接的，故被 代替时，要横向排列。而 与下层事件 是或门连接的,故 被 代替时，要纵向排列。2M54,MM2M54,MM3M63,Mx3M63,Mx22633542111)或门()与门()或门()或门(xxMxMMMMMxxT2286633756555746454542111)或门()或门()或门
5、()或门()或门()与门()或门()或门(xxxxMxMxxxxMxxxxxMxMMMMxxT用布尔代数化简2863756574641xxxxxxxxxxxxx286375741xxxxxxxxx 这与第一种算法的结果是一致的。上述两种算法相比，布尔代数化简法较为简单。但行列法便于用计算机辅助计算最小割集，故国际上仍普遍使用行列法。X XD XXD11nXXXX1,1,1121 XD X XDDS S的割集是 的径集，反之亦然。S的最小割集是 的最小径集，反之亦然。XXXD1111S XXSSDSS 。iXTTSxyii1和图3事故树、成功树的变换示例 例1：以图1为例，画出其成功树，求原树的
6、最小径集。解：首先画成功树，见图4 图4图1事故树的成功树 8763218654321286376128635412863765412635412321211xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxMxMMxxMMxxMxT876321286543211,xxxxxxPxxxxxxxP例2：图5是某系统的事故树，求其最小割集，画出成功树，求最小径集。解：用布尔代数化简法求最小割集 图图5某系某系统的事故树统的事故树的示意图的示意图 74364354372625271615176543217654521xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
7、xMMMMT得到9个最小割集，分别为：743643543726252716151,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx743643543726252716151,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx画出的成功树见图图6，最后用布尔代数化简法求最小径集。图6图5事故树的成功树 76542132176543217654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxMMMMT765421321,xxxxxxxxx765421321xxxxxxxxxT 得到成功树的三个最小割集，根据相互对偶的关系，也就是事故树的三个最小径集，分别为：如果将成功树最后经布尔代数化简的结果再换为事故树，则：这样
8、，就形成了三个并集的交集。根据最小径（割）集的定义，可做出其等效图如图7所示。（a）用最小割集表示 图7图5事故树的等效图（b）用最小径集表示七、判别割（径）集数目的方法 从上例可看出，同一事故树中最小割集和最小径集数目是不相等的。如果在事故树中与门多、或门少，则最小割集的数目较少；反之，若或门多与门少，则最小径集数目较少。在求最小割（径）集时，为了减少计算工作量，应从割（径）集数目较少的入手。遇到很复杂的系统，往往很难根据逻辑门的数目来判定割（径）集的数目。在求最小割集的行列法中曾指出，与门仅增加割集的容量（即基本事件的个数），而不增加割集的数量，或门则增加割集的数量，而不增加割集的容量。根据这一原理，下面介绍一种用“加乘法”求割（径）集数目的方法。该法给每个基本事件赋值为1，直接利用“加乘法”求割（径）集数目。但要注意，求割集数目和径集数目，要分别在事故树和成功树上进行。如图8所示，首先根据事故树画出成功树，再给各基本事件赋与“1”，然后根据输入事件与输出事件之间的逻辑门确定“加”或“乘”，若遇到或门就用“加”，遇到与门则用“乘”。31111M11111M31112M31112M9133T3111T 割集数目 径集数目 (a)事故树（b）成功树 图8 用“加乘法”求割、径集数目
