1、sin2cos22xyxycos2sin222xyxyxy2max2min22xyxyxy02tan2xyxy公式复习公式复习由上述两公式可知由上述两公式可知,当已知一平面应力状态单元当已知一平面应力状态单元体上的应力体上的应力 x,xy和和 yx,yx(-xy)时时,任一任一 截面截面上的应力上的应力 和和 均以均以2 为参变量。从上两式中为参变量。从上两式中消去参变量消去参变量2 后后,即得即得222222xyxyxy7.4 二向应力状态分析二向应力状态分析-图解法图解法cos2sin222xyxyxysin2cos22xyxycos2sin222xyxyxy222222xyxyxy2xy
2、22()2xyxy O圆心位于横坐标轴上。圆心位于横坐标轴上。其坐标为其坐标为(,0)2xy半径为半径为22()2xyxyC7.4 二向应力状态分析二向应力状态分析-图解法图解法由上式可见由上式可见,当斜截面随方位角当斜截面随方位角 变化时变化时,其上的应力其上的应力 ,在在 直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆,其圆心位其圆心位于横坐标轴于横坐标轴(轴轴)上上,该圆习惯上称为该圆习惯上称为应力圆应力圆,或称为或称为莫莫尔尔(O.Mohr)应力圆。应力圆。应力圆的作法应力圆的作法 y y yx yx xy xy x xabcd在在 -坐标系内坐标系内,选定比例尺选定比例尺;O量
3、取量取OB1 x,已知应力已知应力 x,xy和和 y,yx(-xy);xB1B1D1 xy得得D1点点;量取量取OB2 y,B2D2 yx得得D2点点;yB2连接连接D1D2两点的直线与两点的直线与 轴相交于轴相交于C点点,以以C为圆心为圆心,CD1或或CD2为半径作圆为半径作圆;C yxD2D1 xy y y yx yx xy xy x xabcd该圆的圆心该圆的圆心C点到坐标原点的距离为点到坐标原点的距离为 O xB1D1 xy y yxD2B2C2xyOC22()2xyxy半径为半径为该圆就是对应于该单元该圆就是对应于该单元体应力状态的应力圆。体应力状态的应力圆。D1点的坐标为点的坐标为
4、(x,xy),因因而而D1点代表单元体点代表单元体x平面平面(即横截面即横截面)上的应力上的应力。同样同样,D2点的坐标为点的坐标为(y,yx),因而因而D2点代表单元体点代表单元体y平面平面(即横截面即横截面)上的应力上的应力。利用应力圆求单元体上任一利用应力圆求单元体上任一 截面上的应力截面上的应力从应力圆的半径从应力圆的半径CD1按方位角按方位角 的转向转动的转向转动2,得到半径得到半径CE。圆周上圆周上E点的点的 坐标就依次为斜截面上的正坐标就依次为斜截面上的正应力应力 ,切应力切应力 。E2 O xB1D1 xy y yxD2B2CE点的横坐标为点的横坐标为OFOCCF0cos(22
5、)OCCE00cos2cos2sin2sin2OCCECE1()2xyOC010cos2cos21()2xyCECD010sin2sin2xyCECDF O xB1D1 xy y yxD2B2CE2 2 000cos2cos2sin2sin2cos2sin222xyxyxyOFOCCECE0011(),cos2(),sin222xyxyxyOCCECE同样可证同样可证E点的纵坐标为点的纵坐标为sin2cos22xyxyEFF O xB1D1 xy y yxD2B2CE2 2 0应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系:单元体某一面上的应力单元体某一面上的
6、应力,必对应于应力圆上某必对应于应力圆上某一点的坐标一点的坐标;O xB1D1(x,xy)xy y yxD2(y,yx)B2CE2 xy y y yx yx xy xy x xabcde n 从应力圆上可见从应力圆上可见,A1和和A2两点的横坐标分别两点的横坐标分别为该单元体垂直于为该单元体垂直于xy平面各截面上正应力中的平面各截面上正应力中的最大值和最小值最大值和最小值,在这两个截面上的切应力在这两个截面上的切应力(即即A1,A2两点的纵坐标两点的纵坐标)均等于零。均等于零。O xB1D1 xy y yxD2B2C 2A2 1A1正应力中的最大值和最小值正应力中的最大值和最小值22111()
7、()422xyxyxy22211()()422xyxyxy O xB1D1 xy y yxD2B2C 2A2 1A1由于圆上由于圆上D1点和点和A1点分别对应于单元体上的点分别对应于单元体上的x平面和平面和 1主平面主平面,D1CA1为上述两平面间夹角为上述两平面间夹角 0的两倍的两倍,所以所以单元体上从单元体上从x平面转到平面转到 1主平面的转角为顺时针转向主平面的转角为顺时针转向,按规定应为负值。因此按规定应为负值。因此,由应力圆可得从而解得由应力圆可得从而解得0tan(2)1()2xyxy O xB1D1 xy y yxD2B2C 2A2 1A1主平面方位角主平面方位角 O xB1D1
8、xy y yxD2B2C 2A2 1A12 0主平面方位角主平面方位角由由CD1顺时针转顺时针转2 0到到CA1。所以单元体上从所以单元体上从x轴顺时针转轴顺时针转 0(负值负值)即即到到 1对对应的应的主平面的外法线。主平面的外法线。0确定后确定后,1对应的对应的主平面方位即确定。主平面方位即确定。y y yx y x xy x xabcdx 0 1 1 2 2例例7-5 求图示单元体的主应力及主平面的位置。求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：单位：MPa)453253259515045325325951502020 o(MPa)(MPa)CAB解解 建立应力坐标系如图建立应力坐标系如图)325,45(B)325,95(A在在坐标系内画出点坐标系内画出点、AB的垂直的垂直平分线与平分线与 轴轴的交点的交点C便是圆便是圆心，以心，以C为圆心，为圆心，以以AC为半径画为半径画圆圆应力圆应力圆AB4532532595150AB 1 2 0、主应力及主平面如图主应力及主平面如图0MPa20MPa120321 300 2020 o(MPa)(MPa)CAB2cos2sin2xyyx4532532595150解法解法2解析法：分析解析法：分析建立坐标系如图建立坐标系如图xyyxyMPa325MPa45?x222122xyyxyx）（60606095MPa 25 3MPaxyO
