1、第六章 样本及抽样分布第六章 样本及抽样分布4)正态总体的样本均值与样本方差的分布：正态总体的样本均值与样本方差的分布：)1(X221,),(,SXNXXn的样本，的样本，是总体是总体设设 22)1()2(Sn 独独立立。与与2)3(SX定理定理1方方差差，则则有有：分分别别是是样样本本均均值值与与样样本本212)(niiXX 抽样分布);,(2nN );1(2 n 第六章 样本及抽样分布;3)1(XP求求解：解：3 XP所以所以;12)2(XP,)9,2(,321的的样样本本是是总总体体设设NXXX)323(1 281.07190.01 抽样分布例例10，由于由于)3,2(NX;955.26
2、)3(2 SP;4),max()4(321 XXXP（1）.0),min()5(321 XXXP)58.0(1 （2）12 XP121 XP3132311 XP)31(1 第六章 样本及抽样分布第六章 样本及抽样分布 抽样分布例例10（续）（续），故），故（由于由于29)13(22 S 955.262 SP99.5922 SP05.0)31()31(1 3132311 XP)31(22 562.07190.01 2 )58.0(1 2 （3）第六章 样本及抽样分布第六章 样本及抽样分布 抽样分布（4）4),max(321 XXXP4),max(1321 XXXP4,4,41321 XXXP44
3、41321 XPXPXP)9,2(1NX3)324(1 3)67.0(1 3)7486.0(1 58.0 例例10（续）（续）第六章 样本及抽样分布第六章 样本及抽样分布 抽样分布（5）例例10（续）（续）0),min(1321 XXXP)9,2(1NX3)320(1 1 3)67.0(11 1 3)7486.0(1 58.0 0),min(321 XXXP0,0,01321 XXXP0001321 XPXPXP第六章 样本及抽样分布)1(/ntnSX),1,0(/NnX 定理定理2)(ntnYXt ),1()1(222 nSn 且它们独立。且它们独立。)1()1()1(/22 ntnSnnX
4、 ).1(/ntnSX 即：即：则由则由t-分布的定义：分布的定义：证明：证明：),(2nNX 第六章 样本及抽样分布 2112111,1njjniiYnYXnX设设 212222)(11njjYYnS.),(),(,2221212121本本，且且它它们们独独立立的的样样体体相相同同方方差差的的两两个个正正态态总总分分别别是是具具有有与与设设 NNYYYXXXnn。分别是两个样本的均值分别是两个样本的均值,)(11112121 niiXXnS.分分别别是是两两个个样样本本的的方方差差)2(112)1()1()()(21212122221121 nntnnnnSnSnYX 则有：则有：抽样分布定
5、理定理3第六章 样本及抽样分布YX ),1,0(/1/1)()(2121NnnYX ),1()1(122211 nSn 且且22222211)1()1(SnSn 则则证明：证明：),(221221nnN 所以所以 抽样分布),1()1(222222 nSn .它它们们独独立立).2(212 nn 第六章 样本及抽样分布分布的定义：分布的定义：由由 t)2(112)1()1()()(21212122221121 nntnnnnSnSnYX 即：即：)2(21 nnt)(ntnYXt )2/()1()1(/1/1)()(21222222112121 nnSnSnnnYX 第六章 样本及抽样分布 抽
6、样分布.1.0)3,20(,15211021 YXPNYYYXXX的的两两个个独独立立样样本本，求求分分别别是是正正态态总总体体与与设设例例11YX ),153103,0(N解：解：1.0 YXP1.01 YXP5.01.05.01 YXP14.05.014.01 YXP).5.0,0(NYX 即即)14.0(22 5557.022 8886.0 第六章 样本及抽样分布的的样样本本，且且它它们们独独立立。正正态态总总体体分分别别是是两两个个与与设设),(),(,222211212121 NNYYYXXXnn12122222112121/)(/)(1nnYXnjjnii ）则：（则：（),(21
7、nnF 22222121/2 SS）（)1,1(21 nnF)1()1(222 nSn 定理定理411/)(/)(121222211221 nnYYXXnjjnii 第六章 样本及抽样分布 niiXXE12)(则则的的样样本本是是总总体体设设,),(,21 NXXXn niiXXD12)(同理同理 2122/)(niiXXE._)1(/)(2212 nXXnii 2124/)(niiXXD._ 抽样分布例例122)1(n4)1(2 n第六章 样本及抽样分布 抽样分布 niiXE12)(2122/)(niiXE._)(/)(2212nXnii niiXD12)(2124/)(niiXD._ 例例
8、12（续）（续）2 n42 n第六章 样本及抽样分布 抽样分布_;)()1()(12 niiXXnnX niiXXnnX12)()1()(nXXnXnii/)(11)(12 nSX/)1(nt)1(nt例例12（续）（续）第六章 样本及抽样分布 抽样分布._12 niiX )1,0(NXi )(2n 例例12（续）（续）第六章 样本及抽样分布._121 niiXn 抽样分布,1),1,0(niNXi 因因为为),0(1nNXnii 所所以以),1,0(11NXnnii 故故.11221）（则则 niiXn)1(2.且它们独立且它们独立例例12（续）（续）1 1 给出了总体、个体、样本和统计量的
9、概念，要给出了总体、个体、样本和统计量的概念，要 掌握样本均值和样本方差的计算及基本性质。掌握样本均值和样本方差的计算及基本性质。2 2 引进了引进了 分布、分布、t t分布、分布、F F分布的定义，会查分布的定义，会查 表计算。表计算。3 3 掌握正态总体的某些统计量的分布。掌握正态总体的某些统计量的分布。第六章第六章 小小 结结2 第七章 参数估计 在数理统计学中，总体的分布是未知的。它包括在数理统计学中，总体的分布是未知的。它包括两种情形：两种情形：1）总体分布的类型是已知的，但其中包含未知参数。总体分布的类型是已知的，但其中包含未知参数。我们的任务就是通过样本来估计这些未知参数。这就我
10、们的任务就是通过样本来估计这些未知参数。这就是参数估计问题。是参数估计问题。2）总体分布的类型是未知的。我们的任务就是通过总体分布的类型是未知的。我们的任务就是通过样本来估计总体的分布。这就是非参数估计问题。样本来估计总体的分布。这就是非参数估计问题。我们这里只讨论参数估计问题。我们这里只讨论参数估计问题。引引 言言例：例：未未知知，的的指指数数分分布布，其其中中参参数数是是服服从从参参数数为为设设总总体体0 X而而估估计计总总体体的的分分布布的的取取值值，从从，来来估估计计我我们们的的任任务务是是根根据据样样本本 这这是是一一个个参参数数估估计计问问题题第七章 参数估计的的一一个个样样本本，
11、是是总总体体 XXXn,1引引 言言第七章第七章 参数估计参数估计1 点估计点估计2 估计量的评选标准估计量的评选标准3 区间估计区间估计第七章第七章 参数估计参数估计1 点估计点估计点估计点估计矩法矩法极大似然法极大似然法第七章 参数估计1 点估计估估参参数数。是是待待的的形形式式为为已已知知，的的分分布布函函数数设设总总体体 );(xFX应应的的样样本本值值。是是相相的的一一个个样样本本，是是nnxxXXX,11。来来估估计计未未知知参参数数值值，用用它它的的观观察察构构造造一一个个适适当当的的统统计计量量 ),(),(11nnxxXX；估计量估计量的的为为我们称我们称 ),(1nXX。估
12、估计计值值的的为为称称 ),(1nxx一、一、点估计问题点估计问题计计问问题题。值值估估计计的的问问题题就就是是点点估估这这种种对对未未知知参参数数进进行行定定第七章 参数估计质质的的不不同同：估估计计量量与与估估计计值值有有着着本本；随随机机变变量量它它是是估估计计量量是是统统计计量量，因因而而数数组组维维而而估估计计值值则则是是一一维维或或多多的的估估计计与与估估计计值值为为未未知知参参数数，我我们们统统称称估估计计量量在在不不引引起起混混淆淆的的情情况况下下 注意：注意：1 点估计第七章 参数估计二、二、矩估计法矩估计法概概率率密密度度为为为为连连续续型型随随机机变变量量，其其设设X,1
13、是是待待估估参参数数其其中中k klEXll,2,1,存存在在设设 nililXnA11其中其中,klAll1 令令分分布布率率为为为为离离散散型型随随机机变变量量，其其X.,),(klkll211 则则1 点估计),;(1kxf ),;(1kxpxXP .,1的样本的样本为来自为来自XXXn kkkkkAAA ，2121222111 nkknnXXXXXXXXX，2121222111 的的联联立立方方程程组组，个个未未知知参参数数这这是是包包含含kk 1第七章 参数估计即即，记记为为从从中中解解出出方方程程组组的的解解,1k 1 点估计第七章 参数估计的的估估计计量量，分分别别作作为为，用用
14、kk 11 这种估计量称为这种估计量称为矩估计量矩估计量；矩估计量的观察值称为；矩估计量的观察值称为矩估计值矩估计值。矩法原理：矩法原理：由辛钦大数定律知由辛钦大数定律知 nililXnA11P,l.,2,1kl.,llllAklA 估估计计用用所所以以我我们们令令1 1 点估计.为矩估计法为矩估计法这种求估计量的方法称这种求估计量的方法称第七章 参数估计1 点估计矩法求估计量的步骤：矩法求估计量的步骤：);()1221EXEX 求求);()22211 AA令令).,(),()3122111nnXXXX 解解上上面面方方程程（组组），得得第七章 参数估计例例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的
15、次数设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从服从（用用矩矩法法）。试试估估计计参参数数未未知知，有有以以下下样样本本值值；的的泊泊松松分分布布，参参数数为为 250126225490756543210knkk次着火天数次着火天数发生发生着火的次数着火的次数解解：,X令令 x 则则。所所以以估估计计值值22.1 1 点估计22.1)16901750(2501 niiXXnA111,1 EX第七章 参数估计,1是一个样本是一个样本未知未知设总体设总体nXXbabaUX的矩估计量。的矩估计量。求：求：ba,21baEX 2ba 令令4)(12)(22baab 22EX 2)(EXDX 4)(12)(
16、22baab 例例21 点估计解：解：1A 2A,21Aba 即即)(12212AAab 第七章 参数估计)(12,22121AAabAba 即即)(32121AAAa )(3 2121AAAb 解得：解得：1 点估计)(312 niiXXnX niiXXnX12)(3212AA )(1212XnXnnii niiXXn12)(12121XXnnii 例例2（续）（续）第七章 参数估计是一个样本；是一个样本；未知，又设未知，又设，但但都存在，且都存在，且，方差，方差的均值的均值设总体设总体nXXX,01222 的的矩矩估估计计量量。求求：2,解：解：,2211AA 令令,2221AA 即即,1
17、XA 所所以以2122AA 22 EX 222)(EXDX2121XXnnii 21)(1XXnnii 例例31 点估计,1 EX第七章 参数估计未知；未知；特别，若特别，若22,),N(X niiXXnX122)(1,则则1 点估计的的矩矩估估计计个个样样本本，试试求求参参数数是是从从该该总总体体中中抽抽取取的的一一未未知知，的的指指数数分分布布，其其中中服服从从参参数数为为设设总总体体 nXXXX,0/121 的的密密度度函函数数为为总总体体 X .0,0,0,xxexfx 解：解：例例4第七章 参数估计1 点估计 dxxxfEX所以，所以，0dxexx 1 令令的的矩矩估估计计量量为为得
18、得参参数数 X1 ,1 X第七章 参数估计1 点估计的密度函数为的密度函数为设总体设总体 X .,0,10,1其它其它xxxf 的的矩矩估估计计为为未未知知参参数数，试试求求参参数数其其中中 0 解解：dxxxfEX 101dxxx 21 令令21 X的的矩矩估估计计量量为为由由此此得得 例例5.112XX 分分布布，其其密密度度函函数数为为服服从从设设总总体体 X 0001xxexxfx 的的矩矩估估计计与与为为未未知知参参数数，试试求求参参数数，其其中中 00 解解：dxxxfEX 01dxexxx 01)1(111dxexx 例例6第七章 参数估计1 点估计 1 dxxfxEX22 012dxexxx 01)2(2222dxexx 第七章 参数估计1 点估计例例6(续）续）22 21 21 因此有因此有 .1,22 EXEX .)1(,221 AA令令 ,21221AAA.2121AAA 为为样样本本的的二二阶阶中中心心矩矩其其中中 niiXXnB1221第七章 参数估计1 点估计解解此此方方程程组组，得得,22BX .2BX 即即例例6(续）续）
