1、三角形内角和定理的证明三角形内角和定理的证明第六章 证明(一)【学习目标学习目标】：1 三角形的内角和定理的证明三角形的内角和定理的证明.2掌握三角形内角和定理，并初步学会利掌握三角形内角和定理，并初步学会利 用辅助线证题用辅助线证题【学习重难点学习重难点】1重点：三角形内角和定理的证明重点：三角形内角和定理的证明.2难点：三角形内角和定理的证明方法难点：三角形内角和定理的证明方法.证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知),结论结论(求证求证);回顾与
2、思考回顾与思考(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;(3)结合图形结合图形,用符号语言写出用符号语言写出“已知已知”和和“求证求证”;(4)分析题意分析题意,探索证明思路探索证明思路;(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确,完善完善.自学提纲 自学内容 1 独立完成下列证明题 时间20分钟 2小组交流，相互完善证明过程 时间5分钟 回顾与思考回顾与思考 我们知道三角形三个内角的和等于我们知道三角形三个内角的和等于1800.1800.你还你还记得这个结论的探索过程吗记得这
3、个结论的探索过程吗?112ABD23C(1)(1)如图如图,当时我们是把当时我们是把A A移移到了到了1 1的位置的位置,B,B移到了移到了2 2的位置的位置.如果不实际移动如果不实际移动A A和和B,B,那么你还有其它方法可以那么你还有其它方法可以 达到同样的效果达到同样的效果?(2)(2)根据前面的公理和定理根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗这一证明过程吗?与同伴交流与同伴交流.三角形内角和定理三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于18
4、00.1800.已知已知:如图如图6-9,ABC.求证求证:A+B+C=1800.证明证明:作作BC的延长线的延长线CD,过点过点C作作CEAB,则则 例题欣赏例题欣赏你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?1=A(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),2=B(两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等).又又1+2+3=1800(平角的定义平角的定义),A+B+ACB=1800(等量代换等量代换).分析分析:延长延长BCBC到到D,D,过点过点C C作射作射线线CEAB,CEAB,这样这样,就相当于把就相当于把A A移到了移到了1 1的位置的位置
5、,把把B B移到了移到了2 2的位置的位置.这里的这里的CD,CE称为称为辅助线辅助线,辅助辅助线通常画成线通常画成虚线虚线.ABCE213D 在证明三角形内角和定理时在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把小明的想法是把三个角三个角“凑凑”到到A处处,他过点他过点A作直线作直线PQBC(如如图图),他的想法可以吗他的想法可以吗?请你帮小明把想法化为实际行动请你帮小明把想法化为实际行动.小明的想法已经变为现实小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发由此你受到什么启发?你有新的证法吗你有新的证法吗?证明证明:过点过点A作作PQBC,则则ABC1=B(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)
6、,2=C(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),又又1+2+3=1800(平角的定义平角的定义),BAC+B+C=1800(等量代换等量代换).PQ231议一议议一议根据下面的图形根据下面的图形,写出相应的证明写出相应的证明.你还能想出其它证法吗你还能想出其它证法吗?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRM试一试试一试三角形内角和定理三角形内角和定理三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1800.1800.ABCABC中中,A+B+C=1800.,A+B+C=1800.A+B+C=1800A+B+C=1800的几种变
7、形的几种变形:A=1800(B+C).A=1800(B+C).B=1800(A+C).B=1800(A+C).C=1800(A+B).C=1800(A+B).A+B=1800-C.A+B=1800-C.B+C=1800-A.B+C=1800-A.A+C=1800-B.A+C=1800-B.这里的结论这里的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.ABC1.直角三角形的两锐角之和是多少度直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形等边三角形的一个内角是多少度的一个内角是多少度?请证明你的结论请证明你的结论.2.已知已知:如图在如图在ABC中，中，DEBC,A=600,C=700.求证：求证：ADE=
8、500.DCBAEABCABC随堂练习随堂练习用运动变化的观点理解和认识数学用运动变化的观点理解和认识数学在在ABC中中,如果如果BC不动不动,把点把点A“压压”向向BC,那么当那么当点点A越来越接近越来越接近BC时时,A就越来越大就越来越大(越来越接近越来越接近1800),而而B和和 C,越来越小越来越小(越来越接近越来越接近00).由此由此你能想到什么你能想到什么?CBA读一读读一读用运动变化的观点理解和认识数学用运动变化的观点理解和认识数学如果如果BC不动不动,把点把点A“拉拉离离”BC,那么当那么当A越来越远越来越远离离BC时时,A就越来越小就越来越小(越来越接近越来越接近00),而而
9、B和和C则越来越大则越来越大,它们的和它们的和越来越接近越来越接近1800,当把点当把点A拉到无穷远时拉到无穷远时,便有便有ABAC,B和和C成为同成为同旁内角旁内角,它们的和等于它们的和等于1800.由此你能想到什么由此你能想到什么?CBA读一读读一读1、如图，已知如图，已知AD是是ABD 和和ACD的公共边的公共边.求证：求证：BDC=BAC+B+CABCD1234证法一：证法一：在在ABD中中,1180B3，在在ADC中中,2180C4（三角形内角和定理），（三角形内角和定理），又又BDC36012（周角定义）（周角定义）BDC 360（180B3）（）（180C4）B+C+3+4.又又 BAC 3+4,BDC B+C+BAC（等量代换）（等量代换）练一练练一练证法二：证法二：.).(18021),(18021).(18021,18021.0000CBBACBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACABCBC即（等量代换）等式性质三角形内角和定理中，在中，在连接ABCD12思考题：思考题：如图，已知如图，已知AMN+MNF+NFC=360，求证：求证：ABCD（用两种方法证明）（用两种方法证明）DFNMBAC
