1、垂直关系的性质垂直关系的性质a ab b一般地，如果直线一般地，如果直线aa平面平面，直线，直线bb平面平面，那么那么abab吗？吗？观察右图的长方体：观察右图的长方体：aabbabab 在初中我们学过：在初中我们学过：“在平面内，如果两条直线同垂在平面内，如果两条直线同垂直于另一条直线，那么这两条直线平行。直于另一条直线，那么这两条直线平行。”请问在空间中有相同或者类似的结论吗？请问在空间中有相同或者类似的结论吗？一、直线与平面垂直的性一、直线与平面垂直的性 质质一般地，如果直线一般地，如果直线aa平面平面，直线，直线bb平面平面，那么那么abab吗？吗？b ba abbo已知：已知：aa,
2、b,b 求证：求证：abab证明：假设证明：假设a a和和b b不平行，设不平行，设b b与与交于点交于点0,b0,b是经过点是经过点0 0 与与平行的直线平行的直线abab 且且 aab b 过一点作一平面的垂线有且只有一条过一点作一平面的垂线有且只有一条b b 与与 bb重合重合abab定理定理6.3 如果两条直线同垂直于一个平面，如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行那么这两条直线平行aabbab（直线和平面垂直的性质定理）（直线和平面垂直的性质定理）b ba a由这个定理可知：要证明两直线平行，可以寻找由这个定理可知：要证明两直线平行，可以寻找 一个平面，使这两条直线同垂一个
3、平面，使这两条直线同垂 直于这个平面即可直于这个平面即可例例1 1、如图，在几何体、如图，在几何体ABCDEABCDE中，中，BEBE和和CDCD都垂直于平面都垂直于平面ABCABC，且且BE=AB=2BE=AB=2，CD=1CD=1，点，点F F是是AEAE的中点的中点 求证：求证：DFDF平面平面ABCABCA AB BC CD DE EF FG GH H证明：作证明：作AB的中点的中点G，连接，连接FG、GC BE BE平面平面ABCABC，CDCD平面平面ABCABC BECD BECD 又又GFBE GFBE 且且GFGF1 1 GFCD GFCD 且且 GFGFCDCD 四边形四边
4、形CDFGCDFG为平行四边形为平行四边形 DFGC DFGC 且且 GCDFDF平面平面ABCABCABC平面 例例2 2、正方体、正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，EFEF与异面直线与异面直线ACAC、A A1 1D D都垂直且相都垂直且相 交，分别交交，分别交ACAC、A A1 1D D于于E E、F F 求证：求证：EFBDEFBD1 1ABCDA1B1C1D1EF证明：连接证明：连接A A1 1C C1 1、C C1 1D D、B B1 1D D1 1、ADAD1 1 ACAACA1 1C C1 1 且且EFACEFACEFAEFA1 1
5、C C1 1又又EFAEFA1 1D D EFEF平面平面A A1 1C C1 1D DABAABA1 1D D 且且ADAD1 1AA1 1D DAA1 1DD平面平面ABDABD1 1BDBD1 1AA1 1D D 同理可证同理可证BDBD1 1AA1 1C C1 1BDBD1 1平面平面A A1 1C C1 1D DEFBDEFBD1 1二、平面与平面垂直的性质二、平面与平面垂直的性质观察右图的长方体：观察右图的长方体：平面平面平面平面,b,abb,ab，这时，这时，aa问：一般地，平面问：一般地，平面平面平面，MN，AB在在内内,ABMN于点于点B，这时，这时，直线直线AB和平面和平面
6、垂直吗？垂直吗？ab问：一般地，平面问：一般地，平面平面平面，MN，AB在在内内,ABMN于点于点B，这时，直线，这时，直线AB和平面和平面垂直吗？垂直吗？MNABC证明：证明：在平面在平面内作内作BCMNBCMN，则，则ABCABC是二面角是二面角-MN-MN-的平面角的平面角 平面平面平面平面ABCABC9090 即即ABBCABBC又又 ABABMNMNAB AB MNABC定理定理6.4 (平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
7、若若，=MN，AB ，ABMN，则则AB 垂直关系综述线线面面线面 ab ab=A la;lb l 若若a,b 则则a b ABAB 若若，MN，AB ，ABMN，则则AB ABCDB1C1D1NMA1例例3 3、如图，长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，MN在平面BCC1B1内，且 MNBC于点M。判断MN与AB的位置关系，并说明理由。解：显然，平面BCC1B1平面ABCD，交线为BC，MN平面ABCDMNABBCMN BBCC11且平面MNABCDAB平面又小小 结结直线与平面垂直的性质：直线与平面垂直的性质：2 2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直 这个平面内的所有直线。这个平面内的所有直线。3.3.平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 垂直于垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面它们交线的直线垂直于另一个平面1 1、如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直、如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线平行。线平行。
