1、平面上两点间的距离平面上两点间的距离已知四点（，），（，），已知四点（，），（，），（，），（，），则四边形（，），（，），则四边形ABCDABCD是否为平行四边形？是否为平行四边形？分析：如何判断一个四边形是否为平行四边形？分析：如何判断一个四边形是否为平行四边形？1.判断两组对边是否对应平行2.2.判断一组对边是否平行且判断一组对边是否平行且相等相等问题:如何计算两点间的距离?3.对角线互相平分的四边形为平行四边形3(2)5,PA 3(1)4PB Oxy(1,3)A(3,2)B(2,4)D(1,3)A(3,2)B(1,2)P Oxy所以，在中，R tP A B 222225441ABPAP
2、B41AB 类似可得 ，所以 .同理有 ,故四边形ABCD为平行四边形41CD ABCDBCDA1x2x1y2y21(,)Qx y111(,)Px y222(,)P x yxyo一般地说，已知两点一般地说，已知两点111222(,),(,)P x yP xy如何求两点间的距离？如何求两点间的距离？如果如果 ，过，过 分别向分别向 轴、轴、轴作轴作垂线交于点垂线交于点 ，则点，则点 的坐标为的坐标为 .1212,xxyyyx12,P PQQ21(,)xy合合作作探探究究111(,)P x y1x2x1y2y222(,)P x y22(,)Qx yxyo所以所以,在在 中中,12Rt PPQ222
3、1212PPPQPQ222121()()xxyy()因为因为121,PQxx221PQyy22122121()()PPxxyy1221PPxx如果如果 ,12yy那么那么()式仍成立式仍成立.()式也成立式也成立如果如果 ,12xx那么那么1 221PPyy，由此，我们得到平面上两点间的距离公式111222(,),(,)P x yP x yoxy1y2y111(,)P x y222(,)P x y(1)求 两点间的距离;(1,3),(2,5)AB(2)已知已知 两点间的距离是两点间的距离是17,求实数求实数(3)的值的值.(0,10),(,5)AB a a分析分析:利用距离公式利用距离公式例例
4、1例题讲解例题讲解Oxy(1,3)A(3,2)B(6,1)COxy(1,3)A(6,1)C 1A1C(,)Mxy1M现在再来考察本节开头的问题现在再来考察本节开头的问题,由于两条对角线互由于两条对角线互相平分的四边形是平行四边形相平分的四边形是平行四边形,所以所以,只需说明对角只需说明对角线线AC和和BD的中点相同的中点相同,即可推得四边形即可推得四边形ABCD为平为平行四边形行四边形.那怎样求线段那怎样求线段AC中点的坐标呢中点的坐标呢?(,)x y设线段设线段AC的中点的中点M的坐标为的坐标为 ,过点过点A,M,C向向 轴作垂线轴作垂线,垂足分别为垂足分别为 ,x1,A1,M1C则则 ，的
5、横坐标分别为，的横坐标分别为，1A1M1C1202xxx1202yyy由，得，由，得，1111AMM C(1)6xx 解得解得1 6522x 同理可得同理可得3(1)12y 所以线段的中点坐标为所以线段的中点坐标为5(,1)2同理可得线段的中点坐标也为，因此四边形同理可得线段的中点坐标也为，因此四边形的对角线，在点互相平分，故这个的对角线，在点互相平分，故这个四边形为平行四边形四边形为平行四边形5(,1)2111222(,),(,)P x y P x y12PP一般地，对于平面上两点，线段 的中点是，则00(,)M x y此即此即中点坐标公式中点坐标公式中点坐标公式的证明中点坐标公式的证明可仿
6、照上例的推导过程加以证明，亦可用可仿照上例的推导过程加以证明，亦可用距离公式距离公式及及斜率公式斜率公式证明证明.下面我们仅就的情况，用后一种方法加以证明下面我们仅就的情况，用后一种方法加以证明12xx由由 得三点共线得三点共线.121212MPMPyykkxx第一步：利用斜率公式证明点第一步：利用斜率公式证明点 在在 上上.M1 2PP第二步第二步:利用距离公式证明利用距离公式证明12MPMP2212121222xxyyMPMP由由 得得12MPMP所以点所以点 为为 的中点的中点M1 2PP当当 时时,结论显然成立结论显然成立.12xxOxy(4,7)C(1,5)AM分析分析:.先利用中点
7、坐标公式求出点先利用中点坐标公式求出点M的坐标的坐标,可利用两点式求中线可利用两点式求中线AM所在直所在直线的方程线的方程再利用两点间距离公式求得中再利用两点间距离公式求得中线线AM的长的长已知已知 的顶点坐标为的顶点坐标为 ,求求BC边上的中线边上的中线AM的长和的长和AM所在的直线方程所在的直线方程.ABC(1,5),(2,1),(4,7)ABC例例2.例例3由两点间距离公式易证得由两点间距离公式易证得已知是直角三角形已知是直角三角形,斜边的中点为斜边的中点为,建立适当的直角坐标系建立适当的直角坐标系,证明证明:ABC12AMBC分析分析:设出两点坐标设出两点坐标,(,0),(0,)B bCc则由中点坐标公式则由中点坐标公式(,)2 2b cM12AMBCxA(,0)BbMC(0,)cOy练习练习练习，练习，小小 结结:22122121()()PPxxyy1202xxx1202yyy 1.平面上两点间的距离公式111222(,),(,)P x yP x y111222(,),(,)P x y P x y12PP 2.平面上两点对应线段 的中点坐标公式 设中点00(,)M xy作作 业业习题习题2.1(3)第第 1,3,4 题题
