1、6.2平面向量的运算6.2.2 向量的减法运算1.1.相反向量相反向量定义：我们规定，与向量定义：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量长度相等，方向相反的向量，叫做，叫做a的相反向量的相反向量.性质：性质：(1)(1)对于相反向量有：对于相反向量有：a+(-+(-a)=)=0.(2)(2)若若a，b互为相反向量，则互为相反向量，则a=-=-b，a+b=0.(3)(3)零向量的相反向量仍是零向量零向量的相反向量仍是零向量.【思考思考】有人说：相反向量即方向相反的向量，定义中有人说：相反向量即方向相反的向量，定义中“长度长度相等相等”是多余的，对吗？是多余的，对吗？提示：提示：不对，相反向量
2、要从不对，相反向量要从“模长模长”与与“方向方向”两个两个方面去理解，不仅是方向相反，还必须长度相等方面去理解，不仅是方向相反，还必须长度相等.2.2.向量的减法向量的减法(1)(1)定义：定义：a-b=a+(-+(-b)，即，即减去一个向量相当于加上这减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量个向量的相反向量.(2)(2)作法：作法：在平面内任取一点在平面内任取一点O O，作，作 =a，=b，则，则 =a-b，如图所示，如图所示.OAOB BA(3)(3)几何意义：几何意义：a-b可以表示为从向量可以表示为从向量b的终点指向向量的终点指向向量a的终点的向量的终点的向量.【思考思考】(1)(1)
3、由向量减法的定义，你认为向量的减法与加法有何由向量减法的定义，你认为向量的减法与加法有何联系？联系？提示：提示：向量减法的实质是向量加法的逆运算向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反利用相反向量的定义，向量的定义，就可以把减法转化为加法，就可以把减法转化为加法.ABBA (2)(2)由向量减法作图方法，求差的两个向量的起点是怎由向量减法作图方法，求差的两个向量的起点是怎样的？差向量的方向如何？样的？差向量的方向如何？提示：提示：求差的两个向量是共起点的，差向量连接两向求差的两个向量是共起点的，差向量连接两向量终点，方向指向被减向量量终点，方向指向被减向量.【素养小测素养小测】1.1.思维辨
4、析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)向量向量a-b当它们起点重合时可以看作从向量当它们起点重合时可以看作从向量b的终的终点指向向量点指向向量a的终点的向量的终点的向量.()(2)(2)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量向量.()(3)(3)向量向量 与向量与向量 是相反向量是相反向量.()AB BA 提示：提示：(1).(1).由向量减法法则知正确由向量减法法则知正确.(2)(2).由平行向量与相反向量的定义可知，相反向量由平行向量与相反向量的定义可知，相反向量必为平行向量，平行向量不一定是相反向量必为
5、平行向量，平行向量不一定是相反向量.(3).(3).向量向量 与向量与向量 长度相等，方向相反长度相等，方向相反.AB BA 2.2.在在ABCABC中，若中，若 =a，=b，则，则 等于等于()A.A.aB.B.a+bC.C.b-aD.D.a-bBA BC CA【解析解析】选选D.=D.=a-b.CABABC 3.3.设设b是是a a的相反向量，则下列说法正确的有的相反向量，则下列说法正确的有_.(_.(填序号填序号)a与与b的长度必相等；的长度必相等；ab；a与与b一定不相等；一定不相等；a是是b的相反向量的相反向量.【解析解析】因为因为0的相反向量是的相反向量是0，故不正确，故不正确.其
6、他均正其他均正确确.答案：答案：类型一向量的减法类型一向量的减法【典例典例】1.(20191.(2019汕头高一检测汕头高一检测)在在ABCABC中，中，D D，E E，F F分别为分别为ABAB，BCBC，CACA的中点，则的中点，则 等于等于()AFDB A.FD B.FC C.FE D.BE 2.2.如图，已知向量如图，已知向量a，b，c，求作，求作a-b-c.【思维思维引引】1.1.结合图形，利用向量减法的三角形法结合图形，利用向量减法的三角形法则求解则求解.2.2.先作先作a-b，再作，再作(a-b)-)-c即可即可.【解析解析】1.1.选选D.D.如图所示，如图所示，AFDBDED
7、BBE.2.2.如图，以如图，以A A为起点分别作向量为起点分别作向量 ，使，使 =a，=b.连接连接CBCB，得向量，得向量 ，再以，再以C C为起点作向量为起点作向量 ，使，使 =c.连接连接DBDB，得向量，得向量 .则向量则向量 即即为所求作的向量为所求作的向量a-b-c.ABAC 和AB AC CB CD CD DB DB【内化内化悟悟】1.1.作向量减法时若所给向量不共起点，应如何解决？作向量减法时若所给向量不共起点，应如何解决？提示：提示：平移向量使它们共起点平移向量使它们共起点.2.2.在本例在本例2 2中能否先作向量中能否先作向量b+c，再作，再作a-(-(b+c)呢？呢？提
8、示：提示：可以可以.【类题类题通通】关于向量的减法关于向量的减法(1)(1)作两向量的差的步骤作两向量的差的步骤(2)(2)求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如如a-b，可以先作，可以先作-b，然后用加法，然后用加法a+(-+(-b)即可即可.(3)(3)向量减法的三角形法则对共线向量也适用向量减法的三角形法则对共线向量也适用.【习练习练破破】如图所示，如图所示，O O是四边形是四边形ABCDABCD内任一点，试根据图中给出内任一点，试根据图中给出的向量，确定的向量，确定a，b，c，d的方向的方向(用箭头表示用箭头表示)，使，使a+b=，c
9、-d=，并画出，并画出b-c和和a+d.BA DC【解析解析】因为因为a+b=，c-d=，所以所以a=，b=，c=，d=.=.如图所示，如图所示，BA DC OABO OC OD作平行四边形作平行四边形OBECOBEC，平行四边形，平行四边形ODFA.ODFA.根据平行四边形根据平行四边形法则可得法则可得b-c=，a+d=.=.OF EO 类型二向量加减法运算类型二向量加减法运算【典例典例】1.(20191.(2019衡水高一检测衡水高一检测)下列各式：下列各式：ABBCCAABACBDCDOAODADNOOPMNMP.；其中结果为零向量的个数是其中结果为零向量的个数是()A.1A.1个个B.
10、2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个2.(20192.(2019临沂高一检测临沂高一检测)设点设点M M是线段是线段BCBC的中点，点的中点，点A A在直线在直线BCBC外，外，则则|=|=世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.8A.8B.4B.4C.2C.2D.1D.12BC16 ABAC|ABAC|，AM【思维思维引引】利用三角形法则或平行四边形法则求解利用三角形法则或平行四边形法则求解.【解析解析】1.1.选选D.D.=0；=0；=0；=0.ABBCCA AB CDCBBDCDCDCD OAODDAADNOOPMNMPNPPN ACBD AD 2.2.选选C.C.由由 可知，可知，
11、垂直，故垂直，故ABCABC为直角三角形，为直角三角形，|即斜边即斜边BCBC的中线，所以的中线，所以|=2.|=2.ABACABAC ABAC 与AMAM【内化内化悟悟】平行四边形平行四边形ABCDABCD中，中，|与与|分别是指分别是指什么？若什么？若|=|=|，说明该平行四边形是，说明该平行四边形是什么图形？什么图形？ADAB ADAB ADAB ADAB 提示：提示：|与与|分别是指两条对角线的分别是指两条对角线的长，若长，若|=|=|，说明该平行四边形是矩，说明该平行四边形是矩形形.ADAB ADAB ADAB ADAB【类题类题通通】1.1.向量减法运算的常用方法向量减法运算的常用
12、方法2.2.向量加法与减法的几何意义的联系向量加法与减法的几何意义的联系如图所示，平行四边形如图所示，平行四边形ABCDABCD中，若中，若 =a，=b，则，则 =a+b，=a-b.ADAB AC DB【发散发散拓拓】已知向量已知向量a，b，那么，那么|a|-|-|b|与与|ab|及及|a|+|+|b|三者三者具有什么样的大小关系？具有什么样的大小关系？提示：提示：它们之间的关系为它们之间的关系为|a|-|-|b|ab|a|+|+|b|.|.(1)(1)当当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立有一个为零向量时，不等式显然成立.(2)(2)当当a，b不共线时，作不共线时，作 =a，=b，则则a
13、+b=，OAAB OB 如图如图(1)(1)所示，根据三角形的性质，有所示，根据三角形的性质，有|a|-|-|b|a+b|a|+|+|b|.|.同理可证同理可证|a|-|-|b|a-b|b|，作法如图，作法如图(3)(3)所示，此时所示，此时|a+b|=|=|a|-|-|b|.|.综上所述，得不等式综上所述，得不等式|a|-|-|b|ab|a|+|+|b|.|.【延伸延伸练练】若若|=8|=8，|=5|=5，则，则|的取值范的取值范围是围是_._.AB AC BC【解析解析】由由 及及|=|=8|=|=8，当当 与与 同向时，同向时，|BC|BC|maxmax=13=13，当当 与与 反向时，
14、反向时，|BC|BC|minmin=3=3，所以所以3|=|+|133|=|+|13，即，即|3|3，13.13.答案：答案：33，1313BCBAAC BA AB BA AC BA AC BC BA AC BC【习练习练破破】化简下列各式：化简下列各式：1ABMBOBMO.2 ABADDC.【解析解析】(1)(1)方法一：原式方法一：原式=方法二：原式方法二：原式=ABMBBOOM ABBOOMMBAOOBAB.ABMBBOOM ABMBBOOMABMOOMABAB.0(2)(2)方法一：原式方法一：原式=方法二：原式方法二：原式=DBDCCB.ABADDCABACCB.【加练加练固固】下列
15、各式中不能化简为下列各式中不能化简为 的是的是()ADA.(ABDC)CBB.ADCDDCC.CBMCDABM D.BMDAMB 【解析解析】选选D.D.选项选项A A中，中，选项选项B B中，中，选选项项C C中，中，(ABDC)CBABCDBCAB BCCDAD ；ADCDDCADAD ；0CBMCDABMCBMCDABM BCCMADMBMBBCCMADAD.类型三向量加减运算几何意义的应用类型三向量加减运算几何意义的应用角度角度1 1利用已知向量表示未知向量利用已知向量表示未知向量【典例典例】如图所示，四边形如图所示，四边形ACDEACDE是平行四边形，是平行四边形，B B是该是该平行
16、四边形外一点，且平行四边形外一点，且 =a，=b，=c，试用，试用向量向量a，b，c表示向量表示向量 世纪金榜导学号世纪金榜导学号AB AC AE CD BC BD.，【思维思维引引】注意相等向量，利用向量加减运算的三角形法则求解注意相等向量，利用向量加减运算的三角形法则求解.【解析解析】由平行四边形的性质可知由平行四边形的性质可知 =c，由向，由向量的减法可知：量的减法可知：=b-a，由向量的加法可知，由向量的加法可知 =b-a+c.CDAE BCACAB ，BDBCCD.【习练习练破破】本例中的条件本例中的条件“点点B B是该平行四边形外一点是该平行四边形外一点”若换为若换为“点点B B是
17、该平行四边形内一点是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论，其他条件不变，其结论又如何呢？又如何呢？【解析解析】如图，如图，因为四边形因为四边形ACDEACDE是平行四边形，是平行四边形，所以所以 =c，=b-a，=b-a+c.CDAE BCACAB BDBCCD 角度角度2 2求解或证明几何问题求解或证明几何问题【典例典例】(2019(2019临沂高一检测临沂高一检测)已知非零向量已知非零向量a，b满满足足|a|=+1|=+1，|b|=-1|=-1，且，且|a-b|=4|=4，则，则|a+b|的的值为值为_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号77【思维思维引引】作出图形，利用向量加减法的几
18、何意义作出图形，利用向量加减法的几何意义求解求解.【解析解析】如图，如图，=a，=b，则，则|=|=|a-b|.|.以以OAOA与与OBOB为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形OACBOACB，则则|=|=|a+b|.|.OAOB BA OC 由于由于(+1)(+1)2 2+(-1)+(-1)2 2=4=42 2.故故 ，所以，所以OABOAB是是AOBAOB为为9090的直的直角三角形，从而角三角形，从而OAOBOAOB，所以所以 OACBOACB是矩形是矩形.根据矩形的对角线相等有根据矩形的对角线相等有 =4=4，即，即|a+b|=4.|=4.77222OAOBBA OCBA 答案：答案：
19、4 4【内化内化悟悟】已知已知ABCABC中，中，|=+1|=+1，|=-1|=-1，=4=4，我们能否判断该几何图形的形状？，我们能否判断该几何图形的形状？提示：提示：能能.是直角三角形是直角三角形.AB 7AC 7|ABAC|【类题类题通通】利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤(1)(1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量.(2)(2)利用三角形法则和平行四边形法则，对向量的加、利用三角形法则和平行四边形法则，对向量的加、减法进行运算减法进行运算.(3)(3)构造三角形构造三角形(一般是直角三角形一般
20、是直角三角形)，利用三角形，利用三角形的边、角关系解题的边、角关系解题.【习练习练破破】1.1.在菱形在菱形ABCDABCD中，中，DAB=60DAB=60，|=2|=2，则，则 =_.=_.AB BCDC 【解析解析】因为因为 DAB=60DAB=60，AB=ADAB=AD，所以所以ABDABD为等边三角形为等边三角形.又因为又因为|=2|=2，所以，所以OB=1.OB=1.在在RtRtAOBAOB中，中，BCDCADDCAC ，AB 22AOABOB3 ，所以所以 答案：答案：2 2 AC2 AO2 3.32.2.如图，在如图，在ABCABC中，中，D D，E E分别为边分别为边ACAC，
21、BCBC上的任意一上的任意一点，点，O O为为AEAE，BDBD的交点，已知的交点，已知 =a，=b，=c，=e，用，用a，b，c，e表示向量表示向量 .AB BD BE OE OD【解析解析】在在OBEOBE中，有中，有 =e-c，在在ABOABO中，中，=e-c-a，在在ABDABD中，中，=a+b，所以在所以在OADOAD中，中，=e-c-a+a+b=e-c+b.OBOEEB OAOBBA ADABBD ODOAAD【加练加练固固】如图所示，已知如图所示，已知 =a，=b，=c，=d，=e，=f，试用，试用a，b，c，d，e，f表示：表示：OAOB OC ODOE OF 1 ADAB.2
22、 ABCF.3 BFBD.【解析解析】(1)(1)因为因为 =b，=d，所以，所以 =d-b.(2)(2)因为因为 =a，=b，=c，=f，所以所以 =b+f-a-c.OB ODADABBD ODOB OB OAOC OF ABCFOBOAOFOC (3)(3)因为因为 =d，=f，所以所以 =f-d.OF ODBFBDDFOFOD 1.根据近十年的高考全国卷真题，总结出文言文阅读中文本概括分析题这一题型的特点，每一个选项都由论点和论据的形式组成陈述的。1、涉及的问题一般都是现实政治的反映。一个王朝成功的经验和失败的教训往往成为后来的政治家和思想家的素材。他们思考和论证往事的得失，以史为鉴，为
23、当朝和后代的统治者提供新的治国方针。2.赵括初学兵法之时，便认为自己非常聪慧，性格自大狂妄，认为天下没有敌手，兵家之事是需要慎重考虑而代价惨重的，但赵括并不在意，随口就谈兵。3.态度不端正，赵括只会纸上谈兵，不知道在战场上如何应用，如何变通。赵括不尊重士兵，军中士兵一不信服他，赵括心中只有赏赐的金钱，只懂得独享，而不懂得与士兵分享，贪图一己私利，没有大将风范。4文中的管子用买鹿的计策击败了军事强大的楚国，用哄抬兵器价格的计策使衡山归顺于齐国，这告诉我们做事时要灵活应对，有时需要我们避其锋芒，从其他方面解决问题。5.不论是楚君还是衡山之君，他们都中了管仲的计策，因为他们认为捕鹿和卖兵器可以获得很
24、大的利润，从而失去了理智，甚至让百姓放弃耕种，所以这就要求我们做事时不要一味贪图利益，而要顾全大局，不要见钱眼开。6.首段提出不旷人事，二、三段从不同方面论述了“不旷人事”的具体表现，四段写“不旷人事”的具体表现。二段举管仲在立君时考虑到民情对国事的影响而判断，做出不同于召忽的判断，说明尽人事时要考虑周全，完备；7.三段举晋文公采纳咎犯的建议后，成功称霸，说明尽人事时要从义与利两方面考虑，且要善于采纳他人意见；四段写管仲佐君时注重尽人事，愿倾听民生疾苦，利于安邦，且流芳百世，泽及子孙。8.这节课，我们分析了奥楚蔑洛夫的性格，窥见了当时的沙皇俄国社会，了解了作品的主题和写作特色，也谈了形形色色的“变色龙”们。9.老师相信同学们对这篇小说有了更为深刻的认识，也希望我们的同学们能对文学作品中的和生活中的“变色龙”们有着客观的评判标准，做一个不忘初心，真诚正直的少年.10.“腾出”生动地写出了珍鸟突然受到惊吓后急速飞离高粱地时的情态，机灵敏捷；“飘落”则写出了珍鸟在半空中飞旋两遭发现没有树枝可依，然后悠然落在谷穗儿上的情态，轻盈灵动。11.我虚踩在浮土和枯草上，就探身要去摸水，大家在背后叫小心。岌岌加上翼翼，我的手终于半伸进黄河。”这个细节表现了“我”触摸黄河水时紧张激动又谨慎的心理，表达了作者对黄河的热爱之情。
