1、高等数学基础微积分第二章 极限、导数与微分(2)复合函数求导法，隐函数求导法本章难点：本章难点：隐函数求导法本章重点：本章重点：一、导数概念一、导数概念1、导数的定义、导数的定义 （P79）),()()(,)(000000 xfxxfyxfxxxxxxfy的的一一个个改改变变量量得得到到函函数数值值一一个个改改变变量量给给定定的的邻邻域域内内有有定定义义在在设设,)()(lim lim0000存在存在如果极限如果极限xxfxxfxyxx,)(,)(00导导数数点点的的在在并并且且称称上上面面的的极极限限值值为为否否则则说说不不可可导导点点可可导导在在则则称称xxfxxfy)(0 xf 用用,0
2、 xxy或或,dd0 xxxy表表示示0d)(dxxxxfxxfxxfxfx)()(lim)(0000即即00)()(lim 0 xxxfxfxx或或导函数：导函数：),)()()(可可导导函函数数可可导导内的是或内在这时称内每一点都可导在集合若DxfDxfDxfy.)()(的导函数的导函数是是则称则称xfyxf)(xf 记记为为：,y或或,ddxy.d)(dxxf0)()(0 xxxfxf因因此此有有：根据定义求导数根据定义求导数:);()()1(xfxxfy求求;)()()2(xxfxxfxy求求).(;)()(limlim)3(00 xfxxfxxfxyxx即得：即得：求求【例如】)()
3、()(limcos)(0 xxfxxfxxfx则，设基本初等函数的基本初等函数的导函数公式导函数公式：P81)0)()1(为常数为常数，（，（ccxx1)(ln )2(xxxxsin)(cos cos)(sin )3(，)()4(1为常数，（xx)(2x例如：例如：,2x)1(x2x)(32x3132x)(1x)(x)(21 x2121x)5()()6(的特殊情况的特殊情况这是这是xxeeaxxaln1)(log )7()1,0ln)()5(aaaaaxx，（，（xxxx22sin1)(cot cos1)(tan )8(，记住这些公式，也是我们以后求记住这些公式，也是我们以后求导函数的一种方法
4、。导函数的一种方法。)3(x例如：例如：3ln)3(x【练 习】.)(,)(1xxfxxf求例：设【解】xxf21x2121x21121 xf 先计算导数 1xxf则 1f 21oxy“直线的斜率及方程”l直线直线l的斜率的斜率ktan),(00yxP直线直线l的方程：的方程：00 xxkyyoxy2、导数的几何意义、导数的几何意义根据函数的图像表示法，函数 表示平面上的一条曲线。（如图）)(xfy)(xfy)(,(00 xfxP)(,(00 xfxP任任给给点点.)(,()(000的斜率的斜率处的切线处的切线在点在点就是该曲线就是该曲线则导数则导数xfxPxf 进而根据直线的点斜式方程，可有
5、切线的方程：)()(000 xxxfxfy【例例1.2】.)1 ,1(处的切线方程在点求曲线xy【解解】，有先求斜率k121)(xx于是切线方程为：于是切线方程为：)1(211xy12121xx21)1(fk3、微分的概念、微分的概念定义定义2.9（P86）可可微微。在在点点并并称称即即记记作作：处处的的微微分分在在点点为为函函数数变变量量的的改改变变量量，称称是是自自处处可可导导，在在点点设设函函数数xxfxxfyyxxfyxxfxxxfyxxxx)()(d d ,)()()(000000注意：可导一定可微。注意：可导一定可微。实际上，从导数的四个记号中取两个，它们相等，就有：)(xfdxd
6、y改写为dxxfdy)(称为函数的微分微分。可见求微分只需要求导数。求下列基本初等函数的微分求下列基本初等函数的微分nxy)1(1nnxdxdydxnxdyn 1xyalog)2(dxdydxaxdyln1ax ln11xyln)3(xdxdy1dxxdy1xysin)4(xdxdycosxdxdycosxycos)5(xdxdysinxdxdysinxay)6(aadxdyxlnxdxadyxlnxey)7(xedxdydxedyx二、导数的求法二、导数的求法目标是：求出目标是：求出初等函数初等函数的导数的导数前面我们前面我们用定义求导用定义求导数，这里将讨论数，这里将讨论求函数求导的求函数
7、求导的一般方法一般方法。根据初等函数的定义，可以从三个方面入手：1、记住基本初等函数的导数 见P95上的导数基本公式；2、掌握求导（微分）与四则运算的关系 见定理2.6，2.7，2.8 P88-90处可导，则处可导，则在点在点设函数设函数xxvxu)(),(xvxuxvxu)1(xvxuxvxuddd)2(【例例2.1】的微分。的微分。求函数求函数5cos3xxy解：解：xyydd5cos3xxy 5cos3xx03sin2xx23sinxxdxxxdy)3sin(2【例例2.2】P97 练习练习2.5 题题1 （1）.y 2log2)1(222求求xxyx解：解：)2log2(222xxyx
8、 2222log2xxx02ln12ln22xxx2ln12ln22xxx xvxuxvxuxvxu)3(xvu(x)xuxvxvxudd)(d)4(为常数时，为常数时，特别地，当特别地，当cxu)(，)()(xvcxcvyxxvcxvcyd)()(dd【例例2.3】.)cos)(ln(2yxxxeyx，求，求设函数设函数解：解：)cos)(ln(2xxxeyx)cos)(ln()cos(ln)(22xxxexxxexx)sin(1)()cos)(ln2(2xxxexxxexx)sin1)()cos)(ln2(2xxxexxxexx )()5(2xvxvxuxvxuxvxu )(dd)(d)6
9、(2xvxvu(x)xuxvxvxu为常数时，为常数时，特别地，当特别地，当cxu)()(2xvxvcxvcxvc)(2xvxvc【例例2.4】的导数。的导数。求求xytan解：解：xytanxxcossinxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxxxx2cos)sin(sincoscosxxx222cossincosx2cos1.d ,1lntan)10(yxxy求求解：解：xyydd1lntanxxy 2)1(ln)1(lntan1lntanxxxxx22)1(ln1tan1lncos1xxxxx回顾：基本初等函数的回顾：基本初等函数的导函数公式导函数公式：)0)()1(为常
10、数为常数，（，（cc的特殊情况）这是)4(1)(ln )4(xx)()2(1为常数，（xx)1,0 ,ln)()3(aaaaaxx（幂函数幂函数指数函数指数函数)3()()3(的特殊情况这是xxeeaxxaln1)(log )4(对数函数对数函数01111)2(axaxaxannnn多项式函数多项式函数xxxx22sin1)(cot cos1)(tan，熟记：五类熟记：五类基本基本初等函数初等函数 的求导公式的求导公式xxxxsin)(cos cos)(sin )5(，三角函数三角函数 xvxuxvxu)1(xvxuxvxuxvxu)2()()3(2xvxvxuxvxuxvxu 掌握复合函数复
11、合函数求导法定理2.9定理定理2.9：即复合函数的导数：即复合函数的导数 外函数的导数外函数的导数 内函数的导数内函数的导数 。)(xgf记为：直观地说就是两个函数，一个基本初等函数里面再套一个函数，就是复合。如：如：xeysin是基本的初等函数xe变成了复合函数这里：xxeesin复合而成。是由即：uxeyxuey,sinsinuyxuxy【求复合函数导数的步骤求复合函数导数的步骤】(1)分解函数；(2)写成复合函数求导公式（定理2.9）xuxuyy(3)代入，求导计算；(4)还原u。【例例2.6】.sinyeyx的导数求函数解：解：ueyxu ,sin令 xuuyy xeusinxeuco
12、sxexcoscos则u是中间变量u还原【例例2.7】的导数。的导数。求函数求函数30)21(xy【解解】.2130 xuuy，令令于是于是 xuuyyxu2130230130u3160u312160 x则则u是中间变量是中间变量练习：练习：形考册形考册P3 题题3 （3）、（）、（6）、（）、（5）求下列函数的导数：5313xy xxeyx16 bxeyaxsin5解：解：5313xy2153x53 xu令 uu21xx53 2321u3235323xu还原 xxeyx16 1xe23x xuuxe1xu1令2xeu2123x2123x21xex2123xu还原 bxeyaxsin5bxeb
13、xeaxaxsinsin“导数乘法法则”bxaxexuusinxvaxbxvesinbxaeusinbveaxcosaxu 令bxv vu,还原bxaeaxsinbxbeaxcos三、隐函数求导三、隐函数求导形式形式、显函数、显函数)(1xfy 函数的表示形式函数的表示形式等等，例如：例如：xxyexyxcos)ln(3确定的函数。确定的函数。是由方程是由方程即即、隐函数、隐函数0),()(:2yxFxfy1ln),(2yyxyxF例如：例如：两个变量满足一个方程 。0),(yxF对于隐函数应该如何求导？对于隐函数应该如何求导？隐函数的导数，方法方法如下：【第1步】方程两端都对自变量 x 求导
14、；【第2步】遇到含有y的式子，将 y 看成中间变量，应用复合函数求导法，先对y 求导，再乘以y 对x 的导数【第3步】从最后的式子中解出因变量的导数 。）（或写成的导数对求得yyxyx xyxy。是是常常数数的的导导数数对对所所确确定定的的隐隐函函数数求求方方程程)()(222axxyyayx解：解：方程两边对方程两边对 求导，得：求导，得：xxxayx)()()(222x2yy)(2xy0将 y 看成中间变量022yyx，得，得解出解出yyxy.d1ln)(yyyexyyx取定，求取定，求由方程由方程设函数设函数解：解：方程两边对方程两边对x求导，得：求导，得：xxxxyye)1()(ln)
15、(xxyeeyxyy)1(0，得，得解出解出y12xxyeeyy于是于是xyeeyyxxd1d2.4)sin(2yxeyxxy，求解：解：.d13122yxxyyx，求yxyy先求隐函数的导数，dd)1(方程两边同时对x求导，有 0322xxxxxxyyxx2 xyyy2xyxyx03x2 xyyy2xyxyx03x2xyy2xyxy03xy整理出xyxy232 xyxyxyyx232xxyxyxyyd232dd.4)sin(2yxeyxxy，求解：解：方程两边同时对x求导，有4)sin(xyeyxxuyxu)(sinyxu令 4xvvxyexyv)(cosyxxy1xyexyxy4xy整理出
16、xxyyxeyx)cos(yeyxxy)cos(4xyxyxxeyxyeyxy)cos()cos(4.d1lnln3yxyyx，求yxyy先求隐函数的导数，dd方程两边同时对x求导，有0lnlnxxxyyx xyxyxlnln0lnln xxxyxy“乘法法则”【解解】xyxyxlnln0lnln xxxyxyxyyyxylnln01ln xyxyxxyyxy1ln0ln xyxyxxyxyxlnxyylnxyxyyxylnln得：xxyxyyxxyydlnlndd四、高阶导数给定函数 ，它的导数 ，还是一个函数，于是又可以求导数，记为：，称为函数f(x)的二阶导数。进一步，可有三阶、四阶、等
17、等，统称为高阶导数。)(xf)(xf)()(xfxf一阶导数，一阶导数，y二阶导数，二阶导数，y 三阶导数，三阶导数，y 四阶（或以上）导数，四阶（或以上）导数，4)(k )(ky).1()1ln(yyxy 及的二阶导数求解：解：xy11 xyy1121x11x211xy 即：411 y.ln 的二阶导数求xxy【解解】)ln(21xxyxxxx1ln21212112121ln21xxx)1ln21(21xx )1ln21(21xxyy)1ln21(21xxy即即1ln212123xxxx12121xxln4123232321ln41xxx2321x_2sin)(5 fxxxf，则、设【解解】xxxfsin)(xxxcossin xxxxfxfcossinxxxxsincoscosxxxxfsincos2)(即：2sin22cos2)2(f2120例例4.3.)1ln(2yxy 的二阶导数求解：解：y 212xxyy211x)1(2 x212xx222211212xxxxx22212212xxxx222122xx222122xxy 即例例4.4)1(1yyxxy 及的二阶导数求解：解：)1(21xxy2121xx2321x2121x252321x232121x23254143xx 21232121)(xxyy 11411431 y作业：中央形考册第3、4、5页
