1、第十四章幂级数第十四章幂级数1 幂级数幂级数一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义:设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在RI 上上的的函函数数,则则 )()()()(211xuxuxuxunnn称称为为定定义义在在区区间间I上上的的(函函数数项项)无无穷穷级级数数.,120 xxxnn例如级数例如级数2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域:如果如果Ix 0,数项级数数项级数 10)(nnxu收敛收敛,则则称称0 x为为级级数数)(1xunn 的的收收敛敛点点,否否则则称称为为发发散散点点.所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域.函函数
2、数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域,)()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn (x在收敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数:)()()()(21xuxuxuxsn在在收收敛敛域域上上,函函数数项项级级数数的的和和是是x的的函函数数)(xs,称称)(xs为为函函数数项项级级数数的的和和函函数数.(定义域是定义域是?),(xsn例例 1 1 求求级
3、级数数nnnxn)11()1(1 的的收收敛敛域域.解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx,111)1(x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛.,11 x,111)2(x当当,11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;).,0)2,(故级数的收敛域为故级数的收敛域为,1|1|)3(x当当,20 xx或或二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义:形形如如nnnxxa)(00 的的级级数数称称为为幂幂级级数数.,0
4、00nnnxax 时时当当其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.2.2.收敛性收敛性:,120 xxxnn例如级数例如级数;,1收敛收敛时时当当 x;,1发散发散时时当当 x);1,1(收敛域收敛域);,11,(发散域发散域定定理理 1 1 (A Ab be el l 定定理理)如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛;如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散.证明证明,0lim0 nnnxa,)1(00收敛
5、收敛 nnnxa),2,1,0(0 nMxann使使得得,M nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0,10时时当当 xx,00收收敛敛等等比比级级数数nnxxM ,0收收敛敛 nnnxa;0收收敛敛即即级级数数 nnnxa,)2(0时时发发散散假假设设当当xx 而而有有一一点点1x适适合合01xx 使使级级数数收收敛敛,则则级级数数当当0 xx 时时应应收收敛敛,这与所设矛盾这与所设矛盾.由由(1)结论结论xo R R几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛,也也不不是是在在整
6、整个个数数轴轴上上都都收收敛敛,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在,它它具具有有下下列列性性质质:当当Rx 时时,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛;当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当RxRx 与与时时,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散.推论推论定义定义:正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.,0 R),RR,(RR.,RR 规定规定,R收敛区间收敛区间0 x;收收敛敛区区间间),(.问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?),(RR(1)幂幂级级数数只只
7、在在0 x处处收收敛敛,(2 2)幂幂级级数数对对一一切切x都都收收敛敛,定定理理 2 2 如如果果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1)则则当当0 时时,1R;(3)当当 时时,0 R.(2)当当0 时时,R;证明证明应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法对对级级数数 0nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x ,)0(lim)1(1存在存在如果如果 nnnaa由比值审敛法由比值审敛法,1|时时当当 x,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa,1|时时当
8、当 x,|0发发散散级级数数 nnnxa开始开始并且从某个并且从某个 n|,|11nnnnxaxa 0|nnxa.0 nnnxa发发散散从从而而级级数数;1 R收敛半径收敛半径,0)2(如果如果,0 x),(011 nxaxannnn有有,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa;R收敛半径收敛半径,)3(如果如果,0 x.0 nnnxa必必发发散散级级数数)|01(0收收敛敛使使知知将将有有点点否否则则由由定定理理 nnnxax.0 R收敛半径收敛半径定理证毕定理证毕.例例2 2 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:解解)1(nnnaa1li
9、m 1lim nnn1 1 R,1时时当当 x,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn 故收敛区间是故收敛区间是1,1(.nnna limnn lim,R级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,nnnaa1lim 11lim nn,0,0 R收收敛敛区区间间),(.;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnxnnnaa1lim 12lim nnn2,21 R,2121收敛收敛即即 x,)1,0(收敛收敛 x.)21(
10、2)1()4(1nnnnxn ,0时时当当 x,11 nn级数为级数为,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为发散发散收敛收敛故收敛区间为故收敛区间为(0,1.例例 3 3 求求幂幂级级数数 1122nnnx的的收收敛敛区区间间.解解 3523222xxx级数为级数为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 级数收敛级数收敛,1212 x当当,2时时即即 x,1212 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散,2时时当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级数为级数为级
11、数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛区间为原级数的收敛区间为).2,2(三、幂级数的运算三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质:(1)加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 (2)乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx,(其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘积积
12、321xxx(3)除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多)2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:(1)幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续.(2)幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx 可逐项积分可逐项积分.xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00
13、nxnndxxa.110 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)(3)幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内可可导导,并并可可逐逐项项求求导导任任意意次次.0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)例例 4 4 求求级级数数 11)1(nnnnx的的和和函函数数.解解,)1()(11 nnnnxxs,0)0(s显然显然两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11(x,1时时又又 x.1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11(
14、x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即例例 5 5 求求 12)1(nnnn的的和和.解解,)1(1nnxnn 考虑级数考虑级数收敛区间收敛区间(-1,1),1)1()(nnxnnxs则则)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21(s.8 常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数;11)1(0 xxnn ;11)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx );1ln(1)1()6(01xnxnnn ;sin)!12()1()5(1121xnxnnn 四、小结四、小结2.幂级数的收敛性幂级数
15、的收敛性:收敛半径收敛半径R3.幂级数的运算幂级数的运算:分析运算性质分析运算性质1.函数项级数的概念函数项级数的概念:思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？么它的收敛域是否也不变？思考题解答思考题解答不一定不一定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是)1,1(),1,1,1,1 一、一、求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:1 1、)2(424222nxxxn；2 2、nnxnxx125222222；3 3、122212nnnxn；4 4、)0,0(1 babaxnnnn.练练 习习 题题二二、利利用用逐逐项项求求导导或或逐逐项项积积分分,求求下下列列级级数数的的和和函函数数:1 1、11nnnx；2 2、12531253nxxxxn.练习题答案练习题答案一、一、1 1、),(；2 2、21,21；3 3、)2,2(；4 4、),(cc,其中其中 0,max bac.二、二、1 1、)11()1(12 xx；2 2、)11(11ln21 xxx.
