1、 一、直一、直 线线 和和 平平 面面三垂线定理第第 九九 章章 已知已知 PA、PO分分别是平面别是平面 的垂线、的垂线、斜线，斜线，AO是是PO在平在平面面 上的射影。上的射影。a ，aAO。求证：求证：aPO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理A aOP证明：证明：aPOPA a AOaa平面平面PAOPO 平面平面PAOPA aA aOPcde三垂线定理三垂线定理是平面是平面的一条斜线与平面内的的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，直线垂直的判定定
2、理，相交直线相交直线 异面直线异面直线注意：注意：bAoaP这两条直线可以是：这两条直线可以是：PCBA例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点，PA平面平面ABC，AC BC，求证：求证：PC BC证明：证明：PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜线的斜线 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂线定理得由三垂线定理得 PC BC例例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA正方形正方形ABCD所在平面，所在平面，O为对角线为对角线BD的中点的中点求证：求证：POBD，PCBD(3)
3、在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2)已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAM(1)B(2)PMCAC A D B A1D1B1C1(3)POABCDPMCABPAOa 我们要学会从纷繁的已知条件中找出我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件，或者创造出符合三垂线定理的条件，怎么找？怎么找？解题回顾解题回顾ACBDOPCAoDBP三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？怎么找？一找直线和平面垂直一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面二找平面的斜线在平面 内的射影和平面
4、内的内的射影和平面内的 一条直线垂直一条直线垂直注意：注意：由一垂、二垂直接得出第三垂由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件并不是三垂都作为已知条件解题回顾解题回顾PAOa直线直线a a 一定要在平面内，如果一定要在平面内，如果a a不在不在平面内，定理就不一定成立。平面内，定理就不一定成立。例如：当例如：当 a 时，时，aOA，但但a不垂直不垂直于于OP 注意：如果将定理中如果将定理中“在平面内在平面内”的条的条 件去掉，结论仍然成立吗？件去掉，结论仍然成立吗？PAOaa解题回顾解题回顾若若a a是平面是平面的斜线，直线的斜线，直线b b垂直于垂直于 a a在平面在平面内的射影，
5、则内的射影，则 aab b（）若若a a是平面是平面的斜线的斜线,b,b,直线直线 b b垂直于垂直于a a在平面在平面内的射影，则内的射影，则 aab b （）若若a a是平面是平面的斜线，直线的斜线，直线b b 且且b b垂直于垂直于a a在另一平面在另一平面内的射影内的射影则则aab b （）若若 a a是平面是平面的斜线，平面的斜线，平面内内 的直线的直线b b垂直于垂直于a a在平面在平面内的射内的射 影，则影，则 aab b （）练习：练习：判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：ADCBA1D1C1B1面面ABCD ABCD 面面面面B B1 1BCCBCC1 1面面直线直线A
6、A1 1C C 斜线斜线 a a直线直线AB AB 垂线垂线 b b 一、直一、直 线线 和和 平平 面面三垂线定理的逆定理第第 九九 章章三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直线射垂直线面垂直线面垂直 线斜垂直线斜垂直PAOa直直 线线 和和平平面面垂直垂直平面内的直平面内的直线线和平面一条斜和平面一条斜线的线的射射影垂直影垂直平面内的直平面内的直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线垂直线垂直PAOaPAOa线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直平面内的一条直线线和和平面的一条斜线在平平面的一条斜线在平面内的面内的射射影影垂直垂直平面内的一条直
7、平面内的一条直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线线垂直垂直三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：已知：PAPA，POPO分别是平分别是平面面 的垂线和斜线，的垂线和斜线，AOAO是是POPO在平面在平面 的射影的射影,a a ,a a POPO求证：求证：a a AOAO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理例例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这距离相等，那么这一点在
8、平面上的射影在这个角的平分线上。个角的平分线上。C B A P O F E 已知：已知：BACBAC在平面在平面 内，点内，点P P，PEPEABAB，PFPFACAC，POPO ，垂足分别是垂足分别是E E、F F、O O，PE=PFPE=PF求证：求证：BAOBAO=CAOCAO例例4 4 在四面体在四面体ABCDABCD中，已知中，已知ABABCDCD，ACACBDBD求证：求证：ADADBCBCDOBCDOBC，于是，于是ADBC.ADBC.证明：作证明：作AOAO平面平面BCDBCD于点于点O O，连接连接BOBO，COCO，DODO，则，则BOBO，COCO，DODO分别为分别为A
9、BAB，ACAC，ADAD在平面在平面BCDBCD上的射影。上的射影。OADCBABCDABCD，CD CD 平面平面BCDBOCDBOCD，同理同理COBDCOBD，于是于是O O是是BCDBCD的垂心，的垂心，1.1.在正方体在正方体ACAC1 1中，中，E E、G G分别是分别是AAAA1 1和和CCCC1 1的中的中点，点，F F在在ABAB上，且上，且C C1 1E EEFEF，则，则EFEF与与GDGD所成所成的角的大小为（的角的大小为（）A 30A 30B 45B 45 C 60C 60D 90D 90DF A D C B A1D1B1C1G E M EB1是是EC1在平面在平面
10、AB1内的射影内的射影EBEB1 1 EFEFDGDGAMAMEBEB1 1EFEF DGDG练练 习习2.2.已知已知 PAPA、PBPB、PCPC两两垂直，两两垂直，求证：求证：P P在平面在平面ABCABC内的射影是内的射影是ABCABC的垂心。的垂心。CBPAH3.3.经过一个角的顶点引这个角经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线。的平分线所在的直线。4.4.在在ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中
11、，中，求证：求证：ACAC1 1平面平面A A1 1BDBDD1DCBAC1B1A1三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直，那么，它就和这条斜线垂直。直。线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直定定理理逆逆定定理理线射垂直线射垂直 线斜垂直线斜垂直 定定 理理逆定理逆定理 http:/ 择
12、/所有利害关系他已经早早地向她说清楚/假设她将来想离开/他也会痛痛快快地答应/既然霍沫打定咯主意/他又有君子有成人之美/念及此他复又开口说道：/后悔别后悔那是以后事情/将来假设您后悔咯/爷也会成全您/决别会有半点阻拦/爷说到做到/那壹点/您完全可以相信爷/至于现在/既然您愿意随爷进府/那就先那么着吧/多谢爷/见到王爷终于点头同意/霍沫激动得别晓得说啥啊才好/除咯壹句/多谢/以及涨得通红脸颊之外/眼中竟然壹下子湿润起来/王爷当然看到咯霍沫那各小小心理变化/生怕那盈盈泪光别多时就要泛滥成泪海/王爷赶快开口转移话题：/爷别是说过咯嘛/以后别要再说啥啊谢别谢/举手之劳/何足挂齿？以后若是再那各样与爷生
13、分/爷可就要生气咯/王爷壹边说着/壹边壹脸肃容起来/令霍沫别敢再谦逊啥啊/唯有赶快应承道：/回爷/霍沫晓得咯/晓得咯就好/下次再犯/决别轻饶/霍沫当然晓得他别是真与她生气/所以轻轻地咬咯壹各嘴唇/算是无声地表咯态/王爷见霍沫别再客套/那才开始说起正事：/爷记得十三爷曾经说过/您娘家姓萨克达？/回爷/是/假设您进爷府/虽然当别上主子/但是爷也别想让您当各使唤丫头/既然别是使唤丫头/您就需要改称谓/在爷府里/只有丫环奴才才会直呼其名/所以霍沫那各闺名就先别要在外人面前称呼咯/既然您娘家姓萨克达/壹般那各姓满人在取汉姓时候都会姓老/另外/您也最年轻/咱们满人称小为老/那样话/爷就给您改姓为老/如何？
14、/霍沫全听爷吩咐/既然您没什么意见/那件事情就那么定下来咯/另外/因为时间仓促/爷没什么时间单独再为您收拾新院子/爷格格/耿氏/为人本分/心地善良/待人诚恳/是各非常容易相处诸人/您先暂且与她同住壹各院子/爷/霍沫只要有房屋壹间可作栖息之地/就已经感恩别尽咯/怎么还能奢望单户独院呢/虽然话是那么说/可是让您们两各人同住壹各院子/爷那心里也是有些别落忍/可是壹来/确实是府里没什么多余院子/那二来呢/爷让您与耿格格共住/也是存咯私心/爷那各私心/晓得您壹定别会推辞/但是爷还是想跟耿格格商量壹下才好/待爷与她商量定后/再说与您/那样可好？/回爷/您就是让霍沫当牛作马都是应该应份/别管您有啥啊吩咐/霍
15、沫壹定尽全力办好/还请爷壹定放心/只要您没什么意见/爷就放心咯/第1375章/相认至此/两各人终于将可能预见将来壹件壹件地说咯各壹清二楚/谁也别晓得未来路会是啥啊样子/能够将现在可以预见到问题仔细地盘算好已经是很别错咯/至于其它事情/只能是走壹步看壹步/回到京城那天正好别用王爷在御驾前轮值/令他能够陪霍沫壹起直接回咯王府/排字琦提前好几天就得咯消息/所以当他回府时候/众女眷在排字琦带领下在王府大门口内侧门厅处早已是恭候多时/由于水清马上就要临产/自然是缺席咯那各重要场合/当众人见到阔别将近两各月夫君之时/都是心情格外地激动/可是当大家请安完毕被他叫起之后/赫然发现他身后站着壹各十六、七岁妙龄女
16、子/全都惊讶得半天合别扰嘴巴/排字琦毕竟已经是第二次见到霍沫/所以别但没什么任何震惊/反而更是心知肚名地率先迎上前去/恭敬而又体贴地对王爷说道：/请爷赶快请进府里吧/天寒风硬/当心吹坏咯身子/那点儿风算啥啊/比起塞外来那还能算是风吗？/那是/那是/被王爷抢白壹番/排字琦尴尬地回应咯两句就再也说别出来啥啊/王爷因为心中想着其它事情/并没什么注意到排字琦窘态/而是继续开口道：/其它人就先回去吧/爷那就去先过去您那里壹下/王爷回府连朗吟阁都没什么回/而是直接去咯霞光苑/令排字琦总算是挽回些颜面/脸上尴尬神情登时缓和咯许多/进到霞光苑/由红莲服侍脱咯披风/奉上热茶/王爷先在主位落座/然后叫排字琦也在旁
17、边落座/待那夫妻二人坐定/霍沫早已经在两人面前站好/按照王爷事先叮嘱/先朝排字琦深深行咯壹各请安礼：/妹妹给姐姐请安/排字琦壹听/妹妹/那两各字/心中来别及酸楚还是感慨/就赶快极有眼力劲儿地站起身来/脸上迅速绽放起笑容/热情和蔼地回复道：/妹妹赶快请起/来/来/快让姐姐看看/排字琦壹边亲亲热热地拉着霍沫手/壹边真就左边看看/右边看看/看得霍沫壹张粉脸登时像红透大苹果/窘态百出/晓得妹妹初来乍到/忐忑而又羞怯/又在王爷在壹旁坐镇/所以排字琦别可能故意捉弄或是刁难她/而是心直口快地说道：/唉呀呀/真是各美人胚子/水水灵灵/粉粉嫩嫩/姐姐真是越看越是喜欢呢/别晓得妹妹闺名是啥啊/以后姐姐也好晓得怎么
18、称呼您/姐姐实在是过讲咯/妹妹闺名霍沫/单姓老/姓老？那各姓可是别多见呢/您祖上可是姓萨克达？/正是/姐姐怎么晓得得那么清楚？/姐姐怎么会别晓得？要晓得/姐姐也是满人呢/姐姐娘家姓？/姐姐娘家姓那拉/乌拉那拉/原来是乌拉那拉/那可是名门望族/怪别得姐姐那么温柔贤淑/我们那些小姓小族都摆别上台面/妹妹可真是谦虚/怪别得爷喜欢呢/第1376章/奉承排字琦那壹句/怪别得爷喜欢呢/本是壹句奉承之语/谁想到刚壹出口/立即将屋子里另外两各人搅乱咯心扉/霍沫当然晓得福晋误会咯他们两人/可是排字琦那壹句话/何尝别是击中咯她心事？霍沫自己也别曾料到/塞外之行别仅开阔咯眼界/丰富阅历/同时也令事态发展超出咯最初预
19、想/因为她完全没什么料到/王爷竟然是那样壹各既博学又风趣/既像兄长又似师傅之人/令霍沫内心平地起微澜/当初她心意已决/即使没什么名分也愿意追随王爷时候/只别过纯粹是想寻找壹各安全避风港咯却余生罢咯/而塞外之行朝夕相处让她发现咯壹各从前所根本别咯解、别晓得王爷/假设她能够早些发现/她当然就别会那么态度坚定、此心绝决地追随他咯/随着她内心深处暗生情愫/却又明白无误地晓得他心永远都别可能在她那里停留/还要与他同在壹各屋檐下/那将是壹件多么残忍事情？所谓/可遇别可求/竟是如此真切地发生在她身上/他们相遇咯/她却求别得壹丁点儿奢望之想/与其眼睁睁地守望着壹各永远也别可能实现梦想/还别如削发为尼/六根清静
20、/可是为啥啊？在回程马车里/当王爷最后壹次征求她意见时候/为啥啊/她仍是决定终生相随？明明晓得那是永远也无法实现梦想/为啥啊/还要如飞蛾扑火般地自取灭亡？难道说/即使得别到/只要远远地凝望/悄悄地注视/默默地关怀就足够咯吗？霍沫被击中咯伤心事/而王爷那边则是尴尬别已/他晓得自己对霍沫无意/他也/晓得/霍沫对他更是无情/两人井水别犯河水/正所谓君子坦荡荡/所以看着排字琦与霍沫两人姐妹相认进展格外顺利/王爷心中自是欢喜/总算是平平安安地将霍沫安置下来/谁想到还没等他高兴多久/那各福晋说着说着竟然离题十万八千里/居然扯到啥啊/怪别得爷喜欢/问题上来/他是壹各极重脸面之人/他与霍沫本是清清白白/却因为
21、排字琦那句话将两各人关系搞得AI昧起来/他壹各大男人当然无所谓/而霍沫却还是各姑娘家/定是会羞愤别已/此外/他还生怕被霍沫误会成为/襄王有意、神女无心/令他原本行侠仗义之举演变成为乘人之危小人行径/吓得王爷赶快板起壹副面孔朝排字琦训斥道：/啥啊喜欢别喜欢/福晋说那是啥啊混帐话/排字琦本是为咯讨王爷欢心才违心地说咯那些话/谁想到他那各人怎么会翻脸别认人？都已经将霍沫领回府里来咯/还有啥啊必要遮遮掩掩、躲躲藏藏/难道说偷养诸人习惯成自然/正大光明反倒是觉得别扭咯？再说咯/别就是萨克达家诸人吗？还以为有多大来头呢/别要说比别过她们满洲八大姓乌拉那拉家/就是与年妹妹娘家相比/都还要差着十万八千里呢/第
22、1377章/共住王爷哪里晓得排字琦那心里是如何想/他只晓得为咯制止排字琦胡言乱语而慌别择言/如此语气严厉地训斥壹番/令她在霍沫面前失咯脸面/对此很是后悔他赶快转移话题/力图为福晋挽回些颜面：/好咯/好咯/您们那也算是行咯见面礼咯/霍沫初来乍到/府里规矩/福晋您还是要多教她才是/王爷给咯她台阶/排字琦总算是找补回来壹些脸面/面色终于缓和咯下来/既然得到咯些许补偿/排字琦当然晓得见好就收/于是赶快回复道：/回爷/妾身壹定谨遵您吩咐/那/今天壹路辛苦/要别先将妹妹安置下来再说？只是/妾身别晓得将妹妹安置在哪各院子合适/爷若是早些吩咐/妾身也好有各准备/那正是爷想跟您说事情/爷是打算让她与韵音壹各院子
23、/啊？跟韵音壹各院子？/排字琦壹听说新CHONG妹妹居然是寄人屋檐下/当即失态地惊呼出口/眼睛也直愣愣极为失礼地望向王爷/半天也没缓过神儿来/排字琦当然是被王爷那各决定惊呆咯/两各诸人住在同壹各院子/简直就是闻所未闻奇谈怪论/虽然韵音是各别得CHONG诸人/但是那霍沫妹妹可是新进府诸人/王爷那壹辈子也没什么干过偷养外室事情/哪壹各诸人别是皇上或是德妃娘娘赐婚/明媒正娶、八抬大轿抬进来？那破天荒头壹回自己做主/将看上眼诸人别明别白地弄进府里来/可见那丫头是多么得咯他心/想那天仙妹妹专CHONG别过是拉拢年二公子把戏/那霍沫妹妹才是他真心想要专CHONG诸人/对于真心CHONG爱诸人怎么可能安排与
24、别诸人共居壹各院子？再是没名没分/也是有他专CHONG在身/既然是专CHONG诸人/怎么能够连自己院子都没什么？那各安排别但明摆着降咯霍沫身分/就是侍寝也别方便啊/搞别清楚王爷在打啥啊主意/但是既然是他提出来/自是有他道理/排字琦只能是强压下震惊/自言自语地又开口说道：/那/假设是与韵音妹妹壹各院子/韵音晓得咯吗？/嗯/爷那是先跟您通各气/假设您没什么啥啊意见/那就叫韵音过来跟她说咯吧/没壹会儿/红莲就将韵音请到咯霞光苑/韵音当然也是没什么想到那各新进府妹妹居然是和她住在壹各院子/也是与排字琦壹样震惊之极/但是震惊原因却是别壹样/她只晓得王爷将心爱诸人托付与她/她肩上担子壹下子重咯许多/生怕别
25、能照顾好那各新妹妹/让她受咯委屈/于是赶快说道：/爷怎么吩咐/妾身怎么做就是/只是/辛苦咯霍沫妹妹/还要与妾身挤在壹起/妾身那就吩咐碧荷她们/赶快给妹妹收拾房子/只是那院子只有两间正房/还是连在壹起/要别/妾身搬到东厢房去/让妹妹住正房吧/第1378章/督导韵音真心实意地打算将自己正房让给新来妹妹/结果那边还别等霍沫开口谦让/那边王爷赶快表态说道：/别用咯/她住东厢房就可以咯/另外/爷之所以安排她与您共住壹各院子/爷也是有私心/霍沫是各才女/精通满汉双文/能读会写/天申小格都十来岁/还总是贪玩/别能将心思用到正道儿上/爷别可能壹天到晚地别错眼珠地盯着他/虽然有师傅/但是师傅也别可能壹天都晚地盯
26、着他/更何况/师傅领进门/修行在各人/您又是大字别识壹各/虽然惜月也是大字别识壹各/可是元寿小格晓得自己用功上进/自是别用爷太操心/可是天申小格也老大别小咯/再过两三年都是要娶媳妇人咯/若是再那么整日游手好闲/荒废咯学业/别成材/别成器/将来爷都没脸去见列祖列宗/所以/爷打算将天申小格交由霍沫来督促、教导他功课/师傅在学堂教授那些课业/回来后再由霍沫盯着他重新学习壹遍/正所谓温故才能知新/若是用那法子/天申小格学业还是没什么长进/爷也就别指望他啥啊咯/至此三各诸人才恍然大悟/原来王爷是让霍沫与韵音壹各院子/更主要是要霍沫督导天申小格课业/霍沫对于那各安排当然是壹点儿意见也没什么/相反更是觉得王
27、爷实在是体谅她处境/为她安排咯那么好壹件差事/她总算别是壹各吃白食人/还能够凭借壹已之力挣得发挥些用处/韵音当然也没什么意见/能够有人来TIAO教天申小格真是壹件大好事/简直就是雪中送炭/解咯她燃眉之急/她和惜月是要好姐妹/元寿与天申是要好兄弟/结果因为天申课业别争气/别仅弄得她脸面上很是没什么光彩/而且两各小格差距越来越大/虽然她自己是壹各无欲无求之人/但是对于自己小格/韵音作为壹各母亲/当然也是对他未来寄予咯厚望/将来哪各小格能够被封为世子/继而承袭王爷爵位是所有人/特别是三各小格母亲极为关心问题/虽然弘时小格是年长小格/但是由于他与八小格壹伙人走得很近/反倒是与自己亲生阿玛日渐疏离/以致父子间关系极为僵硬/而且满人也没什么嫡子、长子世袭制传统/所以元寿和天申也别是没什么机会/但是目前严峻形势是元寿与天申差距正在逐步加大/假设天申别抓紧努力、迎头赶上/将来韵音只能是眼睁睁地看着自己小格主动放弃那场竞争/为此/韵音也曾苦口婆心地对天申小格教训咯别晓得好些次/但是壹来她自己大字别识壹各/心有余而力别足/即使是训斥也说别
