1、微分法微分法:)?()(xF积分法积分法:)()?(xf互逆运算互逆运算第四章 不定积分（Indefinite Integrals）1/2/20231主 要 内 容第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 第二节第二节 换元积分法换元积分法第三节第三节 分分部积分法部积分法第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分第五节第五节 积分表的使用积分表的使用1/2/20232第一节 不定积分的概念与性质 第四章第四章 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表二、基本积分表（Conceptions and properties of Indefi
2、nite Integrals）三、不定积分的性质三、不定积分的性质四、小结与思考题四、小结与思考题1/2/20233一、原函数与不定积分的概念(Primitive Function and the Indefinite Integral)定义定义 1 若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x)满足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在区间 I 上的一个原函数原函数.则称 F(x)为f(x)例如,sint的原函数有,cost,3cos t问 题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?1/2/20234 定理定理1（原函数存在定理）（原函数存在定理）
3、,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)(存在原函数存在原函数.(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数1/2/20235,)()(的一个原函数是若xfxF的所有则)(xf原函数都在函数族CxF)(C 为任意常数)内.证证:1)()()F xCf x所以是的原函数。()F xC 因为)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF()()xF x 故)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C即0)()(CxFx属于函数族().F xC即定理
4、 2 1/2/20236)(xf在区间 I 上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分,d)(xxf其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)(被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;若,)()(xfxF则CxFxxf)(d)(C 为任意常数)C 称为积分常数积分常数不可丢不可丢!例如例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cos记作定义 2 1/2/20237)(xf的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族.yxo0 x的积分曲线积分曲线.不定积分的几何意义:1/2/20238xdd)1(xxfd)()(xf二
5、、基本积分表由不定积分定义可知由不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思维利用逆向思维xkd)1(k 为常数)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln时0 x)1()ln()ln(xxx11/2/2023921d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tan或Cx cotarc21d)5(xxCx arcsin或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cot1/2/202310 xxxdtansec)10(Cx
6、 secxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCx chch d(15)x x Cx shsh d(14)x x 2chxxeex1/2/202311.d3xxx解解:原式 =xxd34134Cx313例例2 求.dcossin22xxx解解:原式=xxdsin21Cx cos21134xC例1 求求2sindsinsin222xxxC或：原式=21/2/202312三、不定积分的性质(Properties of the Indefinite Integral)xxfkd)(.1xxgxfd)()(.2推论推论:若,)()(1x
7、fkxfinii则1()d()dniiif xxkf xxxxfkd)(xxgxxfd)(d)()0(k1/2/202313.d)5(2xexx解解:原式=xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C例3 求求1/2/202314.dtan2xx解解:原式=xxd)1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例5 求221d.(1)xxxxx解解:原式=22(1)d(1)xxxxx例4 求求21d1xx1dxxln xarctan xC1/2/202315解：解：()df x x 1 d,1,xxx(2)d,1x xx 2122,12,1,xxCxxC
8、x221211limlim2xxxxCxC121,2CC22,1,122()d,1.xxxfCxxxCx1/2/202316内容小结1.不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表2.直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形、及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分.常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式、代数公式、代数公式 等等积分性质积分性质1/2/202317思考与练习1.若则的原函数是,)(xfex d)(ln2xxfx提示提示:xe)()(x
9、exfxeln)(ln xfx1212xC1/2/202318)(xf是xe的原函数,则xxxfd)(ln提示提示:由xexf)(0()xf xeC 有 01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln102.若若1/2/202319)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sin x则)(xf的一个原函数是().;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示:已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)(?或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx3.若若1/2/202320422222dd(1);(2)d;(3).(1)1sincosx
10、xxxxxxxx提示提示:)1(1)1(1)1(2222xxxx22221(3)sincossincosxxxxxx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x4.求下列积分:42(1)1(2)1xx222(1)(1)11xxx22111xx1/2/202321解：解：.d113xeexxxeexxd113xeexxd1)1(2(1)xxeexeexxd)1(2Cxeexx2215.求不定积分求不定积分1/2/20232222221d1d1xxBxxAxxx求 A,B.解解:等式两边对 x 求导,得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA021ABA故2121BA6.已知已知1/2/202323
