1、1Best Wish For You 信心源自于努力信心源自于努力1 B e s t Wi s h F o r Y o u 信心源自于努力22 专题一 规律探索问题3专题一专题一 规律探索型问题规律探索型问题考点知识梳理考点知识梳理中考典例精析中考典例精析专题突破专题突破强化训练强化训练专题训练专题训练【练习篇练习篇】专题训练专题训练3 专题一 规律探索型问题考点知识梳理中考典例精析专题突破4探索规律型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种探索规律型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一特定关系的数、式、图
2、形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论类型有纳或猜想出一般性的结论类型有“数列规律数列规律”、“计算规律计算规律”、“图形图形规律规律”与与“动态规律动态规律”等题型，近年来关于数列与图形排列规律的题目越等题型，近年来关于数列与图形排列规律的题目越来越多来越多1 1数列规律数列规律数列规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性数列规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容的
3、结论，以列代数式即函数关系式为主要内容2 2计算规律计算规律4 探索规律型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某5计算规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关计算规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，然后通过适当的计算系，然后通过适当的计算(主要以等差数列的计算为主主要以等差数列的计算为主)回答问题回答问题3 3图形规律图形规律图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，
4、要注意对应思想和数形结合合4 4动态规律动态规律动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类问动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类问题时，要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生题时，要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律5 计算规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量6【点拨点拨】通过观察发现，这组数字出现的规律是：通过观察发现，这组数字出现的规律是：(1)(1)分子以幂的形式分子以幂的形式排列，分母与分子的差是定
5、值排列，分母与分子的差是定值4 4；(2)(2)再从特殊到一般：从第一个数开始分再从特殊到一般：从第一个数开始分子分别以子分别以3,4,53,4,5，的平方出现所以分子分母的代数式分别是的平方出现所以分子分母的代数式分别是(n n2)2)2 2和和(n n2)2)2 24.4.6【点拨】通过观察发现，这组数字出现的规律是：(1)分子以幂7 如图，将如图，将n n个边长都为个边长都为1 cm1 cm的正方形按如图所的正方形按如图所示摆放，点示摆放，点A A1 1、A A2 2、A An n分别是正方形的中心，则分别是正方形的中心，则n n个这样的正方形重叠部分的面积和为个这样的正方形重叠部分的面
6、积和为_7 如图，将n 个边长都为1 c m的正方形按如图所889【点拨点拨】本题是一个关于线段比的探究题，主要考查学生的自学探究本题是一个关于线段比的探究题，主要考查学生的自学探究能力解答此类问题的一般思路是：先从简单问题入手，总结解题规律，能力解答此类问题的一般思路是：先从简单问题入手，总结解题规律，以此规律解答类似相关复杂问题以此规律解答类似相关复杂问题9【点拨】本题是一个关于线段比的探究题，主要考查学生的自学探101 0111 1如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继
7、续下去，已知第一个矩形菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为的面积为1 1，则第，则第n n个矩形的面积为个矩形的面积为_._.2 2观察下列算式：观察下列算式：1 13 32 22 23 34 41 1；2 24 43 32 28 89 91 1；3 35 54 42 2151516161 1；_；.(1)(1)请你按以上规律写出第请你按以上规律写出第4 4个算式；个算式；1 1 1 如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依12(2)(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)(3)你认为你认为(2)(2)中所
8、写出的式子一定成立吗？并说明理由中所写出的式子一定成立吗？并说明理由 答案：答案：(1)4(1)46 65 52 2242425251 1(2)(2)答案不唯一如答案不唯一如n n(n n2)2)(n n1)1)2 21 1(3)(3)成立理由：成立理由：n n(n n2)2)(n n1)1)2 2n n2 22 2n n(n n2 22 2n n1)1)n n2 22 2n nn n2 22 2n n1 11 13 3在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O O出发，按向上、向右、向下、出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动向右的方向依次不断移动
9、，每次移动1 1个单位，其行走路线如图所示个单位，其行走路线如图所示(1)(1)填写下列各点的坐标：填写下列各点的坐标：A A1 1(_(_，_)_)，A A3 3(_(_，_)_)，A A1212(_(_，_)_)；(2)(2)写出点写出点A A4 4n n的坐标的坐标(n n是正整数是正整数)；1 2(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；13(3)(3)指出蚂蚁从点指出蚂蚁从点A A100100到点到点A A101101的移动方向的移动方向答案：答案：(1)(1)A A1 1(0,1)(0,1)，A A3 3(1,0)(1,0)，A A1212(6,0)(6,0)(2)(2)A A4 4
10、n n(2(2n,n,0)0)(3)(3)向上向上4 4如下数表是由从如下数表是由从1 1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答的解答1 12 23 34 43 35 56 67 78 89 91010111112121313141415151616171718181919202021212222232324242525262627272828292930303131323233333434353536361 3(3)指出蚂蚁从点A 1 0 0 到点A 1 0 1 的移动方向14(1)(1)表中第表中第8 8行的最后一个数是行的最后一个数是_
11、，它是自然数，它是自然数_的平方，第的平方，第8 8行共有行共有_个数；个数；(2)(2)用含用含n n的代数式表示：第的代数式表示：第n n行的第一个数是行的第一个数是_，最后一个数是，最后一个数是_，第，第n n行共有行共有_个数；个数；(3)(3)求第求第n n行各数之和行各数之和1 4(1)表中第8 行的最后一个数是_ _ _ _ _ _，它是自然数_15规律探索型问题规律探索型问题训练时间：训练时间：6060分钟分钟 分值：分值：100100分分1 5 规律探索型问题16一、选择题一、选择题(每小题每小题5 5分，共分，共2525分分)1 1(2010(2010中考变式题中考变式题)
12、如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第请仔细观察，按此规律第2 0122 012个图案是个图案是()【解析解析】观察图案可知，每观察图案可知，每4 4个图案循环一次，因为个图案循环一次，因为2 0122 0124 450205020，所以第，所以第2 0122 012个图案与第个图案与第4 4个图案相同，故选个图案相同，故选A.A.【答案答案】A A1 6 一、选择题(每小题5 分，共2 5 分)172 2(2012(2012中考预测题中考预测题)观察下列算式：观察下列算式：3 31 13,33,32 29,39,33 327,327
13、,34 481,381,35 5243,3243,36 6729,3729,37 72 187,32 187,38 86 5616 561，通过观察，用你所发现的规律确通过观察，用你所发现的规律确定定3 32 0122 012的个位数字是的个位数字是()A A3 B3 B9 C9 C7 D7 D1 1【解析解析】观察算式，可发现每观察算式，可发现每4 4个数字的个位数字循环一次，因为个数字的个位数字循环一次，因为2 0122 0124 4503503，故，故3 32 0122 012的个位数字是的个位数字是1.1.【答案答案】D D1 7 2(2 0 1 2 中考预测题)观察下列算式：3 1
14、3,3 2 183 3(2010(2010中考变式题中考变式题)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，律，根据此规律，m m的值是的值是()A A38 B38 B52 C52 C66 D66 D7474【解析解析】规律一：和规律一：和m m对应位置的数除外，其他相应位置的数都是偶数，对应位置的数除外，其他相应位置的数都是偶数，且后面的数比对应前面的数大且后面的数比对应前面的数大2.2.如：如：0,2,4,60,2,4,6；其他位置的数是；其他位置的数是4,6,8,104,6,8,10；2,4,6,8.2,4,6,8.如图如图1 8
15、3(2 0 1 0 中考变式题)填在下面各正方形中的四个数之间19规律二：一条对角线位置的数字之和等于另一条对角线位置的数字之规律二：一条对角线位置的数字之和等于另一条对角线位置的数字之积如积如4 444446 68 8，则，则6 6m m8 81010，故，故m m74.74.【答案答案】D D1 9 规律二：一条对角线位置的数字之和等于另一条对角线位置的数204 4(2010(2010中考变式题中考变式题)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文文密文密文(加密加密)，接收方由密文，接收方由密文明文明文(解密解密)已知有一种密码，将英文已知有一
16、种密码，将英文2626个小写字母个小写字母a a，b b，c c，z z依次对应依次对应0,1,20,1,2，2525这这2626个自然数个自然数(见表见表格格)，当明文中的字母对应的序号为，当明文中的字母对应的序号为时，将时，将1010除以除以2626后所得的余数作后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文为密文中的字母对应的序号，例如明文s s对应密文对应密文c c.字母字母abcdefghijklm序号序号0123456789101112字母字母nopqrstuvwxyz序号序号131415161718192021222324252 0 4(2 0 1 0 中考变式题)为确保信息安
17、全，信息需加密传输21按上述规定，将明文按上述规定，将明文“mathsmaths”译成密文后是译成密文后是()A Awkdrcwkdrc B Bwkhtcwkhtc C Ceqdjceqdjc D Deqhjceqhjc【解析解析】m m对应的数字是对应的数字是12,1212,12101022,2222,22除以除以2626的余数仍然是的余数仍然是2222，因，因此对应的字母是此对应的字母是w w；a a对应的数字是对应的数字是0,00,0101010,1010,10除以除以2626的余数仍然是的余数仍然是1010，因此对应的字母是因此对应的字母是k k；所以明文所以明文“mathsmaths
18、”译成密文后是译成密文后是“wkdrcwkdrc”【答案答案】A A2 1 按上述规定，将明文“ma t h s”译成密文后是()225 5(2011(2011武汉武汉)在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点且规定，正方形的内部不包含边界上的点观察如图所示的中心做整点且规定，正方形的内部不包含边界上的点观察如图所示的中心在原点、一边平行于在原点、一边平行于x x轴的正方形：边长为轴的正方形：边长为1 1的正方形内部有的正方形内部有1 1个整点，边长个整点，边长为为2 2的正方形内部有的正方形内部有1 1个整点，边长为个整点，边长为3
19、3的正方形内部有的正方形内部有9 9个整点，个整点，则边，则边长为长为8 8的正方形内部的整点的个数为的正方形内部的整点的个数为()2 2 5(2 0 1 1 武汉)在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都23A A65 B65 B49 C49 C36 D36 D2525【解析解析】由题意分析知边长为由题意分析知边长为n n(n n2)2)的正方形内部的整点个数满足：的正方形内部的整点个数满足：当当n n为奇数时，整点个数为为奇数时，整点个数为n n2 2；当；当n n为偶数时，整点个数为为偶数时，整点个数为(n n1)1)2 2.所以边所以边长为长为8 8的正方形内部的整点个数为的正方形内部的整点
20、个数为(8(81)1)2 249.49.【答案答案】B B2 3 A 6 5 B 4 9 C 3 6 D 2 524二、填空题二、填空题(每小题每小题5 5分，共分，共4040分分)2 4 二、填空题(每小题5 分，共4 0 分)257 7(2011(2011北京北京)在下表中，我们把第在下表中，我们把第i i行第行第j j列的数记为列的数记为a ai i，j j(其中其中i i，j j都是不大于都是不大于5 5的正整数的正整数)，对于表中的每个数，对于表中的每个数a ai i，j j规定如下：当规定如下：当i ij j时，时，a ai i，j j1 1；当；当i i j j时，时，a ai
21、i，j j0.0.例如：当例如：当i i2 2，j j1 1时，时，a ai i，j ja a2,12,11.1.按此规定，按此规定，a a1,31,3_；表中的；表中的2525个数中，共有个数中，共有_个个1 1；计算；计算a a1,11,1a ai,i,1 1a a1,21,2a ai,i,2 2a a1,31,3a ai,i,3 3a a1,41,4a ai,i,4 4a a1,51,5a ai,i,5 5的值为的值为_._.a a1,11,1a a1,21,2a a1,31,3a a1,41,4a a1,51,5a a2,12,1a a2,22,2a a2,32,3a a2,42,4a
22、 a2,52,5a a3,13,1a a3,23,2a a3,33,3a a3,43,4a a3,53,5a a4,14,1a a4,24,2a a4,34,3a a4,44,4a a4,54,5a a5,15,1a a5,25,2a a5,35,3a a5,45,4a a5,55,52 5 7(2 0 1 1 北京)在下表中，我们把第i 行第j 列的数记26【解析解析】113 3，a a1,31,30.0.表中表中i ij j的数共有的数共有1515个，个，表中表中2525个数中个数中有有1515个个1.1.根据规定：无论根据规定：无论i i1,2,3,41,2,3,4或或5 5，都有，都有
23、a a1,11,1a ai,i,1 1a a1,21,2a ai,i,2 2a a1,31,3a ai,i,3 3a a1,41,4a ai,i,4 4a a1,51,5a ai,i,5 51 10 00 00 00 01.1.【答案答案】0 015151 12 6【解析】1 3，a 1,3 0.表中i j 的数共有1 5278 8(2010(2010中考变式题中考变式题)观察下列图形：观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9 9个图形中共有个图形中共有_个个.【解析解析】规律是规律是1 13 31,11,13 32,12,13 33 3，1
24、 13 39 9，所以第，所以第9 9个个图形共有图形共有1 13 39 91 1272728(28(个个)【答案答案】28282 7 8(2 0 1 0 中考变式题)观察下列图形：289 9(2011(2011南京南京)甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：定：甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1 1、2 2、3 3、4 4，接着甲报，接着甲报5 5，乙报，乙报66按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1.1.当报到的当报到的数是数是5050时
25、，报数结束；时，报数结束；若报出的数为若报出的数为3 3的倍数，则报该数的同学需拍手一次的倍数，则报该数的同学需拍手一次在此过程中，甲同学需拍手的次数为在此过程中，甲同学需拍手的次数为_【解析解析】50504 41212余余2 2，甲由共报出甲由共报出1,5,9,131,5,9,13，45,49,1345,49,13次次数，其中的数，其中的9,21,339,21,33和和4545是是3 3的倍数，的倍数，甲同学需拍手的次数为甲同学需拍手的次数为4.4.【答案答案】4 42 8 9(2 0 1 1 南京)甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序291010(2010(2010中考变式题中考变式题)如图
26、为手的示意图，在各个手指间标记字母如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A A，B B，C C，D D.请你按图中箭头所指方向请你按图中箭头所指方向(即即A AB BC CD DC CB BA AB BC C的的方式方式)从从A A开始数连续的正整数开始数连续的正整数1,2,3,41,2,3,4，当数到，当数到1212时，对应的字母是时，对应的字母是_；当字母；当字母C C第第201201次出现时，恰好数到的数是次出现时，恰好数到的数是_；当字母；当字母C C第第2 2n n1 1次出现时次出现时(n n为正整数为正整数)，恰好数到的数是，恰好数到的数是_(用含用含n n的代数式的代数式表示表
27、示)2 9 1 0(2 0 1 0 中考变式题)如图为手的示意图，在各个手指30【解析解析】当数到当数到1212时，对应的字母是时，对应的字母是B B.根据已知条件将字母进行排列，根据已知条件将字母进行排列，发现字母发现字母C C出现的次数是奇数时，此时数到的数恰好是这个奇数的出现的次数是奇数时，此时数到的数恰好是这个奇数的3 3倍倍201,2201,2n n1 1都是奇数，都是奇数，数到的数分别是数到的数分别是3 3201201603,3(2603,3(2n n1)1)6 6n n3.3.【答案答案】B B6036036 6n n3 33 0【解析】当数到1 2 时，对应的字母是B.根据已知
28、条件将字母311111(2010(2010中考变式题中考变式题)如图是圆心角为如图是圆心角为3030，半径分别是，半径分别是1 1、3 3、5 5、7 7、的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S S1 1、S S2 2、S S3 3、，则，则S S5050_.(_.(结果保留结果保留)3 1 1 1(2 0 1 0 中考变式题)如图是圆心角为3 0，半径分32【答案答案】66663 2【答案】6 6 333 3343 4351313(2010(2010中考变式题中考变式题)如图，如图，n n1 1个上底、两腰皆为个上底、两腰皆为1 1，下底长为，下底
29、长为2 2的的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P P1 1M M1 1N N1 1N N2 2的面积为的面积为S S1 1，四边形，四边形P P2 2M M2 2N N2 2N N3 3的面积为的面积为S S2 2，四边形，四边形P Pn nM Mn nN Nn nN Nn n1 1的面积为的面积为S Sn n，通过逐一计算，通过逐一计算S S1 1，S S2 2，可得，可得S Sn n_._.3 5 1 3(2 0 1 0 中考变式题)如图，n 1 个上底、两腰皆为363 637三、解答题三、解答题(共共3535分分)1414(15(15分分)(2
30、010)(2010中考变式题中考变式题)给出下列命题：给出下列命题：3 7 三、解答题(共3 5 分)383 8391515(20(20分分)(2011)(2011河北河北)如图至中，两平行线如图至中，两平行线ABAB，CDCD间的距离均间的距离均为为6 6，点，点M M为为ABAB上一定点上一定点思考如图，圆心为思考如图，圆心为O O的半圆形纸片在的半圆形纸片在ABAB，CDCD之间之间(包括包括ABAB，CDCD)其其直径直径MNMN在在ABAB上，上，MNMN8 8，点，点P P为半圆上一点，设为半圆上一点，设MOPMOP.当当_度时，点度时，点P P到到CDCD的距离最小，最小值为的距
31、离最小，最小值为_探究一在图的基础上，以点探究一在图的基础上，以点M M为旋转中心，在为旋转中心，在ABAB，CDCD之间顺时针旋之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图，得到最大旋转角转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图，得到最大旋转角BMOBMO_度，此时点度，此时点N N 到到CD CD 的距离是的距离是_3 9 1 5(2 0 分)(2 0 1 1 河北)如图至中，两平行线40探究二将图中的扇形纸片探究二将图中的扇形纸片NOPNOP按下面对按下面对的要求剪掉，使扇形纸片的要求剪掉，使扇形纸片MOPMOP绕点绕点M M在在ABAB，CDCD之间顺时针旋转之间顺时针旋转4
32、0 探究二将图中的扇形纸片N O P 按下面对 的要求剪掉，使41(1)(1)如图，当如图，当6060时，求在旋转过程中，点时，求在旋转过程中，点P P到到CDCD的最小距离，的最小距离，并请指出旋转角并请指出旋转角BMOBMO的最大值；的最大值；(2)(2)如图，在扇形纸片如图，在扇形纸片MOPMOP旋转过程中，要保证点旋转过程中，要保证点P P能落在直线能落在直线CDCD上，上，请确定请确定的取值范围的取值范围【答案答案】解：思考解：思考90902 2探究一探究一30302 2探究二探究二(1)(1)由已知得由已知得M M与与P P的距离为的距离为4.4.4 1(1)如图，当 6 0 时，求在旋转过程中，点P 到C D424 2434 3444 445诲人不倦诲人不倦悟性的高低取决于有无悟悟性的高低取决于有无悟“心心”,其实其实,人与人的差别就在于你人与人的差别就在于你是否去思考是否去思考,去发现，去总结。去发现，去总结。下课了!4 5 诲人不倦悟性的高低取决于有无悟“心”,其实,人与人的差别46 4 6 祝你成功！
