1、29.1 29.1 几何问题的处理方法几何问题的处理方法哥白尼哥白尼地球是运动的地球是运动的缺乏依据缺乏依据,无法证明无法证明想一想：想一想：在在公理公理的基础上，我们以证得了许多与平行的基础上，我们以证得了许多与平行线、三角形有关的线、三角形有关的图形的属性图形的属性，并将这些图形的，并将这些图形的属性均作为属性均作为进一步推理进一步推理的的依据依据，于是又进一步，于是又进一步证明证明等腰三角形等腰三角形、平行四边形平行四边形的的性质性质与与判定定理判定定理。例如，有了例如，有了“边角边边角边”公理，我们以证明了公理，我们以证明了等腰三角形的等腰三角形的性质定理性质定理“等腰三角形的底角相等
2、等腰三角形的底角相等”、“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合底边上的高互相重合（即等腰三角形（即等腰三角形三线合一三线合一）”。等腰三角形性质定理等腰三角形性质定理 等腰三角形的等腰三角形的两个底角相等。两个底角相等。（简写成“等边对等角等边对等角”）等腰三角形顶角的平分线、底边上的等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合中线、底边上的高互相重合（简写成“等腰三角形的三线合一等腰三角形的三线合一”）我们还可以用逻辑我们还可以用逻辑推理的方法得到等推理的方法得到等腰三角形的性质：腰三角形的性质：等腰三角形两底角什么关系？
3、怎样证明？等腰三角形两底角什么关系？怎样证明？2.等腰三角形的等腰三角形的顶角顶角平分线、底边上的中线、平分线、底边上的中线、底边上的高底边上的高互相重互相重合（简写成合（简写成“等腰三等腰三角形的三线合一角形的三线合一”）等腰三角形的性质定理：等腰三角形的性质定理：1.等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等（简写成（简写成“等边对等角等边对等角”）在在ABC中中 AB=AC B=CCAB21BDAC在在ABC中中,AB=AC 1=2 ADBC，BD=CD ADBC 1=2，BD=CD BD=CD 1=2，ADBC 以以等腰三角形等腰三角形为条件时的常用为条件时的常用辅助线辅助线:如
4、图：若如图：若AB=AC 作作ADBC于于D，必有结论，必有结论:1=2，BD=DC 若若BD=DC，连结，连结AD，必有结论：，必有结论：1=2，ADBC 作作AD平分平分BAC必有结论：必有结论：ADBC，BD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，的辅助线，然后证出其它两个性质，不能不能这样作这样作：作作ADBC，使，使1=2.ABCD1 2 对一般三角形能用（对一般三角形能用（SSA）判定两个三）判定两个三角形全等吗？为什么？角形全等吗？为什么？我们曾经通过画图、比较，发现画图、比较，发现：如果两个直角三角形的斜边
5、及一条直角如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角边分别对应相等，那么这两个直角三角形是全等的形是全等的RTHL定理定理 图27.2.2 已知：如图，在已知：如图，在ABC和和ABC中，中，ACBACB90,ABAB，ACAC 求证：求证：ABC ABC 已知：如图，在已知：如图，在ABC和和ABC中中,ACB=ACB=90 AB=AB,AC=AC.求证：求证：ABC ABC 把把 ABC和和ABC拼在一起，使相等拼在一起，使相等的直角边的直角边AB和和AB重全在一起，并使点重全在一起，并使点C和和C在在AB.的两旁，的两旁，C、B（B）、）、C在一在一条直线上。条
6、直线上。(A)C(B)ACBcBACBA(A)C(B)ACBcBACBA 证明证明；如图；如图,把把ABC和和ABC拼在一起拼在一起,因为因为ABC=ABC=90(已知已知)所以所以 CBC=180（等式的性质）（等式的性质）即点即点C、B、C在同一条直线上。在同一条直线上。在在ACC中，因为中，因为AC=AC=AC（已知）（已知）所以所以 C=C（等边对等角）（等边对等角）在在ABC和和ABC中。中。因为因为ABC=ABC（已知）（已知）C=C（已证）（已证）AC=AC（已知）（已知）所以所以ABC ABC （A.A.S）证明：如果一个三角形有两个角相等，那么这证明：如果一个三角形有两个角相
7、等，那么这两个角所对的边也相等两个角所对的边也相等 CAB已知：在已知：在ABC中，中，BC，求证：求证：ABACD等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理（简写成（简写成“等角对等边等角对等边”）在在ABC中中B=CAB=AC我们知道等腰三角形的识别方法是我们知道等腰三角形的识别方法是:如果一个三角形有两个角相等如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等那么这两个角所对的边也相等.已知：如图已知：如图,在在ABC中中,B=C.求证求证:AB=ACABCD证明证明:作作ADBC于点于点D在在BAD和和CAD中中,B=C(已知已知)ADB=ADC=90(作图作图)AD=AD(公共边公
8、共边)BAD CAD(A.A.S.)BA=CA(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)如图。按照下面的步骤，在方格纸上如图。按照下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形。画一个平行四边形。探索探索步骤步骤1：画两条平行线；：画两条平行线；步骤步骤2：在两条线上分别取点：在两条线上分别取点A和点和点B，连结，连结AB；步骤步骤3：沿着水平方向平移：沿着水平方向平移AB到到DC，就得到，就得到ABCD。ABABDC如图。用剪刀把如图。用剪刀把ABCD从方格纸上剪下，再在一从方格纸上剪下，再在一张纸上沿张纸上沿ABCD的边沿，画出一个四边形，记为的边沿，画出一个四边形，记为四边形四边形EFGH。则
9、四边形。则四边形EFGH和四边形和四边形ABCD完全完全一样，也为平行四边形。它们的对应边、对应角都一样，也为平行四边形。它们的对应边、对应角都相等。相等。在在ABCDABCD中连结中连结ACAC、BDBD，它们的交点记为，它们的交点记为O O。用一枚图钉在点用一枚图钉在点O O穿过，将穿过，将ABCDABCD绕点绕点O O旋转旋转1801800 0，观察旋转，观察旋转后的后的ABCDABCD和纸上所画的和纸上所画的EFGHEFGH是否重合。是否重合。旋转旋转1801800 0之后两个平行四边形完全重合。之后两个平行四边形完全重合。即平行四边形是中心对称图形，对角线的交即平行四边形是中心对称图
10、形，对角线的交点点O O就是对称中心。由此得到：就是对称中心。由此得到：你能从中得出你能从中得出ABCDABCD的一些边角关系吗？的一些边角关系吗？ADADBCBC，ABABDCDC A A C；B B D D即平行四边形的对边即平行四边形的对边相等、对角相等。相等、对角相等。如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是平行四边形。是平行四边形。求证：求证：ABABCDCD，BCBCDADA。例例2证明：连结证明：连结ACAC。四边形四边形ABCD是平行四边形（已知）是平行四边形（已知）ABCD（平行四边形的定义）。（平行四边形的定义）。BACBACDCADCA（两直线平行，内错角相等）（两直线
11、平行，内错角相等）同理同理BCABCADACDAC在在ABCABC和和CDACDA中，中，BACBACDCADCA（已证），（已证），ACACCACA（公共边），（公共边），BCABCADACDAC（已证），（已证），ABCABCCDACDA（A.S.A）ABABCDCD，BCBCDADA（全等（全等三角形的对应边相等）三角形的对应边相等）由由ABCABCCDACDA，还可得：BB DD，同理也可得出，同理也可得出:BA D=DCB.:BA D=DCB.平行四边形的对边相等，对角相等。平行四边形的对边相等，对角相等。平行四边形的平行四边形的性质性质w定理定理:平行四边形的对边相等平行四边形的对
12、边相等.BDCA四边形ABCD是平行四边形.AB=CD,BC=DA.w定理定理:平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等.四边形ABCD是平行四边形.A=C,B=D.定理定理:平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分.四边形ABCD是平行四边形.CO=AO,BO=DO.BDCAO推论推论:夹在两条平行线间的平行夹在两条平行线间的平行线段相等线段相等.MNPQ,ABCD,AB=CD.BDCAMNPQ回顾 思考平行四边形的平行四边形的性质：性质：边边平行四边形的对边平行平行四边形的对边平行平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等角角平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等平行四边形的邻
13、角互补平行四边形的邻角互补对角线对角线 平行四边形的对角线平行四边形的对角线 互相平分互相平分例例3：同样，我们可以证明：同样，我们可以证明：平行四边形的对角线互相各平分平行四边形的对角线互相各平分。有了平行四边形的性质，还可以证明矩形、菱形、有了平行四边形的性质，还可以证明矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质。例如要证明菱形的对角正方形、等腰梯形的有关性质。例如要证明菱形的对角线互相垂直，可以先证明菱形的四条边相等。这是因为线互相垂直，可以先证明菱形的四条边相等。这是因为菱形的对边相等，且有一组邻边相等，故四条边都相等。菱形的对边相等，且有一组邻边相等，故四条边都相等。如图，四边形如图，四
14、边形ABCDABCD是菱形。是菱形。求证：求证：ACACBDBD，且，且ACAC平分平分BADBAD。证明：设证明：设ACAC与与BDBD相交于相交于O O。四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，BOBODODO（平行四边形的对角线互相平分）（平行四边形的对角线互相平分）ABABADAD（菱形的四条边相等）（菱形的四条边相等）ACACBDBD，且，且ACAC平分平分BADBAD（等腰（等腰三角形三线合一）三角形三线合一）矩形的性质矩形的性质w定理:矩形的四个角都是直角.已知:如图,四边形ABCD是矩形.w分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.证明:四边形ABCD是矩形,
15、A=900,四边形ABCD是平行四边形.C=A=900,B=1800-A=900,D=1800-A=900.求证:A=B=C=D=900.四边形ABCD是矩形.DBCA想一想:正方形的四个角都是直角吗?我思我思,我进步我进步矩形的性质矩形的性质 我思我思,我进步我进步w定理:矩形的两条对角线相等.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.求证:AC=BD.证明:四边形ABCD是矩形,AB=DC,ABC=DCB=900.w分析:根据矩形的性质性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.DBCABC=CB,ABCDCB(SAS).AC=DB.菱形的性质菱形的性质w定理:菱形的四条边都相等.我
16、思我思,我进步我进步已知:如图,四边形ABCD是菱形.w分析:由菱形的定义,利用平行四边形性质可使问题得证.证明:四边形ABCD是菱形,AB=AD,四边形ABCD是平行四边形.AB=CD,AD=BC.求证:AB=BC=CD=DA.AB=BC=CD=AD.CBDA菱形的性质菱形的性质 我思我思,我进步我进步w定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O.求证:(1).ACBD;(2).AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.证明:(1)四边形ABCD是菱形,AD=CD,AO=CO.w分析:根据平行四边形
17、对角线互相平分和等腰三角形“三线合一”来证明.DO=DO,AODCOD(SSS).AOD=COD=900.DBCAOACBD.(2)AD=AB,DA=DC,ACBD;AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.正方形的性质正方形的性质 我思我思,我进步我进步w定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.w求证:(1)A=B=C=D=900.w (2)AB=BC=CD=DA.w分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.w证明:四边形ABCD是矩形,也是菱形.A=B=C=D=900,AB=BC=CD=DA.四边形ABCD是正方形,ABCDw已知:四边形ABCD是正方形.正方形的性
18、质正方形的性质 我思我思,我进步我进步w定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.w求证:(1).AC=BD,ACBD,AO=CO,BO=DO;(2).AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.w分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.w证明:四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.AO=CO,BO=DO;AC=BD;四边形ABCD是正方形,ACBD;AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.w已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.ABCDO等腰梯形等腰梯形的性质定理的性质定理1.1.等腰梯形在同一底上的两个
19、角相等等腰梯形在同一底上的两个角相等.ABCD2.2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等.ABCD图 19.3.8 对上述定理分别作出证明：对上述定理分别作出证明：定理等腰梯形的同一条底边上的两个内角相定理等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等等 1.已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABDC 求证：ABCDCB，BADCDA 分析可以过点D作DEAB，交BC于E 请你写出完整的证明过程演示演示 证明：过D作DEAB，交BC于E，因为 ADBC，所以ABED是平行四边形.所以 AB=DE.又因为 AB=DC，则 DE=DC,所以DEC是等腰三角形,可得 DEC=C.因为 DE
20、AB，所以 ABC=DEC(两直线平行同位角相等)所以 ABC=DCB.同理可证：BAD=CDA.定理等腰梯形的两条对角线相等定理等腰梯形的两条对角线相等 2.已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABDC 求证：ACBD 分析可以通过证明ABC DCB得出结论 请你写出完整的证明过程图 19.3.9 3.已知：如图，ABCD是等腰梯形.求证：AC=BD.分析：可通过平移对角线将等腰梯形转化成平行四边形和等腰梯形，再利用有关知识证得结论.证明：过D作DEAC，交BC延长线于E.(以下学生自己完成)在第在第2020章中，我们证明了平行四章中，我们证明了平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯边形
21、、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定方法。形的判定方法。由此可知，由给出的公理，以由此可知，由给出的公理，以及与等式、不等式有关的性质出发，及与等式、不等式有关的性质出发，是能够通过逻辑推理的方法证明我是能够通过逻辑推理的方法证明我们已经探索研究过的所有几何图形们已经探索研究过的所有几何图形属性的。属性的。平行四边形的判定平行四边形的判定w定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.w定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.回顾 思考wAB=CD,AD=BC,w四边形ABCD是平行四边形.BDCABD
22、CAOwABCD,AB=CD,w四边形ABCD是平行四边形.wAO=CO,BO=DO,w四边形ABCD是平行四边形.wA=C,B=D.w四边形ABCD是平行四边形.边边角角对角线对角线两组对边分别平行两组对边分别平行两组对边分别相等两组对边分别相等两组对角分别相等两组对角分别相等对角线互相平分对角线互相平分的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形一组对边平行且相等矩形的判定矩形的判定w定理定理:有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形.w定理定理:对角线相等且互相平分四边形是矩形对角线相等且互相平分四边形是矩形.回顾 思考wA=B=C=900,四边形ABCD是矩形.DBCADB
23、CAAC,BD是ABCD的两条对角线,且AC=DB.四边形ABCD是矩形.w定义定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形的判定矩形的判定w定理:有三个角是直角的四边形是矩形.我思我思,我进步我进步已知:如图,在四边形ABCD中,A=B=C=900.w分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:A=B=C=900,A+B=1800,B+C=1800.ADBC,ABCD.求证:四边形ABCD是矩形.四边形ABCD是平行四边形.DBCA四边形ABCD是矩形.矩形的判定矩形的判定w定理:对角线相等的平行四边形是矩形.我思我思,我进
24、步我进步已知:如图,在ABCD中,对角线AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.DBCAw分析:要证明ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.w证明:AB=CD,ABCD.AC=DB,BC=CB,ABCDCB.ABC=DCB.四边形ABCD是平行四边形.ABC+DCB=1800.ABC=900.四边形ABCD是矩形.直角三角形的判定直角三角形的判定 我思我思,我进步我进步w定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.w求证:ABC是直角三角形.21ABCD已知:CD是ABC边AB上的中线,且EABCDw分析:要证明ABC是直角三角形,可以点A,B,C构造平行
25、四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.w证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.四边形ACBE是平行四边形.AB=2CD,CE=2CD,AB=CE.四边形ACBE是矩形.AD=BD,CD=ED,ACB=900.ABC是直角三角形.菱形的判定菱形的判定w定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.我思我思,我进步我进步已知:如图,在ABCD中,对角线ACBD.求证:四边形ABCD是菱形.w分析:要证明ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即可.w证明:AO=CO.ACBD,DA=DC.四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD是菱形.DBCAO正方形的判定正方形的判定 我思我思,我
26、进步我进步w定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.w求证:四边形ABCD是正方形.w分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可.w证明:ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.ACBD,四边形ABCD是菱形.ABC=900.四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,且ACBD.ABCDO正方形的判定正方形的判定 我思我思,我进步我进步w定理:有一个角是直角的菱形是正方形.w求证:四边形ABCD是正方形.w分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.w证明:A
27、B=BC,C=A=900,B=1800-A=900.A=B=C=900.四边形ABCD是矩形.四边形ABCD是菱形,A=900,AB=BC,四边形ABCD是正方形.w已知:四边形ABCD是菱形,A=900.ABCD正方形的判定正方形的判定 我思我思,我进步我进步w定理:对角线相等的菱形是正方形.w求证:四边形ABCD是正方形.w分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可.w证明:AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.AC=BD,四边形ABCD是矩形.AB=BC,四边形ABCD是菱形,四边形ABCD是正方形.w已知:四边形ABCD是菱形,
28、且对角线AC=BD.ABCDO正方形的判定正方形的判定 我思我思,我进步我进步w定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.w求证:四边形ABCD是正方形.w分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可.w证明:ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.ACBD,四边形ABCD是菱形.ABC=900.四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,且ACBD.ABCDO等腰梯形的等腰梯形的判定判定定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,ADBC,A=D或B=C,AB=DC.定理:两
29、条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,ADBC,AC=DB.AB=DC.BDCABDCAw证明后的结论,以后可以直接运用.回顾 思考探索一个梯形具备哪些条件才能成为等腰梯形探索一个梯形具备哪些条件才能成为等腰梯形 1.定理同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形定理同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 已知：如图20.3.10，在梯形ABCD中，ADBC，BC 求证：四边形ABCD是等腰梯形 证明过点D作DEAB，交BC于E，则 BDEC（两直线平行，同位角相等）因为BC，所以DECC，DEDC（等角对等边）因为ADBC，DEAB，所以四边形ABED是平行四边形（平行四边形的
30、定义），所以ABDE（平行四边形的对边相等）因此 ABDC，即四边形ABCD是等腰梯形图20.3.10 探索对角线相等的梯形是等腰梯形.2.定理两条对角线相等的梯形是等腰梯形定理两条对角线相等的梯形是等腰梯形 已知：如图，在梯形ABCD中.AC=BD.求证：ABCD是等腰梯形.证明：过D作DEAC，交BC延长线于E.(由学生完成证明)演示演示举例举例 在平行四边形在平行四边形ABCD中中,已知点已知点E和和点点F分别在分别在AD和和BC上上,且且AE=CF,连结连结CE和和AF,试说明四边形试说明四边形AFCE是平行四边形是平行四边形.ABCDEFABCDEF解解:由于平行四边形对边平行由于平行四边形对边平行,可得可得ADBC即即 AECF又又 AE=CF一组对边平行且相等的一组对边平行且相等的四边形是平行四边形四边形是平行四边形所以所以,四边形四边形AFCE是平行四边形是平行四边形
