1、 第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础3-1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述3-2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律3-3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒刚体是特殊的质点系刚体是特殊的质点系，其上各质元间的相对位置保持不变。，其上各质元间的相对位置保持不变。刚体（刚体（rigid body）（或任意两点之间的距离始终保持不变）（或任意两点之间的距离始终保持不变）任何情况下形状和体积都不改变的物体（任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化的模型理想化的模型）。）
2、。在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的理想模型。变的理想模型。刚体的运动形式：刚体的运动形式：平动、转动平动、转动一一 平动平动：刚体在运动中，其上任意两点的刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。连线始终保持平行。)()(1212ttrrrrrdtrdtrttrttrvtt 00lim)()(lim220lim)(dtrddtvdtvtatkzj yixr 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动二二 转动：转动：对对点点、对、对轴轴（只讨论（只讨论定轴转动定轴转动）定轴转动定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心：各质元均作圆
3、周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。都在一条固定不动的直线（转轴）上。各各质元的线速度、加速度一般不同，质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。描述刚体整体的运动用角量最方便。转轴转轴 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+刚体的平面运动刚体的平面运动.角速度方向规定为沿轴方向，角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。指向用右手螺旋法则确定。rv vr加速转动加速转动 方向一致方向一致减速转动减速转动 方向相反方向相反dtd 22dt
4、ddtd dtd 在刚体作在刚体作匀变速匀变速转动时，相应公式转动时，相应公式:、本来是矢量，由于在定轴转动中轴的本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位不变，故只有沿轴的正负两个方向，方位不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代替。可以用标量代替。at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt线量线量速度、加速度速度、加速度角量角量角速度、角加速度角速度、角加速度22sRRvaRdtdRdtdvaRdtdRdtdvn角量与线量的关系角量与线量的关系 vr例例 有高速旋转圆柱形转子可绕垂直有高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动开始时，它
5、的其横截面通过中心的轴转动开始时，它的角速度角速度 ，经，经300 s 后，其转速达到后，其转速达到 18 000 rmin-1 转子的角加速度与时间成正转子的角加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转过多少转？比问在这段时间内，转子转过多少转？00解解 令令 ，即，即 ，积分，积分 ctcttddtttc00dd得得221ct当当 t=300 s 时时11srad600minr00018753006002222tc2215021tct221ct由由2150ddtt得得tttd150d020在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数43103)300(45022Nrad4503t3.2
6、.1 力矩力矩 1、力对固定点的力矩、力对固定点的力矩 1）定义：作用于质点的力对）定义：作用于质点的力对惯性系中某参考点的力矩，惯性系中某参考点的力矩，等于力的作用点对该点的位等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即矢与力的矢积，即FrM2）力矩的单位：牛）力矩的单位：牛米米(Nm)力矩是矢量，力矩是矢量，的方向垂直于的方向垂直于 和和 所决定所决定的平面，其指向用右手螺旋法则确定。的平面，其指向用右手螺旋法则确定。MrFmo FrMFrMzyxFFFzyxkjiMyzxzFyFMzxyxFzFMxyzyFxFM 3）力矩的计算：）力矩的计算：M 的大小、方向均与参考点的选择有关的大小、方向
7、均与参考点的选择有关sinFrM 在直角坐标系中，其表示式为在直角坐标系中，其表示式为)()(kFjFiFkzjyixzyxkyFxFjxFzFizFyFxyzxyz)()()(kMjMiMzyx力矩在力矩在 x,y,z 轴的分量式，称力对轴的力矩。轴的分量式，称力对轴的力矩。如上面所列如上面所列x,My,Mz,即为力对即为力对轴、轴、轴、轴、轴的力矩。轴的力矩。2 2、力对轴的力矩：、力对轴的力矩：sinMrFrF rFzOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMzzFF （1）若力若力 不在转动平面内，把力分不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量解为平行和垂直于转轴
8、方向的两个分量 F 其中其中 对转轴的对转轴的力矩为零，故力矩为零，故 对转对转轴的力矩轴的力矩zFFO（2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM （3）刚体内刚体内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相抵消互相抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiMOrmz2.2.转动定律转动定律FtFnFrFMsinmrmaFttM （1 1）单个质点）单个质点 与转轴刚性连接与转轴刚性连接m2mrM trF（2 2）刚体转动定律刚体转动定律dmddafF 和和 为合外力和合内力为合外力和合内力FdfddmadfdFdmadfdFnnndmrrdfrd
9、F2将切向分量式两边同乘以将切向分量式两边同乘以r，变换得变换得ZMdf dFO rdFd dm dFn转动平面转动平面 z分解为作用在质量元分解为作用在质量元dm上的上的切向力切向力和和法向力法向力：对等式对等式左边左边积分得积分得:MFdsinr0rdFrdfrdF 角加速度对所有质量元都相等角加速度对所有质量元都相等于是有于是有JM所以所以Jdmrdmrmm)(22其中其中mdmrJ2写成矢量形式写成矢量形式dtdJJM刚体绕定轴刚体绕定轴Z的的转动惯量转动惯量(moment of inertia)对等式对等式右边右边积分积分:dmrrdfrdF2刚体的转动定律刚体的转动定律dtdJJM
10、niiz1刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。成反比。JMm反映质点的反映质点的平动惯性平动惯性，J反映刚体的反映刚体的转动惯性转动惯性。力矩力矩是使刚体是使刚体转动状态转动状态发发生生改变改变而产生而产生角加速度角加速度的原的原因。因。MJ 与与地位相当地位相当amF 质点系的转动惯量质点系的转动惯量(2)(2)单位为单位为:千克千克米米2（kgm2）3、转动惯量的计算、转动惯量的计算(1)与转动惯量有关的与
11、转动惯量有关的因素因素：转轴的位置、刚体质量及其分布情况。转轴的位置、刚体质量及其分布情况。2mrJ niiirmJ12)(单个质点的转动惯量单个质点的转动惯量质量连续分布的质量连续分布的刚体的转动惯量刚体的转动惯量mdmrJ2(3)转动惯量具有可加性转动惯量具有可加性dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中、分别分别为质量的线密度、为质量的线密度、面密度和体密度。面密度和体密度。线分布线分布体分布体分布面分布面分布注注意意只有对于只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体
12、的转动惯量。的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。例例1、求质量为、求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动惯量。的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解解:dmrJ2若为薄圆筒（不计厚度）结果若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。相同。ROdm222mRdmRdmR 例例2、求质量为、求质量为m、半径为半径为R、厚为厚为l 的均匀圆盘的转的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环,dVdm drlrdmrdJ322 ZORlRdrlrdJJR403212可见，转
13、动惯量与可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是转动惯量也是mR2/2。2221mRJlRmlrdr 2例例3、求长为、求长为L、质量为质量为m的均匀细棒对图中不同轴的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm=dxdmrJC2dmrJA23202/mLdxxL 122222/mLdxxLL 轴轴球体球体(轴沿任一直径轴沿任一直径)Rl细棒细棒(转动轴通过中心与棒垂直转动轴通过中心与棒垂直)轴轴212mlJ 几种刚体的转动惯量几种刚体的转动惯量R轴轴圆柱体圆柱体(轴沿几何轴轴沿几何轴
14、)22mRJ 轴轴圆柱体圆柱体(轴沿几何轴轴沿几何轴)R2JmR225mRJ 2R1R轴轴圆筒圆筒(轴沿几何轴轴沿几何轴)22122mJRRl细棒细棒(轴通过棒的一端轴通过棒的一端)轴轴23mlJ 平行轴定理平行轴定理前例中前例中JC表示表示相对通过质心的轴的转动惯量相对通过质心的轴的转动惯量，JA表表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：可见：222231411212mLmLmLLmJJCA推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为距为d，刚体对其转动惯量为刚体对其转动惯量为J，
15、则有：则有：JJCmd2。这个结论称为这个结论称为平行轴定理平行轴定理。3/2mLJA12/2mLJC练习练习：右图所示，刚体对经过：右图所示，刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？量如何计算？(棒长为棒长为L、球球半径为半径为R）2131LmJLL252RmJoo2002002)(RLmJdmJJL222)(5231RLmRmLmJooLLmOm对过球对过球心的轴心的轴刚体定轴转动的转动定律的应用刚体定轴转动的转动定律的应用例例1、一个质量为、一个质量为M、半径为、半径为R的定滑的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端
16、固定在滑轮边上，另一端挂绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为一质量为m的物体而下垂。忽略轴处的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体摩擦，求物体m由静止下落高度由静止下落高度h时时的速度和此时滑轮的角速度。的速度和此时滑轮的角速度。mgMmmghRRv 241 242Mmmghahv gMmma2 解解方方程程得得：mg解：解：RamaTmgm :对对221 MRJJTRMM：对圆盘以圆盘以 0 0 在桌面上转动在桌面上转动,受摩擦力而静止受摩擦力而静止解解rdr2sdmd mdgrf drMd mgRMMR32d0tJMddtmRmgRdd21322d43d000gRttgRt430例例2 2
17、求求 到圆盘静止所需到圆盘静止所需时间时间取一质元取一质元由转动定律由转动定律摩擦力矩摩擦力矩R例例3.4 转动着的飞轮的转动惯量为转动着的飞轮的转动惯量为I，在，在t0时角速度为时角速度为 。此后飞轮经历制动过程，阻力矩此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度的大小与角速度的平方成的平方成正比，比例系数为正比，比例系数为k(k为大于零的常数为大于零的常数)，当，当 时，飞时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？00/3解：解：(1)由题知由题知 ，故由转动定律有，故由转动定律有 2Mk 2kI2kI 将将 代入，求
18、得这时飞轮的角加速度为代入，求得这时飞轮的角加速度为013209kI 故当故当 时，制动经历的时间为时，制动经历的时间为 。01302Itk(2)为求经历的时间为求经历的时间t，将转动定律写成微分方程的形式，即，将转动定律写成微分方程的形式，即dMIIdt2dkIdt分离变量，并考虑到分离变量，并考虑到t0时，时，两边积分，两边积分0001320tdkdtI 力力的空间累积效应：的空间累积效应：力的功、动能、动能定理力的功、动能、动能定理力矩力矩的空间累积效应：的空间累积效应：力矩的功、转动动能、动能定理力矩的功、转动动能、动能定理四、四、力矩的功力矩的功 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理
19、 dMdrFdsFdAiiiiii 式中式中sincosiiiFFiiirFM对对i求和，得：求和，得：MddMdAi )(dMdAA21力矩的功率为：力矩的功率为：MdtdMdtdAP 当输出功率一定时当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。力矩与角速度成反比。Oi iFirird d比较比较：221 mvEk 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理1、转动动能、转动动能212221)(2121 niiiiniikrmrmE221 JEk 刚体绕定轴转动时刚体绕定轴转动时转动动能转动动能等于刚体的等于刚体的转动惯量转动惯量与与角速度角速度平方乘积的一半。平方乘积的一半。2222121 iiiik
20、irmvmE221 J2、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理MddA2121dJdMdAAdJdJddtdJM设在外力矩设在外力矩 M M 的作用下，的作用下，刚体绕定轴发生角位移刚体绕定轴发生角位移d d 元功：元功：2122212121JJdM 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。转动动能的增量。刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理2121dJdMdAA例例3 3、一根长为、一根长为l、质量为质量为m的均匀细直棒，其一端的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖
21、直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时角时的角加速度和角速度。的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力矩为重力对O的力矩。的力矩。棒棒上取质元上取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，该该质量元的重力对轴质量元的重力对轴的元力矩为的元力矩为 Ogdmdmldl dlglgdmldMcoscos重力对整个棒的合力矩为重力对整个棒的合力矩为 coscosmgLgL2122 LgmLmgLJM2cos331cos212 LdlgldMM0 cos Ogdmdmldl dlglgdmldM cosc
22、os 代入转动定律，可得代入转动定律，可得 cos21 mglM代代入入2021cos21JdmgL221sin21JmgLLgJmgLsin3sin 2121212221JJMd231mLJ 例例4已知：如图示，已知：如图示，4/lAO 。轴轴OCABl,ml/4求：求：杆下摆到杆下摆到 角时，角时，解：解：（杆（杆+地球）系统地球）系统，0sin4212 lmgJO(1)222487)4(121mllmmlJO (2)(1)、(2)解得：解得：lg7sin62 只有重力作功，只有重力作功，E守恒。守恒。?角速度角速度均匀直杆质量为均匀直杆质量为m，长为长为l，初始水平静止。初始水平静止。轴
23、光滑，轴光滑，12222221211221111 22222m gxm gxm g xmvm vII由于由于 ，可解得，可解得2211221112221122vRRIM RIM R，例例3.6 如图所示，物体的质量为如图所示，物体的质量为 ，且，且 。圆。圆盘状定滑轮的质量为盘状定滑轮的质量为 和和 ，半径为，半径为 ，质量均匀分，质量均匀分布。绳轻且不可伸长，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑。布。绳轻且不可伸长，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑。试求当试求当 下降了下降了x 距离时两物体的速度和加速度。距离时两物体的速度和加速度。1m2m1M2M2R1R1m2m1m解：以两物体、两滑轮、地球
24、成解：以两物体、两滑轮、地球成为一系统，为一系统，故，故机械能守恒。以机械能守恒。以 下降下降x时的位时的位置为重力势能零点，则有置为重力势能零点，则有00AA外内非，1m1212122()2()mmgammMM122121242mmgxvmmMM由于运动过程中物体所受合力为由于运动过程中物体所受合力为恒力，所以加速度恒力，所以加速度 a 为常数，且为常数，且 ，故有，故有22vax 力力的时间累积效应：的时间累积效应：冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理 力矩力矩的时间累积效应：的时间累积效应：冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理vm角动量的引入：角动量的引入：vm在质点
25、的匀速圆周运动中，在质点的匀速圆周运动中，动量动量 不守恒，但不守恒，但mvrmv常数常数vmvmrL 在描述行星的轨道运动，自转运动，卫星的轨道运在描述行星的轨道运动，自转运动，卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。因此必须引入一动及微观粒子的运动中都具有独特作用。因此必须引入一个新的物理量个新的物理量角动量角动量 来描述这一现象。来描述这一现象。vmrL1、质点的角动量、质点的角动量L质点相对质点相对O点的矢径点的矢径 与质点与质点的动量的动量 的矢积定义为该时的矢积定义为该时刻刻质点相对于质点相对于O点的角动量点的角动量，用用 表示。表示。rvmLvmrL sinrmvL 右手
26、定则右手定则O dvm r角动量的单位是：千克角动量的单位是：千克米米2秒秒-1(kgm2s-1)。yzxzpypL zxyxpzpL xyzypxpL zyxmvmvmvzyxkjiL在直角坐标系中在直角坐标系中 kzjyixrkmvjmvimvvmzyx质点匀速率圆周运动时质点匀速率圆周运动时RL mO质点对质点对O点的角动量（的大小）点的角动量（的大小）角动量的大小、方向均不变！角动量的大小、方向均不变！2mrrmvL注意：注意：同一质点相对于不同同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。的点，角动量可以不同。在说明质点的角动量时，必在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。须指明是
27、对哪个点而言的。)(vmrprLzprOL平面平面 z 轴轴 OLr 是相对量：是相对量：与参照系的选择有关，与参照系的选择有关，与参考点的选与参考点的选 择有关。择有关。Lmvrrvmxyz质点对轴的角动量质点对轴的角动量sinzLrmvsinzLrmv 质点动量不在转动平面内，只质点动量不在转动平面内，只需考虑动量在转动平面内的分量。需考虑动量在转动平面内的分量。假定质点的动量就在转动平面内，且质点对轴的矢径为假定质点的动量就在转动平面内，且质点对轴的矢径为 ，则质点对则质点对z 轴的角动量为轴的角动量为 ，方向沿，方向沿 z 轴，可正可负轴，可正可负vmrLzrrvmzLmvr mvrm
28、vLmvmvzLxLzLrmv2、质点的角动量定理、质点的角动量定理vmrL )(vmrdtddtLd vmdtrddtvmdr )(dtvmdF)(dtrdvvmvFrdtLdMdtLd 120 LLdtMtt 作用在质点上的力矩等于角动量对时间的变化率。作用在质点上的力矩等于角动量对时间的变化率。外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。角动量定理的角动量定理的微分形式微分形式角动量定理的角动量定理的积分形式积分形式0 vmvMFr vmvFrdtLddtLdM 0 M若若常常矢矢量量 vmrL3 3、质点角动量守恒定律、质点角动量守恒
29、定律 质点质点所受外力所受外力对固定点的力矩为零对固定点的力矩为零，则质点，则质点对该固定点的角动量守恒。对该固定点的角动量守恒。质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律。120 LLdtMtt 例例5、如图所示，在光滑水平面上有一个小球系在、如图所示，在光滑水平面上有一个小球系在一条细绳的一端，该细绳通过平面上的小孔向下拉。一条细绳的一端，该细绳通过平面上的小孔向下拉。初始时刻小球在平面上作半径为初始时刻小球在平面上作半径为R的圆周运动，速的圆周运动，速度为度为v0，当下拉细绳使小球以半径当下拉细绳使小球以半径R/2作圆周运动作圆周运动时，其速度是多大？时，其速度是多大？F Fv0R解：先作
30、受力分析：解：先作受力分析：通过受力分析，在根据力通过受力分析，在根据力矩的计算公式，我们知道：矩的计算公式，我们知道：如果以质点运动的圆心作如果以质点运动的圆心作为参考点，则合力矩为零为参考点，则合力矩为零则质点运动时，对以圆心为参考点的角动量则质点运动时，对以圆心为参考点的角动量是守恒的。是守恒的。000sinmRvmRvL初始角动量：2sin2mRvvRmL末角动量：002vvLL得：例题例题6、已知一颗卫星运行时的近地点距离地心、已知一颗卫星运行时的近地点距离地心7000公里，速度为公里，速度为9公里公里/秒。试求卫星的远地点距离地秒。试求卫星的远地点距离地心的距离及其在该点处的速度。
31、设地球的质量为已心的距离及其在该点处的速度。设地球的质量为已知。知。解：受力分析可知：解：受力分析可知：若以地心为参考点，若以地心为参考点，卫星在整个椭圆轨道卫星在整个椭圆轨道上运动时角动量都是上运动时角动量都是守恒的。即卫星在近守恒的。即卫星在近地点处相对于地心的地点处相对于地心的角动量等于在远地点角动量等于在远地点处相对于地心的角动处相对于地心的角动量。量。另外，在卫星从近地点运动到远地点的过程中，另外，在卫星从近地点运动到远地点的过程中，机械能守恒，于是我们有：机械能守恒，于是我们有：RmMGmvmMGmv26202110721联立求解上述方程组即可求出联立求解上述方程组即可求出R和和v
32、。设卫星在远地点处距离地心设卫星在远地点处距离地心R，速度为速度为v，则有：则有：mRvm3610910701()mvmM v在由在由AB的过程中，子弹、木块系统机械能守恒的过程中，子弹、木块系统机械能守恒 例例3.7在光滑的水平桌面上，放有质量为在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块，木块与一的木块，木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点，弹簧的劲度系数为点，弹簧的劲度系数为k，设有一质量为设有一质量为m 的子弹以初速的子弹以初速 垂直于垂直于OA射向射向M并嵌在木块并嵌在木块内，如图所示。弹簧原长内，如图所示。弹簧原长 ，子弹击中木块后，木块，子弹击中木块后，
33、木块 M 运动运动到到B点时刻，弹簧长度变为点时刻，弹簧长度变为l，此时，此时OB垂直于垂直于OA，求在，求在B点时点时木块的运动速度木块的运动速度 。0v0l2v解：击中瞬间，在水平面内，子解：击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成的系统沿弹与木块组成的系统沿 方向动方向动量守恒，即有量守恒，即有0v222120111()()()222mM vmM vk ll由由、式联立求得式联立求得 的大小为的大小为2v2220202()()k llmvvmMmM由由式求得式求得 与与OB的夹角为的夹角为2v0022200arcsin()()l mvl m vk llmM在由在由AB的过程中木块在水平面内只
34、受指向的过程中木块在水平面内只受指向O点的弹性有心力，点的弹性有心力，故木块对故木块对O点的角动量守恒，设点的角动量守恒，设 与与OB方向成方向成角，则角，则2v 012()()sin 3l mM vl mM v4、质点系的角动量定理、质点系的角动量定理1、质点系对固定点的角动量定理、质点系对固定点的角动量定理对由对由n个质点组成的质点系中第个质点组成的质点系中第i个质点，有：个质点，有：)()(11iiinjjiiivmrdtdfFr 外外质点质点i受力受力对对i求和有：求和有：)(11111iiinininjjiiniivmrdtdfrFr 外外因内力成对出现故该项为零因内力成对出现故该项
35、为零dtLdM )(11iiiniiniivmrdtdFr 外外得：得：作用于质点系的作用于质点系的外力矩的矢量和外力矩的矢量和等于等于质点系质点系角动量对时间的变化率。角动量对时间的变化率。质点系对固定点的质点系对固定点的角动量定理角动量定理2、质点系对轴的角动量定理、质点系对轴的角动量定理)sin(11iiiininiizvmrdtdM )(121 niiiniizrmdtdMdtdLJdtdMzniiz)(1 iirv 2 i因因有：有：质点系内各质点均在各自的转动平面内绕同一轴转动质点系内各质点均在各自的转动平面内绕同一轴转动转动惯量转动惯量J i iivimirO)sin(iiiii
36、zvmrdtdM000)(JJdLdtMLLzttz 定轴转动刚体的角动量的增量等于定轴转动刚体的角动量的增量等于合外力矩对冲量矩。合外力矩对冲量矩。0 zM若若3、刚体组对轴的角动量守恒定律、刚体组对轴的角动量守恒定律0 JJ有 外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒。同一轴的角动量守恒。对轴的角动量守恒定律对轴的角动量守恒定律dtdLJdtdMzniiz)(1冲量矩冲量矩角动量守恒定律的两种情况角动量守恒定律的两种情况：1、转动惯量保持不变转动惯量保持不变的刚体的刚体00,0则时，当JJM例：回转仪例：回转仪2、转动惯量可变转动惯量可变的
37、物体的物体保持不变就增大，从而减小时，当就减小；增大时，当JJJ例：旋转的舞蹈演员例：旋转的舞蹈演员当当变形体所受合外力矩为零时，变形体的变形体所受合外力矩为零时，变形体的角动量也守恒角动量也守恒常量J J如：花样滑冰如：花样滑冰 跳水跳水 芭蕾舞等芭蕾舞等J 克服直升飞机机身反转的措施：克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大装置尾浆推动大气产生克服机身气产生克服机身反转的力矩反转的力矩装置反向转动的双装置反向转动的双旋翼产生反向角动旋翼产生反向角动量而相互抵消量而相互抵消竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？质
38、点与刚体力学规律对照表质点与刚体力学规律对照表力力质量质量m牛顿第二定律牛顿第二定律FamF力矩力矩转动惯量转动惯量转动定律转动定律JM dmrJ2FrM动量动量 冲量冲量动量定理动量定理动量守恒定律动量守恒定律 0iF0vmvmdtF dtFvm常矢iivm角动量角动量 冲量矩冲量矩角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律JL dtM00JJdtM0M 常矢iiJ质点与刚体力学规律对照表质点与刚体力学规律对照表平动动能平动动能221mv力的功力的功bardFA动能定理动能定理2022121mvmvA功能原理功能原理初末内非保守力外力EEAA转动动能转动动能221J力矩的功力矩的功0d
39、MA动能定理动能定理2022121JJA功能原理功能原理初末内非保守力矩外力矩EEAA.o 例题例题7 两个同样的子弹对称地同时射入转盘中，两个同样的子弹对称地同时射入转盘中，则盘的角速度将则盘的角速度将 。(填：增大、减小或不变填：增大、减小或不变)减小减小例例8 一根长为一根长为l的轻质杆，端部固结一小球的轻质杆，端部固结一小球m1，碰撞时重力和轴力都通过碰撞时重力和轴力都通过O，2222102lmlllmml vlmmm021242v 解：解：选选m1（含杆）含杆）+m2为系统为系统另一小球另一小球m2以水平速度以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。碰杆中部并与杆粘合。求：碰撞后杆的角速度求
40、：碰撞后杆的角速度对对O 力矩为零，故角动量守恒。力矩为零，故角动量守恒。lm1Ov0m2 解得：解得：有有 m:mg-T2=ma a=R 1=r 2,2=2ah求解联立方程，代入数据，可得求解联立方程，代入数据，可得 =2m/s,T1=48N,T2=58N。m1:T1R=J=m1R2 1 2121m2:T2r-T1r=m2r2 2 例题例题9 质量质量m1=24kg的匀质圆盘可绕水平光滑轴的匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，一轻绳缠绕于盘上，另一端通过质量为转动，一轻绳缠绕于盘上，另一端通过质量为m2=5kg的具有水平光滑轴的圆盘形定滑轮后挂有的具有水平光滑轴的圆盘形定滑轮后挂有m=10kg的物体
41、，如图所示。求当物体的物体，如图所示。求当物体m由静止开始由静止开始下落了下落了h=0.5m时，物体时，物体m的速度及的速度及 绳中的张力。绳中的张力。解解 各物体受力情况如图所示。各物体受力情况如图所示。T1T1m1R1T2m22rmgm解：以飞轮解：以飞轮A，B，啮合器，啮合器C为系统。在啮合过程中，为系统。在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和系统受到轴向的正压力和啮合器之间的切向摩擦力。啮合器之间的切向摩擦力。前者对轴的力矩为零，后前者对轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统所受合统的内力矩。系统所受合外力矩为零，所以系统的外力矩为零，所以系统的角动
42、量守恒。即角动量守恒。即为两轮啮合后的共同角速度为两轮啮合后的共同角速度AAABJJJ例例3.9在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，起转动。如图所示，A 和和B 两飞轮的轴杆在同一中心线上。两飞轮的轴杆在同一中心线上。A 轮的轮的转动惯量为转动惯量为 ，B轮的转动惯量为轮的转动惯量为 ，开，开始时始时A轮每分钟的转速为轮每分钟的转速为600转，转，B轮静止，轮静止，C为摩擦啮合器。求两为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速，在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？轮啮合后的转速，在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？210A
43、Jkg m220BJkg m()AAABJJJ把各量代入上式，得把各量代入上式，得20.9 rad/s。在啮合过程中，摩擦力矩作功，机械能不守恒，损失的机械能转化在啮合过程中，摩擦力矩作功，机械能不守恒，损失的机械能转化为内能，为内能，22411()1.32 1022AAABEJJJJ解：此题可分为三个简单过程：解：此题可分为三个简单过程：(1)棒由水平位置下摆至竖直位置但尚未与物块相碰，此过程棒由水平位置下摆至竖直位置但尚未与物块相碰，此过程机械能守恒。以棒、地球为一系统，以棒的重心在竖直位置时机械能守恒。以棒、地球为一系统，以棒的重心在竖直位置时为重力势能零点，则有为重力势能零点，则有例例
44、3.10如图，质量为如图，质量为m，长为，长为l 的均匀细棒，可绕过其一端的水平的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴轴O转动。现将棒拉到水平位置转动。现将棒拉到水平位置(OA)后放手，棒下摆到竖直位置后放手，棒下摆到竖直位置(OA)时，与静止放置在水平面时，与静止放置在水平面A处的质量为处的质量为M的物块作完全弹性碰撞，物的物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一段距离体在水平面上向右滑行了一段距离 s 后停止。设物体与水平后停止。设物体与水平 面间的面间的摩擦系数摩擦系数处处相同，求证处处相同，求证226(3)m lmMs22211226lmgJml(2)棒与物块作完全弹性碰撞，此过程角动
45、量守恒棒与物块作完全弹性碰撞，此过程角动量守恒(并非动量并非动量守恒守恒)和机械能守恒，设碰撞后棒的角速度为和机械能守恒，设碰撞后棒的角速度为，物块速度，物块速度为为v，则有，则有(3)碰撞后物块在水平面滑行，其满足动能定理碰撞后物块在水平面滑行，其满足动能定理221133mlmllMv222221111123232mlmlMv 2102mgsMv联立以上四式，即可证得：联立以上四式，即可证得：226(3)m lmMs 解解 (1)系统系统(圆盘圆盘+人人)什么什么量守恒？量守恒？系统角动量守恒：系统角动量守恒：盘J上式正确吗？上式正确吗？例题例题 10 匀质园盘匀质园盘(m、R)与一人与一人
46、(,视为质视为质 点点)一起以角速度一起以角速度 o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动转动,如图所示如图所示。如果此人相对于盘以速率。如果此人相对于盘以速率、沿沿半径为半径为 的园周运动的园周运动(方向与盘转动方向相反方向与盘转动方向相反),求求:2R10m (1)圆盘对地的角速度圆盘对地的角速度;(2)欲使园盘对地静止，人相对欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方向？园盘的速度大小和方向？oJJ)(人盘 o2/R 2Rm 错！因为错！因为角动量守恒定律角动量守恒定律只适用于惯性系。只适用于惯性系。所以应代入人相对于惯性所以应代入人相对于惯性系系(地面地面)的角动量。的角动量。盘JoJJ)(人盘2Rm人对地=人对盘+盘对地人对地=o2/R R2+盘JoJJ)(人盘人对地人J正确的角动量守恒式子是：正确的角动量守恒式子是：oRmmR)21(102122)2()2(102RRm解解出：出：Ro212(2)欲使盘静止，可令欲使盘静止，可令0212Ro得得oR221式中式中负号表示人的运动方向与负号表示人的运动方向与盘的初始转动盘的初始转动(o)方向一致。方向一致。221mR盘JoJJ)(人盘人对地人J o2/R 人对地=R2+
