1、第一节 变形体动力学问题概述变形体动力学问题在工程和科学问题中非常普遍。该类变形体动力学问题在工程和科学问题中非常普遍。该类问题由随时间变化的载荷或边界条件产生。问题由随时间变化的载荷或边界条件产生。这类动力学问题涉及的对象包括各种机械零部件、工程这类动力学问题涉及的对象包括各种机械零部件、工程结构、弹性介质。结构、弹性介质。根据问题的特点和载荷及受力体的动态特性，一般意根据问题的特点和载荷及受力体的动态特性，一般意义上的变形体动力学问题按如下三个途径处理。义上的变形体动力学问题按如下三个途径处理。v 指边界条件和指边界条件和/或体力变化缓慢，或者物体内加速度分或体力变化缓慢，或者物体内加速度
2、分布均匀等类型的问题。这类变形体问题的平衡微分方程布均匀等类型的问题。这类变形体问题的平衡微分方程中忽略了惯性项，但载荷是时间的函数。在某时刻中忽略了惯性项，但载荷是时间的函数。在某时刻t t，采用动静法将整体惯性力转化为体力，或者忽略惯性力。采用动静法将整体惯性力转化为体力，或者忽略惯性力。对应此刻载荷的静力学解作为对应此刻载荷的静力学解作为t t时刻的解。工程上可取时刻的解。工程上可取随时间变化载荷的最大值的静力学解作为问题的准静态随时间变化载荷的最大值的静力学解作为问题的准静态解。解。v 尽管这种静态情况在实际上并不存在，但作为一种基本尽管这种静态情况在实际上并不存在，但作为一种基本力学
3、模型，在工程实践上具有重要意义。很多实际问题力学模型，在工程实践上具有重要意义。很多实际问题可近似归入准静态问题，而满足工程上的精度要求。可近似归入准静态问题，而满足工程上的精度要求。1)1)准静态问题准静态问题v 通过这种近似处理，可以避免大量的动力学模型解算，通过这种近似处理，可以避免大量的动力学模型解算，而在有限的计算机资源下，可把实际问题的模型在准静而在有限的计算机资源下，可把实际问题的模型在准静态假设前提下考虑得更细致、更实用。在许多情况下，态假设前提下考虑得更细致、更实用。在许多情况下，由此带来的对实际情况的逼近将大大抵消由于准静态假由此带来的对实际情况的逼近将大大抵消由于准静态假
4、设产生的误差。设产生的误差。v 至于哪些问题可作准静态来处理，需要综合考虑分析目至于哪些问题可作准静态来处理，需要综合考虑分析目的与精度要求，构件的尺度和动态特性（固有振动周的与精度要求，构件的尺度和动态特性（固有振动周期），载荷的特性（上升前沿和作用时间），计算机资期），载荷的特性（上升前沿和作用时间），计算机资源情况等。源情况等。2)结构动力学问题结构动力学问题v 该领域研究下列问题：弹性结构（系统）的自由振动该领域研究下列问题：弹性结构（系统）的自由振动特性（频率和振型）分析；瞬态响应分析；频率响应特性（频率和振型）分析；瞬态响应分析；频率响应分析；响应谱分析等。分析；响应谱分析等。v
5、就结构的瞬态响应分析而言，典型的有结构在冲击载就结构的瞬态响应分析而言，典型的有结构在冲击载荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是，荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是，载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近，远大载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近，远大于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作用随时间剧烈变化的载荷。用随时间剧烈变化的载荷。v 结构动力学问题在工程中具有普遍性。结构动力学问题在工程中具有普遍性。3)弹塑性动力学问题弹塑性动力学问题v 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。这是连续介质变形体动力学问
6、题的另一个重要领域。涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击，涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击，人工地震勘探，无损探伤等。人工地震勘探，无损探伤等。v 这类问题的研究要深入到介质中的弹塑性波的传播过这类问题的研究要深入到介质中的弹塑性波的传播过程以及考虑波动效应前提下介质中应力应变的响应。程以及考虑波动效应前提下介质中应力应变的响应。v 这类问题中载荷的特点是构件上载荷作用前沿时间远这类问题中载荷的特点是构件上载荷作用前沿时间远少于应力波在构件中的传播时间。该状态通常由构件少于应力波在构件中的传播时间。该状态通常由构件高速碰撞或爆炸载荷产生。高速碰撞或爆炸载荷产生。对于上述后两
7、类问题，描述质点平衡和运动的微分方程对于上述后两类问题，描述质点平衡和运动的微分方程相同，包含惯性力项和阻尼力项。其数值求解方法主要相同，包含惯性力项和阻尼力项。其数值求解方法主要是有限元法。是有限元法。aNue),(),(),(tzyxwtzyxvtzyxuuaaaane21),2,1()()()(nitwtvtuiiiia在连续介质的动力学问题中，描述力学参量的坐标是在连续介质的动力学问题中，描述力学参量的坐标是四维：四维：3 3个空间坐标和一个时间坐标。进行有限元法求个空间坐标和一个时间坐标。进行有限元法求解时，只对空间区域进行离散化，得到离散多自由度解时，只对空间区域进行离散化，得到离
8、散多自由度系统的动力学模型。系统的动力学模型。其有限元法步骤与静力学问题相同。只是在单元上对其有限元法步骤与静力学问题相同。只是在单元上对随时间变化的节点位移进行插值，得到单元内随时间随时间变化的节点位移进行插值，得到单元内随时间变化的假设位移场：变化的假设位移场：为建立有限元动力学响应控制方程，利用达朗倍尔原为建立有限元动力学响应控制方程，利用达朗倍尔原理，在每个时刻理，在每个时刻 t t，将连续介质中质点加上惯性力将连续介质中质点加上惯性力 和阻尼力和阻尼力 ，则系统的动力学问题转化为等效静，则系统的动力学问题转化为等效静力学问题。对等效系统应用虚功原理：力学问题。对等效系统应用虚功原理：
9、u u dSdVdVTuuufuSTVTVT)()()()()(tQtaKtaCtaM 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离散系统控制方程散系统控制方程结构有限元动力学方程：结构有限元动力学方程：方程中的系数矩阵分别为：系统质量矩阵，阻尼方程中的系数矩阵分别为：系统质量矩阵，阻尼矩阵，整体刚度矩阵。右端项为整体节点载荷向量。矩阵，整体刚度矩阵。右端项为整体节点载荷向量。上述矩阵由相应的单元矩阵组集而成：上述矩阵由相应的单元矩阵组集而成：其中
10、：其中：eeeeQQCCKKMMdSdVdVdVdVeeeeeSTVTeVTeVTeVTeTNfNQNNCBDBKNNM)()()(tQtaKtaM 如果忽略阻尼，则结构动力学方程简化为：如果忽略阻尼，则结构动力学方程简化为：上式动力学方程的右端项为零时就得到结构自由振动方上式动力学方程的右端项为零时就得到结构自由振动方程。程。从动力学方程导出过程可以看出，动力学问题的有限元从动力学方程导出过程可以看出，动力学问题的有限元分析中，由于平衡方程中出现了惯性力和阻尼力，从而分析中，由于平衡方程中出现了惯性力和阻尼力，从而引入了质量矩阵和阻尼矩阵，运动方程是耦合的二阶常引入了质量矩阵和阻尼矩阵，运动
11、方程是耦合的二阶常微分方程组，而不是代数方程组。该方程又称为有限元微分方程组，而不是代数方程组。该方程又称为有限元半离散方程，因为对空间是有限元离散的，对时间是连半离散方程，因为对空间是有限元离散的，对时间是连续的。续的。当求解该微分方程组，得出节点位移响应后，其它计当求解该微分方程组，得出节点位移响应后，其它计算步骤与静力分析相同。算步骤与静力分析相同。有限元动力学方程的求解虽然可以采用常规的常微分有限元动力学方程的求解虽然可以采用常规的常微分方程组解法，但由于实际问题有限元模型的阶数往往方程组解法，但由于实际问题有限元模型的阶数往往很高，用常规方法不经济，通常采用一些对有限元方很高，用常规
12、方法不经济，通常采用一些对有限元方程有效的解法，主要分为两类：直接积分法和振型叠程有效的解法，主要分为两类：直接积分法和振型叠加法。加法。1 1、协调质量矩阵和集中质量矩阵、协调质量矩阵和集中质量矩阵该矩阵称为协调质量矩阵或一致质量矩阵。因为它和刚该矩阵称为协调质量矩阵或一致质量矩阵。因为它和刚度矩阵依据同样的原理、过程和插值函数导出，还表示度矩阵依据同样的原理、过程和插值函数导出，还表示质量在单元上呈某种分布。质量在单元上呈某种分布。此外，有限元中还经常采用集中质量矩阵，它是一个对此外，有限元中还经常采用集中质量矩阵，它是一个对角矩阵，由假定单元质量集中在节点上得到。角矩阵，由假定单元质量集
13、中在节点上得到。上节导出的单元质量矩阵为：上节导出的单元质量矩阵为：dVeVTeNNM对于对于3 3节点三角形单元，按上述公式计算得到的一致质量节点三角形单元，按上述公式计算得到的一致质量矩阵为：矩阵为：该单元的集中质量矩阵为：该单元的集中质量矩阵为：实际应用中，两种质量矩阵都有应用，得到的计算结果实际应用中，两种质量矩阵都有应用，得到的计算结果相差不多。采用集中质量矩阵可以使计算得到简化，提相差不多。采用集中质量矩阵可以使计算得到简化，提高计算效率，由此得到的自振频率常低于精确解。高计算效率，由此得到的自振频率常低于精确解。在波传播问题和高速瞬态非线性分析中，通常采用显式在波传播问题和高速瞬
14、态非线性分析中，通常采用显式动力学求解方法配合使用线性位移单元和集中质量阵。动力学求解方法配合使用线性位移单元和集中质量阵。2 2、阻尼矩阵、阻尼矩阵单元阻尼矩阵：单元阻尼矩阵：称为协调阻尼矩阵。这种阻尼是由阻尼力正比于质点称为协调阻尼矩阵。这种阻尼是由阻尼力正比于质点运动速度得到的，属于粘性阻尼。显然，这种阻尼阵运动速度得到的，属于粘性阻尼。显然，这种阻尼阵与质量矩阵成正比。与质量矩阵成正比。对结构而言，阻尼并非粘性的，而主要是由于材料内对结构而言，阻尼并非粘性的，而主要是由于材料内部摩擦效应引起的能量耗散，但这种耗散机理尚未完部摩擦效应引起的能量耗散，但这种耗散机理尚未完全清楚，更难以用数
15、学模型表达，故通常假设这种情全清楚，更难以用数学模型表达，故通常假设这种情况的阻尼力正比于应变速率，从而可导出比例于单元况的阻尼力正比于应变速率，从而可导出比例于单元刚度矩阵的单元阻尼阵，大多数情形下足够精确。刚度矩阵的单元阻尼阵，大多数情形下足够精确。上述两种阻尼矩阵称为比例阻尼或振型阻尼。其比例上述两种阻尼矩阵称为比例阻尼或振型阻尼。其比例系数一般依赖于频率，很难精确确定。系数一般依赖于频率，很难精确确定。一个通行的方法是将结构的阻尼矩阵简化为结构刚度一个通行的方法是将结构的阻尼矩阵简化为结构刚度阵和结构质量阵的线性组合：阵和结构质量阵的线性组合：其中其中，是不依赖于频率的常数。这种振型阻
16、尼称是不依赖于频率的常数。这种振型阻尼称为为RayleighRayleigh阻尼阻尼。当。当=0=0时，较高阶振型受到的阻尼时，较高阶振型受到的阻尼较大；当较大；当=0=0 时，较低阶振型受到的阻尼大时，较低阶振型受到的阻尼大。由于系统的固有振型对于结构质量矩阵和结构刚度矩由于系统的固有振型对于结构质量矩阵和结构刚度矩阵具有正交性，因此，系统振型对上述阵具有正交性，因此，系统振型对上述RayleighRayleigh阻尼阻尼矩阵也是正交的。所以这类阻尼矩阵又称为矩阵也是正交的。所以这类阻尼矩阵又称为振型阻尼振型阻尼。采用振型阻尼矩阵后，可以利用系统振型对动力学方采用振型阻尼矩阵后，可以利用系统
17、振型对动力学方程进行变换，得到解程进行变换，得到解耦耦的方程组，使每个方程可以独的方程组，使每个方程可以独立求解，给计算带来方便。立求解，给计算带来方便。0KaaM)()(tt)(sin0tt a其中其中 是是n n阶向量，表示有限元离散结构所有自由度的阶向量，表示有限元离散结构所有自由度的振幅，振幅，是该向量振动的频率。将上式代入自由振动是该向量振动的频率。将上式代入自由振动方程得到：方程得到：研究结构自由振动特性。设阻尼和外力均为零，则结研究结构自由振动特性。设阻尼和外力均为零，则结构自由振动有限元运动方程为：构自由振动有限元运动方程为：设各自由度作简谐运动：设各自由度作简谐运动：该方程描
18、述的问题称为广义特征值问题。该方程描述的问题称为广义特征值问题。其中特征值：其中特征值：代表系统的代表系统的n n个固有频率，个固有频率，并有：并有：n,21 特征向量：特征向量：代表系统的代表系统的n n个固有振型，或称个固有振型，或称为主振型。其幅度是不确定的，但可以用下列方法对其正为主振型。其幅度是不确定的，但可以用下列方法对其正则化：则化：求解该问题可以得到求解该问题可以得到n对特征解（特征对）对特征解（特征对）这样的固有振型又称为正则振型，以后默认所谓固有这样的固有振型又称为正则振型，以后默认所谓固有振型即是指这种正则振型。振型即是指这种正则振型。容易证明，固有振型具有对容易证明，固
19、有振型具有对M和和K的正交性：的正交性：定义：它们分别称为固有振型矩阵和固有频率矩阵它们分别称为固有振型矩阵和固有频率矩阵固有振型矩阵和固有频率矩阵固有振型矩阵和固有频率矩阵l原来的特征值问题可以表示成：原来的特征值问题可以表示成：固有频率和固有振型是一个结构自由振动的基本特性，固有频率和固有振型是一个结构自由振动的基本特性，也是结构动态特性的基本要素。也是结构动态特性的基本要素。求解结构自由振动的广义特征值问题，由于系统自由度求解结构自由振动的广义特征值问题，由于系统自由度很多，而研究系统动态响应和动态特性时，往往只需要很多，而研究系统动态响应和动态特性时，往往只需要少数低阶特征值和特征向量
20、。因此在有限元分析中发展少数低阶特征值和特征向量。因此在有限元分析中发展了许多针对上述特点的效率较高的算法。其中应用最广了许多针对上述特点的效率较高的算法。其中应用最广泛的有泛的有LanczosLanczos法、子空间迭代法、逆迭代法等。法、子空间迭代法、逆迭代法等。瞬态响应分析是计算动力强迫响应分析的最一般方法。其瞬态响应分析是计算动力强迫响应分析的最一般方法。其目的是计算结构受随时间变化激励作用下的行为。瞬态激目的是计算结构受随时间变化激励作用下的行为。瞬态激励定义在时间域中，每个瞬时的大小已知。激励可以是作励定义在时间域中，每个瞬时的大小已知。激励可以是作用力和强迫运动。用力和强迫运动。
21、根据结构和载荷的性质，可以用两种不同的数值方法进行根据结构和载荷的性质，可以用两种不同的数值方法进行瞬态响应分析：直接积分法和振型叠加法。前者对全耦合瞬态响应分析：直接积分法和振型叠加法。前者对全耦合的有限元离散运动方程直接进行积分；后者利用主振型对的有限元离散运动方程直接进行积分；后者利用主振型对运动方程进行变换和解耦，结构的响应根据相应于各振型运动方程进行变换和解耦，结构的响应根据相应于各振型的响应累加而成。的响应累加而成。1、直接积分法v第一，将求解时间域第一，将求解时间域0 0tTtT内任何时刻内任何时刻t t都满足运动方都满足运动方程的要求降低为在相隔程的要求降低为在相隔tt的离散时
22、间点上满足运动方的离散时间点上满足运动方程。程。直接积分法的两个前提：直接积分法的两个前提：v第二，在离散时间点之间的第二，在离散时间点之间的tt区域，对位移，速度，区域，对位移，速度，加速度进行假设。相当于对运动微分方程组在时间域加速度进行假设。相当于对运动微分方程组在时间域进行离散化，并逐点求解。进行离散化，并逐点求解。直接积分法概述：v直接积分法的时间离散化方程有显式和隐式两类。在直接积分法的时间离散化方程有显式和隐式两类。在显式方程中，由显式方程中，由 t t 时刻的运动方程求时刻的运动方程求t+tt+t时刻的位时刻的位移；而隐式方法是从与移；而隐式方法是从与t+tt+t时刻运动方程关
23、联的表达时刻运动方程关联的表达式中求式中求t+tt+t时刻的位移。时刻的位移。v显式方法要求很小的时间步长，但每步求解所需计算显式方法要求很小的时间步长，但每步求解所需计算量较小；而隐式方法允许较大的时间步长，但每一步量较小；而隐式方法允许较大的时间步长，但每一步求解方程的耗费较大。求解方程的耗费较大。v大多数大多数显式方法是条件稳定的：当时间步长大于结构显式方法是条件稳定的：当时间步长大于结构最小周期的一定比例时，计算得到的位移和速度将发最小周期的一定比例时，计算得到的位移和速度将发散或得到不正确的结果；散或得到不正确的结果；v隐式方法往往是无条件稳定的，步长取决于精度，而隐式方法往往是无条
24、件稳定的，步长取决于精度，而不是稳定性方面的考虑。不是稳定性方面的考虑。v典型的显式方法是所谓的典型的显式方法是所谓的“中心差分法中心差分法”，其基本思，其基本思想如下。想如下。vt+tt+t时刻的位移解时刻的位移解 从从t t时刻的运动方程建立：时刻的运动方程建立：att 中心差分法v将某时刻的加速度和速度用中心差分表示：将某时刻的加速度和速度用中心差分表示：v将加速度和速度的差分格式代入上式，得到：将加速度和速度的差分格式代入上式，得到：v上式就是求离散时间点上位移解的递推公式。但该算法上式就是求离散时间点上位移解的递推公式。但该算法有起步问题（见有起步问题（见P449）。）。v 中心差分
25、法特点如下：中心差分法特点如下：1 1）是显式算法，并且当质量阵和阻尼阵都是对角阵时，利）是显式算法，并且当质量阵和阻尼阵都是对角阵时，利用该递推公式求解运动方程时不需要进行矩阵求逆，这个用该递推公式求解运动方程时不需要进行矩阵求逆，这个特点在非线性问题中将更有意义。特点在非线性问题中将更有意义。是有限元系统的最小固有振动周期，通常用最小尺是有限元系统的最小固有振动周期，通常用最小尺寸单元的最小固有振动周期代替。因此，有限元网格中最寸单元的最小固有振动周期代替。因此，有限元网格中最小单元尺寸将决定中心差分法时间步长的选择。有限元网小单元尺寸将决定中心差分法时间步长的选择。有限元网格划分时要考虑
26、到这个因素，避免个别单元尺寸太小。格划分时要考虑到这个因素，避免个别单元尺寸太小。nTncrTtt2 2）是条件稳定算法。时间步长必须小于某个临界值：）是条件稳定算法。时间步长必须小于某个临界值：3 3）中心差分法适合用于考虑波传播效应的线性、非线性）中心差分法适合用于考虑波传播效应的线性、非线性响应分析。但是对于结构动力学问题中的瞬态响应分响应分析。但是对于结构动力学问题中的瞬态响应分析，不适合采用中心差分法，因为这类问题，重要的析，不适合采用中心差分法，因为这类问题，重要的是较低频的响应成分，允许采用较大的时间步长。通是较低频的响应成分，允许采用较大的时间步长。通常采用无条件稳定的常采用无
27、条件稳定的隐式算法。隐式算法。v应用最广泛的一种应用最广泛的一种隐式算法是隐式算法是NewmarkNewmark方法。方法。v在积分区间上采用如下的速度、位移假设：在积分区间上采用如下的速度、位移假设：Newmark方法v通过通过t+tt+t时刻的运动方程来决定时刻的运动方程来决定t+tt+t时刻的位移时刻的位移解解 ，即：，即：att v从上面三个方程联立可推出从从上面三个方程联立可推出从 t t 时刻的运动参量计算时刻的运动参量计算 t+t t+t 时刻位移的公式：时刻位移的公式：v 由于从上式求解由于从上式求解 t+t t+t 时刻位移时需要对非对角的等效时刻位移时需要对非对角的等效 刚
28、度阵求逆，因此称为隐式算法。刚度阵求逆，因此称为隐式算法。v 当当算法算法中的参数满足一定条件时，该算法是无条件稳定中的参数满足一定条件时，该算法是无条件稳定 的。此时，步长的选择取决于解的精度，可以根据对结的。此时，步长的选择取决于解的精度，可以根据对结 构响应有主要贡献的若干基本振型的周期来确定。通常构响应有主要贡献的若干基本振型的周期来确定。通常 可取为所要考虑的基本可取为所要考虑的基本振型周期中振型周期中最小周期的二十分之最小周期的二十分之 一。一。v 对结构动力学问题，所关心的较低阶振型的周期比全系对结构动力学问题，所关心的较低阶振型的周期比全系统的最小周期大得多，也就是无条件稳定的
29、隐统的最小周期大得多，也就是无条件稳定的隐 式算法可以式算法可以采用比有条件稳定的采用比有条件稳定的显式算法大得多的时间步长，而采用显式算法大得多的时间步长，而采用较大时间步长还可以滤掉不精确的高阶响应成分。较大时间步长还可以滤掉不精确的高阶响应成分。2、振型叠加法振型叠加法是计算结构瞬态响应的另一种数值方法。该振型叠加法是计算结构瞬态响应的另一种数值方法。该方法利用结构固有振型对动力学方程组进行变换，缩减未方法利用结构固有振型对动力学方程组进行变换，缩减未知量规模，并对运动方程组进行解耦，大幅度提高数值求知量规模，并对运动方程组进行解耦，大幅度提高数值求解的效率。解的效率。由于在结构动力学分
30、析过程中，计算固有频率、固有振由于在结构动力学分析过程中，计算固有频率、固有振型是评价结构动态特性之必需，故振型法响应分析是常型是评价结构动态特性之必需，故振型法响应分析是常规模态分析的自然延伸。规模态分析的自然延伸。此变换的意义：此变换的意义：变换把结构的瞬态位移响应从以有限元网格节点位移为变换把结构的瞬态位移响应从以有限元网格节点位移为基向量基向量n n维空间转换到以固有振型为基向量的维空间转换到以固有振型为基向量的n n维空间。维空间。这里这里 看成广义位移基向量，看成广义位移基向量，x xi i 是广义位移分量。数是广义位移分量。数学上看，是离散系统位移在两个不同向量空间之间的变学上看
31、，是离散系统位移在两个不同向量空间之间的变换。换。i振型叠加法的基本思想如下。振型叠加法的基本思想如下。首先引入变换：首先引入变换：其中：)()()()(tQtaKtaCtaM 并且两边左乘并且两边左乘 ，并考虑到，并考虑到 的正交性，则得到新向的正交性，则得到新向量空间内的运动方程：量空间内的运动方程：T将上述变换代入有限元运动方程将上述变换代入有限元运动方程如果方程中的阻尼矩阵是振型阻尼阵，利用主振型的正交性可得：CT成为对角方阵。则)()(1txtiniia其中其中i i定义为第定义为第i i阶振型的阻尼比。在此情况下，上面阶振型的阻尼比。在此情况下，上面变换后的方程就成为变换后的方程就成为n n个相互独立的二阶常微分方程：个相互独立的二阶常微分方程：在求出每个振型坐标上的位移分量在求出每个振型坐标上的位移分量x xi i后，再按前面的变后，再按前面的变换关系得到节点自由度上的位移响应：换关系得到节点自由度上的位移响应：
