1、人教版八年级（下）第十七章人教版八年级（下）第十七章12 读一读读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦较长的直角边称为股，斜边称为弦.图图1-1称为称为“弦图弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经周髀算经作法时给出的作法时给出的.图图1-2是在北京召开的是在北京召开的2002年国际数年国际数学家大会（学家大会（TCM2002）的会标，其图案正是）的会标，其图案正是“弦图弦图”，它标志着中国古代的数学成就，它标志着中国古代的数学成就.图1-1图1-23看一看看一看 相传
2、相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？发现什么？4ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2（1）观察图）观察图2-1 正方形正方形A中含有中含有 个个小方格，即小方格，即A的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形B的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形C的面积是的
3、面积是 个单位面积。个单位面积。99918你是怎样得到上面的结你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。果的？与同伴交流交流。5ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2cS正方形143 3182 分分“割割”成若干个直成若干个直角边为整数的三角形角边为整数的三角形（单位面积）（单位面积）6ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2cS正方形216218（单位面积）（单位面积）把把C“补补”成边长为成边长为6的的正方形面积的一半正方形面积的一半7ABCABC（图中每个小方格代表一个单
4、位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2（2）在图）在图2-2中，正中，正方形方形A，B，C中各含中各含有多少个小方格？它有多少个小方格？它们的面积各是多少？们的面积各是多少？（3）你能发现图）你能发现图2-1中中三个正方形三个正方形A，B，C的面积之间有什么的面积之间有什么关系吗？关系吗？SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积斜边上的正方形的面积8ABC图图3-1ABC图图3-2分割成若干个直角边为分割成若干个直角边为整数的三角形整数的三角形cS正方形25144 3 12 （面积单位）（面积单位）一
5、般的直角三角形一般的直角三角形三边为边作正方形三边为边作正方形9ABC图图3-1ABC图图3-2把把C“补补”成边长为成边长为7的的正方形面积加正方形面积加1单位面单位面积的一半积的一半cS正方形25（面积单位）（面积单位）思考：思考：面积面积A，B，C还有上述关系还有上述关系吗？吗？）（1721210ABC图图3-1ABC图图3-2（1）你能用三）你能用三角形的边长表示角形的边长表示正方形的面积吗？正方形的面积吗？（2）你能发现）你能发现直角三角形三边直角三角形三边长度之间存在什长度之间存在什么关系吗？与同么关系吗？与同伴进行交流。伴进行交流。议一议议一议 11A AB BC Ca ac c
6、b bS SA A+S+SB B=S=SC C 观察所得到的各组数据，你有什么发现？观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 212a ac cb b 观察所得到的各组数据，你有什么发现？观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想两直角边猜想两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2S SA A+S+SB B=S=SC C13动手做：动手做：用尺规做直角三角形用尺规做直角三角形ABC，使，使 C=90=90，AC=3cmBC=4cm 动手动手
7、量量:如果一个直角三角形的两直角边的长分别如果一个直角三角形的两直角边的长分别 是是3cm和和4cm,则它的斜边长是多少则它的斜边长是多少?动手动手算算:3、4、5各自的平方有什么关系各自的平方有什么关系?动脑猜：动脑猜：任意直角三角形两直角边的平方和都等于任意直角三角形两直角边的平方和都等于斜边的平方吗斜边的平方吗?222543（5cm）14 在准备好的方格纸上，分别画三个顶点在准备好的方格纸上，分别画三个顶点都在格点上且两直角边分别为都在格点上且两直角边分别为6 6和和8,58,5和和12,912,9和和1212的直角三角形的直角三角形,并测量出这三个直角三角并测量出这三个直角三角形的斜边
8、长形的斜边长,然后验证你的猜想！然后验证你的猜想！151310？，cba何给出一般说明呢那么又该如样的关系这可见存在2222c22ba 22510016922516910015cab1、拿出准备好的四个全等的直角三角形、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边斜边c）；2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形 吗？拼一拼试试看吗？拼一拼试试看3、你拼的正方形中是否含有以斜边、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正方形？的正方形？4、你能否就你拼出的图说明、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2
9、？16cabcabcabcab c2=b2-2ab+a2+2ab=a2+b2 a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为c2 该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作勾股圆方图。abab214)(2证明证明1：abab214)(217cabcabcabcab(a+b)2=a2+2ab+b2=2ab+c2a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为(a+b)224abC2证明证明2：24abC218勾股定理（勾股定理（gou-gugou-gu theorem)
10、theorem)如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为斜边为c，那么，那么 a2+b2=c2 abc勾勾股股弦弦！19勾股定理（勾股定理（gou-gugou-gu theorem)theorem)如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为斜边为c，那么，那么 a2+b2=c2 abcABC几何语言：几何语言：在在RtABC中中 C=90（已知）（已知）a2+b2=c2（勾股定理）（勾股定理）20勾勾股股勾勾股股弦弦 我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角
11、形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理勾股定理.辉煌发现辉煌发现21 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年
12、前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。我国是
13、最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中。中。22a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方.勾勾股股弦弦 勾股定理勾股定理(毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯
14、定理)23cab22acb22abcc2=a2+b2a2=c2 b2b2=c2 a2bca22结论变形结论变形直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；24求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长:8 8x x171712125 5x x解：在直角三角形中，解：在直角三角形中，依勾股定理可得：依勾股定理可得：82+X2=172 即：即：X=172-82 =15解：在直角三角形中，解：在直角三角形中，依勾股定理可得：依勾股定理可得：52+122=X2 即：即：X=52+122 =1325课堂课堂 练练 习习求出下列直角三角形中未知边的长度。求出下列直角三角形中未知边的长度。6
15、x25248X26例题例题1:1:在直角在直角ABCABC中中,C=90,C=90,a,b,c,a,b,c分别为分别为A,A,B,CB,C的对边的对边.(1)(1)若若a=3,a=3,b=4,=4,求求c的长的长(2)若若a=5,c=12,求求b的长的长(3)(3)若若a:ba:b=3:4,c=15,=3:4,c=15,求求a,ba,b的长的长 练习练习(1)在直角在直角ABC中，中，A=90 a=5，b=4，则求，则求c的值？的值？(2)在直角在直角ABC中，中，B=90，a=3，b=4，则求，则求c的值？的值？c=24，b=25，则求，则求a的值？的值？(3)在直角在直角ABC中，中，c=
16、90，若若a:c=5:13,b=24,求求a,c的长的长 27(3)如果一个直角三角形的两条边长分别如果一个直角三角形的两条边长分别是是5厘米和厘米和12厘米，那么这个三角形厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？的周长是多少厘米？可要当心噢！在直角在直角ABC中，中，a=3，b=4，则求则求c的值？的值？28ADBC34 已知已知ACB=90ACB=90,CDAB,AC=3,BC=4.CDAB,AC=3,BC=4.求求CDCD的长的长.29例题例题2:如图，将长为如图，将长为5.41米的梯子米的梯子AC斜靠在墙上，斜靠在墙上，BC长为长为2.16米，米，求梯子上端求梯子上端A到墙的底端到墙的底
17、端B的距离的距离AB.（精确到（精确到0.01米）米）解在解在RtABC中中ABC=90,BC=2.16,CA=5.41,根据勾股定理得根据勾股定理得 4.96（米）（米）222216.241.5BCACAB301.1.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值.8181144144x xy yz z62562557657614414416916931做一做：做一做：P62540026xP的面积的面积 =_X=_X=_24322622x24225BACAB=_AC=_BC=_25152032比比一一比比看看看看谁谁算算得得快！快！2.2.求下列直角三角形中未
18、知边的长求下列直角三角形中未知边的长:可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020 x x12125 5x x33、如图、如图,一个高一个高3 3 米米,宽宽4 4 米的大门米的大门,需在相需在相对角的顶点间加一个加固木条对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长则木条的长为为 ()()A.3 A.3 米米 B.4 B.4 米米 C.5C.5米米 D.6D.6米米C34、湖的两端有、湖的两端有A A、两点，从与、两点，从与A A方向成直方向成直角的角的BCBC方向上的点方向上的点C C测得测得CA=130CA=130米米,CB=120,CB=12
19、0米米,则则ABAB为为 ()()ABCA.50A.50米米 B.120B.120米米 C.100C.100米米 D.130D.130米米130120?A35 1876年年4月月1日，伽菲尔日，伽菲尔德在德在新英格兰教育日新英格兰教育日志志上发表了他对勾股上发表了他对勾股定理的这一证法。定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任年，伽菲尔德就任美国第美国第20任总统。后来，任总统。后来，人们为了纪念他对勾股人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一明了的证明，就把这一证法称为证法称为“总统证法总统证法”。3637无字证明无字证明青出青出朱方朱方青方青方朱入朱入朱朱出出青入青入青青入入青出青出青青出出38 abc39青出青出朱入朱入朱朱出出朱方朱方青方青方青入青入青青入入青出青出青青出出华罗庚华罗庚青青朱朱出入图出入图朱入朱入朱朱出出40谈谈你的收获！谈谈你的收获！.这节课你的收获是什么？.理解“勾股定理”应该注 意什么问题？.你觉得“勾股定理”有用吗？41 小结小结 本节课学到了什么数学知识？本节课学到了什么数学知识？你了解了勾股定理的发现方法了吗？你了解了勾股定理的发现方法了吗？你还有什么困惑？你还有什么困惑？作业作业 教材第教材第28页习题页习题17.1第第1、2、3题题 42
