1、向量的加法与减法向量的加法与减法(1)(1)1有方向的量有方向的量向量的概念：有大小，向量的概念：有大小，.1向量的表示：向量的表示：.2有向线段有向线段ABAB记作记作黑体小写字母黑体小写字母a向向量量的的长长度度：向量向量AB的大小即为向量的大小即为向量AB的的长度长度（或称（或称模模）.记作：记作：|AB|手写体手写体a 复习回顾复习回顾20.长长度度为为 的的向向量量1.长长度度等等于于个个单单位位长长度度的的向向量量0.记记作作:单单位位向向量量特殊向量：特殊向量：:零零向向量量规规定定：零零向向量量的的方方向向是是任任意意的的3三个重要概念三个重要概念.3平行向量平行向量)1向量向
2、量方向相同或相反的非零方向相同或相反的非零量平行量平行规定：零向量与任一向规定：零向量与任一向相等向量相等向量)2均可平移到同一直线上均可平移到同一直线上任一组平行向量任一组平行向量平行向量平行向量共线向量共线向量相相反反向向量量：长长度度相相等等且且方方向向相相反反的的向向量量.长长度度相相等等且且方方向向相相同同的的向向量量.3)4 数能进行运算，因为有了运算而使数的数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷威力无穷.下面我们就来学习向量的线性运算下面我们就来学习向量的线性运算.与数的运算类比与数的运算类比,向量是否也能进向量是否也能进行运算呢？行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运人们从
3、向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算算中得到启发，引进了向量的运算.阅读教材回答问题：何为向量的加法运算？阅读教材回答问题：何为向量的加法运算？5一一、向量的加法：向量的加法：(1)(1)、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。(2)(2)、图示：、图示：baOa a a a a a a abbbbbbb这种作法叫做这种作法叫做三角形法则三角形法则.BbaA(3)、作法作法 O1 在在平平面面内内任任取取一一点点 bAB,aOA作2 baOB3则向量a+b6b.ab a（如图），求作向量、已知向量,O在平面内任取一点例例1ab.O,bAB,aOA作作法：作法：.baOB则aaa
4、aaaAb b b b b b b b b b b b b b bB7特例：特例：ab方向相同方向相反baACbaACbaaaaaaABbbbCabaaaaaaABbbbbbC有有，对于零向量与任一向量对于零向量与任一向量 a 0a a0a8abba（1）（2）（3）abba（4）abbaabbba bbab练习练习1.如图如图,已知已知 用向量加法的三角形用向量加法的三角形法则作出法则作出ba 9二、二、平行四边形法则平行四边形法则baAa a a a a a a abbbBbaDaCba+b作法作法:(1)在平面取一点在平面取一点A (2)以点以点A为起点以向量为起点以向量a、b为邻边作平
5、行为邻边作平行四边形四边形ABCD.即即 ADBCa,AB=DC=b （3）则以点）则以点A为起点的对角线为起点的对角线 ACa+b10（1 1）abbbaababa（2 2）ab练习练习2.如图如图,已知已知 用向量加法的平行四用向量加法的平行四边形法则作出边形法则作出ba 11三、运算律bacbaabcabccbacbabba:交换律)1()cb(ac)ba(:结合律)2(abbaab12例例2：化简：化简：.)()3()()()2(DCCABDABCBACBNMA ；.AD.MN.0 由于向量的加法满足交换律与结合律，因此，多个向由于向量的加法满足交换律与结合律，因此，多个向量的加法运算
6、就可按照任意的次序与任意的组合来进行量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行.解：解：BCCDAB )1(CDAC CDBCAB )(）（）（CBACBNMA )2()()(BNCBACMA CNMC DCCABDAB )()3()()(CADCBDAB ；BCCDAB )1(DAAD 13 nnnnAAAAAAAA1122110 113221AAAAAAAAnnn0nAA0一般地，一般地，口诀：口诀：“首尾相接首尾相首尾相接首尾相连连”.14有什么关系呢？与|,|baba思考：思考：|bababa|bababa不共线时，则，当|bababa同向时，则，当|,|babababa则反向时
7、，且，当|,|abbababa则反向时，且，当结论结论:,1不共线时，）当（ba,2共线时，）当（ba15向量的加法与减法向量的加法与减法(2)(2)16向量的减法相相反反向向量量：.量量长长度度相相等等方方向向相相反反的的向向，记作的相反向量aa-,.互为相反向量互为相反向量与与aa 规定，规定，.00 )(aa那那么么，互互为为相相反反的的向向量量、如如果果ba，ba ，ab .0 ba )(a,a于是于是.0定义：求两个向量差的运算叫向量的减法.17图示：图示：aBaaaaaaaAaa-bb bbbbbbbO.)(baba向量减法的几何作法：.两个向量的差两个向量的差这样得到的向量就是这
8、这样得到的向量就是这，且箭头指向被减的向量且箭头指向被减的向量连接两个向量的终点，连接两个向量的终点，说明：说明：即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.18想想一一想想：，的的终终点点作作向向量量的的终终点点到到如如果果从从，上上图图中中ba)1(那那么么所所得得向向量量是是什什么么？OABabab?/)2(baba怎样作出，如图O.AabBbabaOBBbA.ObaOBb19有什么关系呢？与|,|baba思考一：思考一：|baba|bababa不共线时，则，当|bababa同向时，则，当|,|babababa则反向时，且，当|,|abbab
9、aba则反向时，且，当结论结论:,1不共线时，）当（ba,2共线时，）当（ba20有什么关系呢？与|,|baba思考二：思考二：|bababa|bababa不共线时，则，当|bababa反向时，则，当|,|babababa则同向时，且，当|,|abbababa则同向时，且，当结论结论:,1不共线时，）当（ba,2共线时，）当（ba21.)()()(BDACCDAB3 例例化简下列各式：化简下列各式：；BCCAAB1 )(；）（DOODOFOE2 CABCAB1 )()(原原式式解：解：CAAC ACAC 0.)()()(DOODOEOF2 原原式式0EF .EF 22).()()3(BDACC
10、DAB 解法一：BDCDACAB )(BDCDCB BDDB .0 )()(BDACCDABBDACCDAB )()(BDACCDABBDACCDAB )()(CDBDACAB .0 解法二：)()(DBDCACAB BCCB 解解法法三三：)()(BDACCDAB BDACCDAB BDCADCAB CADCBDAB .0 23 向量的加法，减法的运算并不困难，但运算的途径向量的加法，减法的运算并不困难，但运算的途径很多，十分灵活，如平面任一向量即可以写成两个向量很多，十分灵活，如平面任一向量即可以写成两个向量的和，也可以写成两个向量的差等通过这种调整来简的和，也可以写成两个向量的差等通过这
11、种调整来简化运算化运算说说 明：明：24教材教材92页页B组组5.已知已知O为四边形为四边形ABCD所在平面内的一点，所在平面内的一点，且向量且向量OA、OB、OC、OD满足：满足：OA+OC=OB+OD.（1）作图并观察四边形）作图并观察四边形ABCD的形状；的形状；（2）四边形）四边形ABCD有什么特征？试证明你的猜想有什么特征？试证明你的猜想.ABOCDM解：解：（1）通过作图可以发现四边形）通过作图可以发现四边形ABCD为平行四边形；为平行四边形；（2）证明：证明：,OAOCOBOD ,OAOBODOC ,BACD /BACD 故四边形故四边形ABCD为平行四边形为平行四边形.即即25
