1、宇轩图书宇轩图书目目 录录第19讲尺规作图与命题证明考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点一考点一 几何作图几何作图1 1尺规作图限定作图工具只有圆规和没有刻度的直尺尺规作图限定作图工具只有圆规和没有刻度的直尺2 2基本作图基本作图(1)(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和、差；作一条线段等于已知线段，以及线段的和、差；(2)(2)作一个角等于已知角，以及角的和、差；作一个角等于已知角，以及角的和、差；(3)(3)作角的平分线；作角的平分线；(4)(4)作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线3 3利用基本作图作三角形利用基本作图作三角
2、形(1)(1)已知三边作三角形；已知三边作三角形；(2)(2)已知两边及其夹角作三角形；已知两边及其夹角作三角形；宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页(3)(3)已知两角及其夹边作三角形；已知两角及其夹边作三角形；(4)(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)(5)已知一直角边和斜边作直角三角形已知一直角边和斜边作直角三角形4 4与圆有关的尺规作图与圆有关的尺规作图(1)(1)过不在同一直线上的三点作圆过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆即三角形的外接圆)(2)(2)作三角形的内切圆作三角形的内切圆5 5有关中心对称或轴对称的作图以
3、及设计图案是中考常见类型有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型6 6作图题的一般步骤作图题的一般步骤(1)(1)已知已知;(2);(2)求作求作;(3);(3)分析分析;(4);(4)作法作法;(5);(5)证明证明;(6);(6)讨论其中步骤讨论其中步骤(5)(6)(5)(6)常不作要求常不作要求,步骤步骤(3)(3)一般不要求一般不要求,但作图中一定要保留作图痕迹但作图中一定要保留作图痕迹宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点二考点二 定义、命题、定理、公理定义、命题、定理、公理有关概念有关概念(1)(1)定义是能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密定义是
4、能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密(2)(2)命题：判断一件事情的语句命题：判断一件事情的语句命题由题设和命题由题设和 两部分组成两部分组成命题的真假命题的真假:正确的命题称为正确的命题称为 ；的命题称为假命题的命题称为假命题.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题每一个命题都有逆命题逆命题每一个命题都有逆命题真命题真命题错误错误结论结论宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页
5、首首 页页(3)(3)定理：经过证明的真命题叫做定理定理：经过证明的真命题叫做定理因为定理的逆命题不一定都因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理(4)(4)公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据原始依据，这样的真命题叫公理，这样的真命题叫公理温馨提示：温馨提示：对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命
6、题有正、误，错误的命题也是命题例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题.宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点三考点三 证明证明1 1证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这一推理过程称为证明命题是否正确，这一推理过程称为证明2 2证明的一般步骤：证明的一般步骤：审题，找出命题的审题，找出命题的 和和 ；由由题意画出图形，具有一般性；题意画出图形，具有一般性；用数学语言写出用数学语言写出 、；分析证明的思路；分析证明的思路；写出写出 ，每一步应有根据，要推理严密，每一步应有根据，要推理严
7、密证明过程证明过程题设题设结论结论已知已知求证求证宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页 (2011 (2011杭州杭州)四条线段四条线段a a，b b，c c，d d如图所示，如图所示，abcdabcd1234.1234.(1)(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法痕迹，不必写出作法)；(2)(2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页
8、页 (1)(1)（20112011广州广州 ）已知三条不同的直线）已知三条不同的直线a a，b b，c c在同一平面在同一平面内，下列四个命题：内，下列四个命题：如果如果abab，acac，那么，那么bcbc；如果如果baba，caca，那么，那么bcbc；如果如果baba，caca，那么，那么bcbc；如果如果baba，caca，那么，那么bc.bc.其中真命题是其中真命题是_(填写所有真命题的序号填写所有真命题的序号)(2)(2)（20112011黄冈）黄冈）下列说法中：下列说法中：一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等；一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等；数据
9、数据5,2,7,1,2,45,2,7,1,2,4的中位数是的中位数是3 3，众数是，众数是2 2；宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【解答解答】(1)(1)(2)C(2)C宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页 如图所示，如图所示，ABCABC是等边三角形，是等边三角形，D D点是点是ACAC的中点，的中点，延长延长BCBC到到E E，使，使CECECD.CD.(1)(1)用尺规作图的方法，过用尺规作图的方法，过D D点作点作DMBEDMBE，垂足是，垂足是M(M(不写作法，保留作不写作法，保留作图痕迹图痕迹)；(2
10、)(2)求证：求证：BMBMEM.EM.【点拨点拨】(1)(1)题属于过直线外一点作已知直线的垂线的基本作图；题属于过直线外一点作已知直线的垂线的基本作图；(2)(2)题需证题需证BDEBDE是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质证是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质证BMBMEM.EM.【解答解答】(1)(1)如图，则直线如图，则直线DMDM即为所求即为所求宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1 1如图，已知如图，已知ABCABC，分别以，分别以A A、C C为圆心，为圆心，BCBC、ABAB长为长为半径画弧半径画
11、弧,两弧在直线两弧在直线BCBC上方交于点上方交于点D,D,连接连接AD,CD.AD,CD.则有则有()A AABCABC与与BADBAD相等相等B BADCADC与与BADBAD互补互补C CADCADC与与ABCABC互补互补D DADCADC与与ABCABC互余互余答案：答案：B B宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页2 2下列说法正确的是下列说法正确的是()A A“作线段作线段CDCDAB”AB”是一个命题是一个命题B B三角形的三条内角平分线的交点为三角形的内心三角形的三条内角平分线的交点为三角形的内心C C命题命题“若若x x1 1，则，则x x2 21”1”的逆命题
12、是真命题的逆命题是真命题D D“具有相同字母的项称为同类项具有相同字母的项称为同类项”是是“同类项同类项”的定义的定义答案：答案：B B宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页3 3下列命题中，真命题是下列命题中，真命题是()A A周长相等的锐角三角形都全等周长相等的锐角三角形都全等B B周长相等的直角三角都全等周长相等的直角三角都全等C C周长相等的钝角三角形都全等周长相等的钝角三角形都全等D D周长相等的等腰直角三角形都全等周长相等的等腰直角三角形都全等答案：答案：D D宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页4 4画一个等腰画一个等腰ABCABC，使底边长，使底边长B
13、CBCa a，底边上的高为，底边上的高为h h，(要求：用要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明)已知：已知：求作：求作：答案：略答案：略5 5如图，已知在等腰三角形如图，已知在等腰三角形ABCABC中，中，A AB B3030，过点，过点C C作作CDACCDAC交交ABAB于点于点D.D.(1)(1)尺规作图：过尺规作图：过A A、D D、C C三点作三点作O(O(只要求作出图形，保留痕迹，不只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法要求写作法)；(2)(2)求证：求证：BCBC是过是过A A、D D、C C三点的圆
14、的切线三点的圆的切线宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页答案：答案：(1)(1)取取ADAD的中点为的中点为O O，作出圆心，作出圆心O O，以点，以点O O为圆心，为圆心，OAOA长为半径作长为半径作圆圆(2)(2)提示：证提示：证BCOBCO9090宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页尺规作图与命题、证明尺规作图与命题、证明训练时间：训练时间：6060分钟分钟 分值：分值：100100分分宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页一、选择题一、选择题(每小题每小题5 5分，共分，共5050分分)1 1(2011(2011扬州扬州)已知下列命题：对角线互相
15、平分的四边形是已知下列命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形；等腰梯形的对角线相等；对角线互相垂直的四边平行四边形；等腰梯形的对角线相等；对角线互相垂直的四边形是菱形；内错角相等其中假命题有形是菱形；内错角相等其中假命题有()A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个【解析解析】命题、是假命题命题、是假命题【答案答案】B B宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页2 2(2011(2011福州福州)如右图所示，在长方形网格中，每个小长方形的如右图所示，在长方形网格中，每个小长方形的长为长为2 2，宽为，宽为1 1，A A、B B 两点在网格格点上，若点两
16、点在网格格点上，若点C C也在网格格点上，以也在网格格点上，以A A、B B、C C为顶点的三角形面积为为顶点的三角形面积为2 2，则满足条件的点，则满足条件的点C C 的的个数是个数是()A A2 B2 B3 C3 C4 D4 D5 5【解析解析】满足条件的三角形是以满足条件的三角形是以ABAB为腰的等腰三角形，共有为腰的等腰三角形，共有4 4个个【答案答案】C C宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页3 3(2011(2011呼和浩特呼和浩特)下列判断正确的有下列判断正确的有()A A4 4个个 B B3 3个个 C C2 2个个 D D1 1个个宇轩图书宇轩图书上一页上一页下
17、一页下一页首首 页页【答案答案】B宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页4 4(2010(2010中考变式题中考变式题)如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成三块如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是()A A带带去去 B B带带去去C C带带去去 D D带带去去【解析解析】带能满足带能满足“ASA”ASA”，唯一作出三角形，唯一作出三角形【答案答案】C C宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页5 5(2010(2010中考变式题中考变式题)仅利用一副三角
18、板不能完成的操作是仅利用一副三角板不能完成的操作是()A A作已知直线的平行线作已知直线的平行线B B作已知角的平分线作已知角的平分线C C测量钢球的直径测量钢球的直径D D找已知圆的圆心找已知圆的圆心【解析解析】A A、B B、D D都能用一副三角板完成操作，故选都能用一副三角板完成操作，故选C.C.【答案答案】C C宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页6 6(2012(2012中考预测题中考预测题)下列给出的条件一定能画出唯一的三角形的下列给出的条件一定能画出唯一的三角形的是是()A A两个角和其中一角的对边两个角和其中一角的对边B B三个角三个角C C两边和其中一边的对角两
19、边和其中一边的对角D D任意给出三条线段作三角形的三边任意给出三条线段作三角形的三边【解析解析】能画出唯一三角形的条件是满足判定全等的条件能画出唯一三角形的条件是满足判定全等的条件【答案答案】A A宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页7 7(2012(2012中考预测题中考预测题)如图所示，已知线段如图所示，已知线段a a、h h，求作等腰，求作等腰ABCABC，使使ABABACAC，且，且BCBCa a，BCBC边上的高边上的高ADADh h.张红的作法是张红的作法是宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页(1)(1)作线段作线段BCBCa a；(2)(2)作线段作线
20、段BCBC的垂直平分线的垂直平分线MNMN，MNMN与与BCBC相交于点相交于点D D；(3)(3)在直线在直线MNMN上截取线段上截取线段h h；(4)(4)连接连接ABAB、ACAC，ABCABC为所求的等腰三角为所求的等腰三角形上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是形上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是()A A(1)B(1)B(2)(2)C C(3)D(3)D(4)(4)【解析解析】第第(3)(3)步错在没说明怎样截取线段步错在没说明怎样截取线段h h.【答案答案】C C宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页8 8(2010(2010中考变式题中考变式题)将直角三
21、角形分割成四个小三角形，使得每将直角三角形分割成四个小三角形，使得每个三角形与原直角三角形相似下列分法错误的是个三角形与原直角三角形相似下列分法错误的是()【解析解析】B B、C C、D D三个选项满足分割的条件三个选项满足分割的条件【答案答案】A A宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页9 9(2012(2012中考预测题中考预测题)如图，边长为如图，边长为1 1个单位的个单位的6 66 6的网格中，已知的网格中，已知线段线段ABAB，找格点，找格点C C，使，使S SABCABC2 2平方单位，则这样的平方单位，则这样的C C点共有点共有()A A4 4个个 B B5 5个个C
22、 C6 6个个 D D7 7个个【解析解析】用尺规去画图可得用尺规去画图可得C C点共点共7 7个，故选个，故选D.D.【答案答案】D D宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1010(2011(2011深圳深圳)下列命题是真命题的个数有下列命题是真命题的个数有()宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页A A1 1个个 B B2 2个个C C3 3个个 D D4 4个个【解析解析】中未强调过半径外端点，是假命题；未说明被平分的中未强调过半径外端点，是假命题；未说明被平分的弦不是直径，因为两条直径一定互相平分，但不一定互相垂直，是假弦不是直径，因为两条直径一定互相平分，但
23、不一定互相垂直，是假命题；只有是真命题命题；只有是真命题【答案答案】B B宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页二、填空题二、填空题(每小题每小题5 5分，共分，共5 5分分)宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【答案答案】8宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页三、解答题三、解答题(共共4545分分)1212(10(10分分)(2011)(2011新疆新疆)请判断下列命题是否正确？如果正确，请请判断下列命题是否正确？如果正确，请给出证明；如果不正确，请举出反例给出证明；如果不正确，请举出反例(1)(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行
24、且相等的四边形是平行四边形；(2)(2)一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形行四边形【答案答案】(1)(1)正确已知：如图，在四边形正确已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，ABABCDCD，ABABCDCD，求证：四边形，求证：四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页证明：连接证明：连接ACAC、BDBD交于交于O O点点ABABCDCD，1 12 2，3 34.4.又又ABABCDCD，AOBAOBCODCOD，OAOAOCOC，OBOBODOD.又
25、又AODAODCOBCOB，AODAODCOBCOB，5 56 6，ADADBCBC.又又ABCD，四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页(2)(2)不正确如图所示，不正确如图所示，CDCD垂直平分垂直平分ABAB，则有，则有OAOAOBOB，CADCADCBDCBD，但四边形，但四边形ADBCADBC不是平行四边形不是平行四边形宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1313(11(11分分)(2011)(2011重庆重庆)为进一步打造为进一步打造“宜居重庆宜居重庆”，某区拟在新，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷
26、泉，要求音乐喷泉竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M M到广场的两个到广场的两个入口入口A A、B B的距离相等，且到广场管理处的距离相等，且到广场管理处C C的距离等于的距离等于A A和和B B之间距离的一半之间距离的一半，A A、B B、C C的位置如右图所示请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音的位置如右图所示请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉乐喷泉M M的位置的位置(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图必须用铅笔作图)宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【答案答案】解：如图所示
27、，则点解：如图所示，则点M M即为所求即为所求宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1414(12(12分分)(2011)(2011新疆新疆)如图所示，在如图所示，在ABCABC中，中，A A9090.(1)(1)用尺规作图的方法，作出用尺规作图的方法，作出ABCABC绕点绕点A A逆时针旋转逆时针旋转4545后的图形后的图形ABAB1 1C C1 1(保留作图痕迹保留作图痕迹)；(2)(2)若若ABAB3 3，BCBC5 5，求，求tantanABAB1 1C C1 1.【答案答案】解：解：(1)(1)如图，如图，ABAB1 1C C1 1即为所求作的图形即为所求作的图形宇轩图书
28、宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1515(12(12分分)(2011)(2011哈尔滨哈尔滨)如下图所示，图、图是两张形状、如下图所示，图、图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1 1，点，点A A、B B在小正方形的顶点上在小正方形的顶点上(1)(1)在图中画出在图中画出ABCABC(点点C C在小正方形的顶点上在小正方形的顶点上)，使，使ABCABC的面积的面积为为5 5，且，且ABCABC中有一个角为中有一个角为4545(画一个即可画一个即可)；宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页(2)(2)在图中画出在图中画出ABDABD(点点D D在小正方形的顶点上在小正方形的顶点上)，使，使ABDABD的面积的面积为为5 5，且，且ADBADB9090(画一个即可画一个即可)【答案答案】解：如图所示解：如图所示
