1、第第4章章 力系的平衡力系的平衡【内容提要内容提要】本章介绍平面汇交力系和平面力偶系的合成，平面力系向一点简化的结果，由此得到平面力系的平衡条件和平衡方程；在介绍力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩的基础上，直接给出空间力系的平衡方程。本章着重于应用平衡方程求解力系的平衡问题。最后介绍物体的重心、形心的概念及其计算方法。1、掌握平面汇交力系和平面力偶系的合成。2、理解力的平移定理。了解平面力系的简化理论和简化结果。3、熟练掌握力在坐标轴上投影的计算。了解合力矩定理，熟练掌握平面内力对点之矩的计算。4、理解各种平面力系的平衡方程，熟练掌握运用平衡方程求解单个物体和物体系统的平衡问题。【学习目标
2、学习目标】4.1 平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成 各力的作用线位于同一平面内且汇交于一点的力系称为平面汇交力系平面汇交力系。例如图4.1(a)所示用起重机吊装钢筋混凝土大梁，作用于梁上的力有梁的重力W、绳索对梁的拉力FTA和FTB，这三个力的作用线都在同一铅垂平面内且汇交于一点图4.1(b)，组成一个平面汇交力系。4.1.1 平面汇交力系的合成结果平面汇交力系的合成结果 设有平面汇交力系 F1，F2，Fn作用在A点（图4.2）由力的平行四边形法则，采用两两合成的方法，最终可合成为一个合力FR，合力等于力系中各力的矢量和，即 FR=F1+F2+Fn=F F1FRFR2FR1F2F3FnA图
3、4.24.1.2 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影 由力F的起点A和终点B分别向坐标轴作垂线，设垂足分别为a1、b1和a2、b2，线段a1b1、a2b2冠以适当的正负号称为力F在x轴和y轴上的投影投影，分别记作X、Y，即X=a1b1Y=a2b2b2b1a1XYa2OxyABF 规定：规定：从从a1到到b1（或（或a2到到b2）的指向与坐标轴正）的指向与坐标轴正向相同时取正，相反时取负。向相同时取正，相反时取负。：已知力F的大小及力F与x、y轴正向间的夹角分别为、，则有coscosFYFX 当当、为钝角为钝角时，为了计算简便，往往先根时，为了计算简便，往往先根据力与某轴所夹的锐角来计算力在该
4、轴上投影的绝据力与某轴所夹的锐角来计算力在该轴上投影的绝对值，再由对值，再由观察观察来确定投影的正负号。来确定投影的正负号。XYYXFtan22 已知力F在直角坐标轴上的投影为X、Y，则力F的大小及方向为b2b1a1XYa2OxyABF 力F沿平面直角坐标轴分解的表达式为YjXiFFFyx【例例4.1】分别计算图4.4所示各力在x轴和y轴上的投影。已知F1=F2=100N，F3=150N，F4=200N。【解解】由式（4.2b），可算出各力在x轴和y轴上的投影分别为 X1=F1cos 45=100 N0.707=70.7N Y1=F1cos 45=100 N0.707=70.7N X2=F2c
5、os 30=100 N0.866=86.6N Y2=F2cos 60=100 N0.5=50N X3=F3cos 90=0 Y3=F3cos 0=150N1=150N X4=F4cos 60=200N0.5=100N Y4=F4cos 30=200N0.866=173.2N 设平面汇交力系F1、F2、Fn中各力在x、y轴上的投影分别为Xi、Yi，合力FR在x、y轴上的投影分别为XR、YR，利用式（4.4），分别计算式（4.1）等号的左边和右边，可得在x、y轴上的投影分别为XR、YR，则有RF =XR i+YR j 4.1.3 平面汇交力系合力的计算平面汇交力系合力的计算F1+F2+Fn=(X1
6、i+Y1j)+（X2i+Y2j）+（Xni+Ynj）=（X1+X2+Xn）i+（Y1+Y2+Yn）j以及以及比较后得比较后得YYYYYXXXXXnn21R21R上式称为合力投影定理合力投影定理，它表明力系的合力在某轴力系的合力在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。合力的大小及方向分别为合力的大小及方向分别为XYYXFtan22R【例例4.2】如图所示一固定的吊钩上作用有三个力F1、F2、F3。已知F1=F2=732N，F3=2000N，求此三个力的合力。【解解】建立如图所示直角坐标系Axy，由式（4.5），合力FR在x、y轴上的投影分别为N
7、1732N06cos20007320N1000N30cos20000732321R321RYYYYXXXX 则合力FR的大小和方向分别为 N200022RYXF732.1tanXY 120根据XR和YR均为负值，合力FR的作用线位于第三象限，如图所示。作用面都位于同一平面内的若干个力偶称为平面力偶平面力偶系系。例如，齿轮箱的两个外伸轴上各作用一力偶（图4.6），为保持平衡，螺栓A、B在铅垂方向的两个作用力也组成一力偶，这样齿轮箱受到三个在同一平面内的力偶的作用，这三个力偶组成一平面力偶系。4.2 平面力偶系的合成平面力偶系的合成 作用面都位于同一平面内的若干个力偶，称为平面力偶系平面力偶系。平
8、面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶的矩合力偶的矩等于力偶系中各力偶矩的代数和，即 MM1M2MnM 就两个力偶的简单情况进行证明。设在某一平面内作用有两个力偶M1、M2，任取一线段AB=d作为公共力偶臂，根据力偶的等效性质，将力偶M1、M2移动，并把力偶中的力分别改变为dMFFdMFF222111,于是，力偶M1与M2可合成为一个力偶，其矩为M FR d（F1F2）d M1 M2 平面力系平面力系如果作用于物体上各力的作用线如果作用于物体上各力的作用线都在同一平面内，则这种力系称为都在同一平面内，则这种力系称为平面力系平面力系。4.3 平面力系向一点的简化平面力系向一点的简化 屋架受到屋面自重
9、和积雪等重力荷载W、风力F以及支座反力FAx、FAy、FB的作用，这些力的作用线在同一平面内，组成一个平面力系。水坝通常取单位长度的坝段进行受力分析，并将坝段所受的力简化为作用于坝段中央平面内的一个平面力系。作用于刚体上的力，可平行移动到刚体内任一指定点，但必须在该力与指定点所决定的平面内同时附附加一力偶加一力偶，此附加力偶附加力偶的矩等于原力对指定点之矩。M 作用于刚体A点的力F，如将力F平行移动到刚体内任一点O，但不能改变力对刚体的作用效应，力F 和F 组成一个力偶M，FdMMO)(F证明证明那么就要在O点加上一对平衡力F、F，且F F F。M 根据力的平移定理，也可以将同一平面内的一个力
10、和一个力偶合成为一个力。力的平移定理不仅是力系向一点简化的理论依据，也是分析力对物体作用效应的一个重要方法。轴向力 使柱压缩，而附加力偶M将使柱弯曲。Fe4.3.2 平面力系向一点的简化平面力系向一点的简化将各力向简化中心将各力向简化中心O点平移点平移设在物体上作用有平面一般力系F1，F2，Fn，如图(a)所示。得到一个平面汇交力系和一个得到一个平面汇交力系和一个平面力偶系。平面力偶系。)(,)(,)(,22112211nOOnOOOOnnFMMFMMFMMFFFFFF ，即等于力系中所有各力的矢量和，称为该力系的主矢力系的主矢。它的大小和方向与简化中心的选择它的大小和方向与简化中心的选择无关
11、。无关。FFFR FOnOOOOMMMMM21即等于原力系中各力对简化中心简化中心O之 矩的代数和，称为该力系对简化中心O的主矩主矩。它的大小和转向与简化中心的选择有关有关。结论结论：平面一般力系向作用面内任意一点简化，：平面一般力系向作用面内任意一点简化，一般情形下，得到一般情形下，得到一个力和一个力偶一个力和一个力偶。所得力的作用。所得力的作用线通过简化中心，其矢量称为线通过简化中心，其矢量称为力系的主矢力系的主矢，它等于力，它等于力系中所有力的矢量和；所得力偶仍作用于原平面内，系中所有力的矢量和；所得力偶仍作用于原平面内，其力偶矩称为原力系其力偶矩称为原力系对于简化中心的主矩对于简化中心
12、的主矩，数值等于，数值等于力系中所有力对简化中心之矩的代数和力系中所有力对简化中心之矩的代数和。现在讨论主矢的计算。利用式（4.5），可得YFXFyxRR即主矢在某坐标轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。由式(4.3)，主矢的大小和方向分别为XYYXFFFyxtan)()(222R2RR式中：FR与x轴正向的夹角。4.3.3 平面力系简化结果的讨论平面力系简化结果的讨论 平面力系向一点简化的最终结果为以下三种可能的情况。（1）力系可简化为一个合力偶）力系可简化为一个合力偶 当 时，力系与一个力偶等效，即力系可简化为一个合力偶，合力偶的矩等于主矩。此时，主矩与简化中心的位置无关。主
13、矩与简化中心的位置无关。0 ,0ROMF（2）力系可简化为一个合力）力系可简化为一个合力 1)当当 时，力系与一个力等效，即时，力系与一个力等效，即力系可简化为一个合力。合力等于主矢，合力的作用力系可简化为一个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。线通过简化中心。0,0ROMF 2)当当 时，合力的大小、方向与主矢时，合力的大小、方向与主矢相同，合力的作用线不通过简化中心，它到简化中心相同，合力的作用线不通过简化中心，它到简化中心O点的距离为点的距离为0 ,0ROMFRFMdO 证明证明 根据力的平移定理逆过程，可将 和MO简化为一个合力FR。RFMORRRRR（3）力系处于平衡状态）
14、力系处于平衡状态当 =0，MO=0时，力系处于平衡状态。RF 【例例4.3】如图所示如图所示一小型砌石坝，取一小型砌石坝，取1m长的坝段长的坝段来考虑，将坝所受重力和静水压力简化到中央平面内，来考虑，将坝所受重力和静水压力简化到中央平面内，得到力得到力W1、W2和和F。已知。已知W1=600kN，W2=300kN，F=350kN。求此力系分别向。求此力系分别向O和和A点简化的结果。如能点简化的结果。如能进一步简化为一个合力，再求合力作用线的位置。进一步简化为一个合力，再求合力作用线的位置。A1.5m 1.5m1mW1W2FO3m 【解解】1）力系向）力系向O点简化。点简化。力系的主矢力系的主矢
15、FR在在x、y轴上轴上的投影分别为的投影分别为kN350RFXXkN90021RWWYY主矢的大小和方向分别为主矢的大小和方向分别为kN7.96522RYXF68.75 571.2tanXYyA3m1.5m1mW1W2OxFFR1.5m力系的主矩为力系的主矩为 mkN450m)1(m)5.1(m)3(21WWFFMMOOMOyA3m1.5m1mW1W2OxFFR1.5m 主矢主矢FR与主矩与主矩MO还可进一还可进一步简化为一个合力步简化为一个合力FR，其大小、，其大小、方向与主矢方向与主矢FR相同。设合力相同。设合力FR的的作用线与作用线与x轴的交点轴的交点B到到O点的距点的距离为离为d1，由
16、合力矩定理，有，由合力矩定理，有OMdFsin1RMOyA3m1.5m1mW1W2OxFFR1.5m因因 ，故，故RRsinYFm5.0R1YMdOMOyA3m1.5m1mW1W2OxFFRd1B1.5m mkN3150m)4(m)5.1(m)3(21WWFFMMAAyA3m1.5m1mW1W2OxFFRMA 2）力系向）力系向A点简化。主矢点简化。主矢 与上面的计算相同。与上面的计算相同。主矩为主矩为RF1.5m 最后可简化为一个合力，合力作用线与最后可简化为一个合力，合力作用线与x轴的交轴的交点到点到A点的距离为点的距离为m5.3R2YMdAByA3m1.5m1mW1W2OxFFRMA显然
17、，合力作用线仍通过显然，合力作用线仍通过B点点。1.5md2 力系无论向哪一点简化，其最终简化结果总力系无论向哪一点简化，其最终简化结果总是相同的。这是因为一个给定的力系对物体的效应是相同的。这是因为一个给定的力系对物体的效应是唯一的，不会因计算途径的不同而改变。是唯一的，不会因计算途径的不同而改变。【例例4.4】求图示线性分布荷载的合力及其作用线的求图示线性分布荷载的合力及其作用线的位置。位置。O 【解解】离左端点离左端点O为为x处的集度为处的集度为 xllqxq0合力合力FR的大小为的大小为 2dd0000RlqxlxlqxxqFllo 应用合力矩定理，有应用合力矩定理，有 6dd2000
18、0RRlqxxxllqFxFxFMllCOo故合力故合力FR的作用线离的作用线离O点距离为点距离为3266020R20llqlqFlqxC合力合力FR的方向与分布荷载的方向相同。的方向与分布荷载的方向相同。oFR 线分布荷载合力的大小等于荷载图的面积，合力线分布荷载合力的大小等于荷载图的面积，合力的作用线通过荷载图的形心，合力的指向与分布力的指的作用线通过荷载图的形心，合力的指向与分布力的指向相同。向相同。在求解平衡问题时，线分布荷载可以用其合力来在求解平衡问题时，线分布荷载可以用其合力来替换。替换。4.4.1 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即00R
19、OMF 4.4 平面力系的平衡方程及其应用平面力系的平衡方程及其应用（1）基本形式）基本形式000OMYX 前两式称为投影方程投影方程，它表示力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零；后一式称为力矩方程力矩方程，它表示力系中所有各力对任一点之矩的代数和等于零。（2）二力矩式）二力矩式00)0(0BAMMYX或 式中式中A、B两点的连线不能与两点的连线不能与x轴轴(或或y轴轴)垂直。垂直。（3）三力矩式）三力矩式000CBAMMM 式中式中A、B、C三点不能共线。三点不能共线。解题时可以根据具体情况选取某一种形式。平面解题时可以根据具体情况选取某一种形式。平面力系只有三个独立的平衡方程
20、，只能求解三个未知量。力系只有三个独立的平衡方程，只能求解三个未知量。4.4.2 平面力系平衡方程的应用平面力系平衡方程的应用 (1)选取研究对象选取研究对象。根据问题的已知条件和待求量，选择合适的研究对象。(2)画受力图画受力图。画出所有作用于研究对象上的外力。(3)列平衡方程。列平衡方程。适当选取投影轴和矩心，列出平衡方程。(4)解方程。解方程。在列平衡方程时，为使计算简单，通常尽可能选取与力系中多数未知力的作用线平行或垂直的投影轴，矩心选在两个未知力的交点上；尽可能多的用力矩方程，并使一个方程只含一个未知数。【例例4.5】悬臂吊车悬臂吊车如图（如图（a）所示。已知梁）所示。已知梁AB重重
21、W1=4kN，吊重，吊重W=20kN，梁长，梁长l=2m，重，重物到铰链物到铰链A的距离的距离x=1.5m，拉杆拉杆CD的倾角。求拉杆的倾角。求拉杆CD所受的力和铰链所受的力和铰链A处的处的反力。反力。【解解】1)选取研究对象选取研究对象。因已知力和未知力都作用因已知力和未知力都作用于梁于梁AB上，故取梁上，故取梁AB为研究为研究对象。对象。AB 2)画受力图画受力图。作用于梁作用于梁AB上的力有：重力上的力有：重力W1、W，拉杆，拉杆CD的拉力的拉力FT和铰链和铰链A处的反力处的反力FAx、FAy（指向假（指向假定）。这些力组成一个平面力系。定）。这些力组成一个平面力系。ABW1WFAxFT
22、FAyl/2xl30o3)列平衡方程并求解列平衡方程并求解。采用平衡方程的基本形式。先取采用平衡方程的基本形式。先取B点为矩心，列点为矩心，列出力矩方程。出力矩方程。02 01lFxlWlWMAyB得得 Nk7AyFABW1WFAxFTFAyl/2xl30o再取再取y轴为投影轴，列出投影方程轴为投影轴，列出投影方程 0sin 01TWWFFYAy得得 Nk34 TFABW1WFAxFTFAyl/2xl30o最后取最后取x轴为投影轴，列出投影方程轴为投影轴，列出投影方程 0cos 0TFFXAx得得 Nk44.29cos TFFAx FAx、FAy的计算结果为正，说明力的实际方向与假设的计算结果
23、为正，说明力的实际方向与假设的相同。的相同。ABW1WFAxFTFAyl/2xl30o4)讨论。讨论。（a）本题若列出对本题若列出对A、B两点的力矩方程和在两点的力矩方程和在x轴上的投影方程，即轴上的投影方程，即0sin20T1lFWxlWMA 02 01lFxlWlWMAyB 0cos 0TFFXAx则同样可求解。则同样可求解。ABW1WFAxFTFAy (b)本题也可列出对本题也可列出对A、B、C三点的三个三点的三个力矩方程求解，即力矩方程求解，即 0sin20T1lFWxlWMA 02 01lFxlWlWMAyB02tan01WxlWlFMAxC试比较三种解法的优缺点。试比较三种解法的优
24、缺点。CFTABW1WFAxFTFAy 【例例4.6】梁梁AB如图（如图（a）所示。已知）所示。已知F 2 kN，q 1 kN/m，M 4 kN，a 1 m，求固定端，求固定端A处的处的反力。反力。【解解】1)选取研究对象选取研究对象。选取梁选取梁AB为研究对象。为研究对象。AB 2)画受力图画受力图。梁梁AB除受主动力作用外，在固定端除受主动力作用外，在固定端A处还受到约处还受到约束反力束反力FAx、FAy和约束反力偶和约束反力偶MA的作用，指向假定如的作用，指向假定如图所示。图所示。MAFAyFAx 3)列平衡方程并求解列平衡方程并求解。032 0aFMaaqMMAA得得mkN4AM0 0
25、AxFX02 0FaqFYAy得得kN4AyFMAFAyFAx 均布荷载均布荷载q用其合力代替；由于力偶中的两用其合力代替；由于力偶中的两个力在同一轴上投影的代数和等于零，故在列投个力在同一轴上投影的代数和等于零，故在列投影方程时不必考虑力偶。影方程时不必考虑力偶。平面汇交力系平面汇交力系的平衡方程为00YX 平面汇交力系只有平面汇交力系只有两个两个独立的平衡方程，只独立的平衡方程，只能求解两个未知量。能求解两个未知量。【例例4.7】桁架的一个结点由四根角钢铆接在连桁架的一个结点由四根角钢铆接在连接板上构成。已知杆接板上构成。已知杆A和杆和杆C的受力分别为的受力分别为FA=4kN，FC=2kN
26、，方向如图所示。求杆，方向如图所示。求杆B和杆和杆D的受力的受力FB和和FD。【解解】取连接板取连接板为研究对象，受力为研究对象，受力如图所示，其中力如图所示，其中力FB和和FD的方向为假的方向为假设。设。连接板在平面汇交力系连接板在平面汇交力系FA、FB、FC、FD作用下平衡，列出平衡方程作用下平衡，列出平衡方程X=0 FBFC+FDcos45o+FAcos30o=0 Y=0 FAsin30oFDsin45o=0 由式（由式（b）得）得（b）（a）FD=2.82kN将将FD值代入式（值代入式（a），），得得FB=3.46kN 计算结果均为正值，说明杆计算结果均为正值，说明杆B和杆和杆D的实际
27、受力的实际受力方向与图示假设方向相同，即杆方向与图示假设方向相同，即杆B和杆和杆D均受压力。均受压力。平面力偶系的平衡方程为0M 平面力偶系只有一个独立的平衡方程，只能求平面力偶系只有一个独立的平衡方程，只能求解一个未知量。解一个未知量。【例例4.8】图（图（a）所示梁）所示梁AB受一力偶的作用，力受一力偶的作用，力偶的矩偶的矩M=20kNm，梁的跨长，梁的跨长l=5m，求支座，求支座A、B处的处的反力，梁的自重不计。反力，梁的自重不计。l 【解解】取梁取梁AB为研为研究对象。梁在力偶究对象。梁在力偶M和和A、B两处支座反力两处支座反力FA、FB的作用下处于平衡。的作用下处于平衡。0cos M
28、lFB 因力偶只能与力偶平衡，故知因力偶只能与力偶平衡，故知FA与与FB应构成一应构成一个力偶。又个力偶。又FB垂直于支座垂直于支座B的支承面，因而梁的受的支承面，因而梁的受力如图力如图(b)所示。由力偶系的平衡方程，有所示。由力偶系的平衡方程，有l得得 kN62.430cosm5mkN20cos lMFB故故kN62.4BAFF 若平面力系中各力作用线全部平行，称为平面平平面平行力系行力系。若取y轴平行于各力作用线，x轴垂直于各力作用线，显然式自然满足，因此其平衡方程只有两个，即 00OMY 平面平行力系平衡方程的二力矩形式为00BAMM式中式中A、B两点的连线不能平行于各力作用线。两点的连
29、线不能平行于各力作用线。平面平行力系只有两个独立的平衡方程，只能平面平行力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两个未知量。求解两个未知量。【例例4.9】塔式起重机塔式起重机如图（如图（a）所示，机架自重）所示，机架自重W，最大起重荷载为，最大起重荷载为FP，平，平衡锤重衡锤重WQ。已知。已知W、FP、a、b、e、l，欲使起重机满载和，欲使起重机满载和空载时均不致翻倒，求空载时均不致翻倒，求WQ的范围。的范围。FP WQ 【解解】1)考虑满载时的情况考虑满载时的情况。取起重机为研究对象。作用于取起重机为研究对象。作用于起重机上的力有机架重力起重机上的力有机架重力W，起吊，起吊荷载荷载FP，平衡锤重
30、力，平衡锤重力WQ以及轨道以及轨道对轮子的约束反力对轮子的约束反力FA、FB，这些，这些力组成一个平面平行力系。满载时力组成一个平面平行力系。满载时起重翻倒，将绕起重翻倒，将绕B点转动。在平衡点转动。在平衡的临界状态，的临界状态，FA=0，平衡锤重达，平衡锤重达到允许的最小值到允许的最小值WQmin。列出平衡。列出平衡方程方程FP WQFBWbalFWeWPminQ0)(0PminQlFeWbaWMB得得 WQFBWFP 此时，应使起重机不绕此时，应使起重机不绕A点翻点翻倒。在临界平衡状态，倒。在临界平衡状态，FB=0，平衡，平衡锤重达到允许的最大值锤重达到允许的最大值WQmax，列，列出平衡
31、方程出平衡方程 2)考虑空载的情况考虑空载的情况。0 0maxQbeWaWMAabeWW)(maxQ得得Qmax 要保证起重机在满载和空载时均不致翻倒，平要保证起重机在满载和空载时均不致翻倒，平衡锤重衡锤重WQ的范围为的范围为abeWWbalFWe)(QP4.4.4 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题 所谓物体系统物体系统是指由若干个物体通过约束按一定方式连接而成的系统。求解物体系统的平衡问题，通常有以下两种方法。先先取整个物体系统为研究对象，列出平衡方程，解得部分未知量，然后然后再取系统中某个部分（可以由一个或几个物体组成）为研究对象，列出平衡方程，直至解出所有未知量为止。有时有时也可先取
32、部分，再取再取整体为研究对象求解。逐个取物体系统中每个物体为研究对象，列出平衡方程，解出全部未知量。至于采用何种方法求解，应根据问题的具至于采用何种方法求解，应根据问题的具体情况，恰当地选取研究对象，列出较少的方程，体情况，恰当地选取研究对象，列出较少的方程，解出所求未知量。并且尽量使每一个方程中只包解出所求未知量。并且尽量使每一个方程中只包含一个未知量，以避免解联立方程。含一个未知量，以避免解联立方程。【例例4.10】组合梁的荷载及尺寸如图（组合梁的荷载及尺寸如图（a）所示，）所示，求支座求支座A、C处的反力及铰链处的反力及铰链B处的约束力。处的约束力。【解解】1）取取BC为为研究对象，画受
33、力图。研究对象，画受力图。MB 0 FC cos 30(6m)(2063)kNm 0FC 69.28 kN得得 X 0 FB xFC sin 30 0FBx 34.64 kN得得 Y 0 FByFC cos 30(206)kN 0FBy 60 kN 得得FQ 列平衡方程列平衡方程6m 2)取取AB为研究为研究对象，画受力图。对象，画受力图。0 0ByAxFFX0 0ByAyFFYkN64.34BxBxAxFFFkN60ByByAyFFF0 m kN40m)3(0AByAMFM MA 220 kNm 得得得得得得列平衡方程列平衡方程3m 【例例4.11】在图（在图（a）所示结构中，已知）所示结构
34、中，已知F=6kN，q=1kN/m，求支座，求支座A、B处的反力和链杆处的反力和链杆1、2的受力。的受力。【解解】1)取整取整体为研究对象，画体为研究对象，画受力图。受力图。0m)6(m)12(m)10(m)12(0qFFMByAkN11)kN172610(121)kN7210(121qFFBy0m)2(m)6(m)12(m)12(0FqFMAyBkN7kN)62172(121kN)272(121FqFAy得得列平衡方程列平衡方程4m2m2m2m2m 2)取取 CBE为研究对象，为研究对象，画受力图。画受力图。0m)3(m)6(m)4(m)6(m)3(01qFFFMByCF1=8kN（拉力）（
35、拉力）得得列平衡方程列平衡方程2m2m2m3m 3)取结点取结点D为研究对象，为研究对象，画受力图。列平衡方程画受力图。列平衡方程 0sincos 012FFXF2=F1tan =6kN(压力压力)得得 4.5.1 摩擦的概念 前面研究物体的平衡问题时，假定两物体间的接触面是完全光滑的。实际上，这种完全光滑的接触面是不存在的，当两个相互接触的物体产生相对运动或具有相对运动的趋势时，在接触部位会产生一种阻碍对方相对运动的作用，这种现象称为摩擦摩擦，这种阻碍作用，称为摩擦阻力摩擦阻力。4.5 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 物体之间的这种相互阻碍有两种基本形式：一种是阻碍相互接触物体沿接
36、触面公切线方向的相对滑动或相对滑动趋势的作用，这种摩擦现象称为滑动摩擦滑动摩擦，相应的摩擦阻力称为滑动摩擦力滑动摩擦力，简称摩擦力摩擦力。另一种是当两个相互接触的物体产生相对滚动或具有相对滚动的趋势时，在接触部位将产生阻碍对方相对滚动的作用，这种摩擦称为滚动摩擦滚动摩擦，相应的摩擦阻力是一个力偶，称为滚动摩擦阻力偶滚动摩擦阻力偶，简称滚阻滚阻力偶力偶。本节只考虑滑动摩擦的情况。摩擦是自然界最普遍的一种现象，不过在有些问题中，接触面确实比较光滑或有良好的润滑条件，以致摩擦力与物体所受的其他力相比小得多，属于次要因素，可以忽略不计。然而在另一些问题中，摩擦起着主要作用，必须加以考虑。例如，胶带轮靠
37、摩擦实现运动的传递，车辆的起动与制动都要靠摩擦等等。另外，摩擦阻力会消耗能量，产生热、噪声、振动、磨损，特别是在高速运转的机械中，摩擦往往表现得更为突出。4.5.2 滑动摩擦定律 1静滑动摩擦 将重为W的物块放在水平面内，并施加一水平力F(图1)。当力F较小时，物块虽有沿水平面滑动的趋势，但仍保持静止状态，这是因为接触面间存在一个阻碍物块滑动的力Ff。它的大小由平衡方程求得，Ff=F，方向与相对滑动趋势的方向相反（图1）。这个力就是水平面施加给物体的静滑动摩擦力，简称静摩擦力。若F=0，则Ff=0，即物体没有相对滑动趋势时，也就没有摩擦力；当F增大时，静摩擦力Ff也随着增大。当F增大到某一数值
38、时，物块处于将动而未动的临界平衡状态，这时静摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力，用Ffmax表示。由上可知，静摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反，大小随主动力的变化而变化，变化范围在零与最大值之间，即 0FfFfmax 大量实验证明，最大静摩擦力的大小与接触面间的正压力（即法向反力）成正比，即 Ffmax=fsFN Ffmax=fsFN 这就是静滑动摩擦定律（又称库仑静摩擦定律）。式中比例系数f称为静摩擦因数静摩擦因数，它的大小与两物体接触表面的材料性质和物理状态（光滑度、温度、湿度）有关，但与接触面积无关，一般可由实验测定，其数值可在工程手册中查到。2动滑动摩擦 当两个相互接触的物体产生相
39、对滑动时，在接触面间将产生阻碍相对滑动的力。这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力动摩擦力，以Ff表示。大量实验证明，动摩擦力的方向与物体接触部位相对滑动的方向相反，大小与接触面之间的正压力(即法向反力)FN成正比，即 Ff=fFN 这就是动滑动摩擦定律动滑动摩擦定律，简称动摩擦定律动摩擦定律。式中比例常数f称为动摩擦因数动摩擦因数。一般情况下，动摩擦因数厂略小于静摩擦因数f。在一般工程计算中，可近似认为ffs。三、摩擦角与自锁 1摩擦角 当物体与支承面之间存在摩擦并处于平衡状态时，支承面对物体的约束反力包含：法向反力FN和切向反力Ff(即静摩擦力)，两者的合力称为全约束反力全约束反力，它的作
40、用线与接触面的公法线之间的夹角为 【图2(a)】。当物块处于临界平衡状态时，静摩擦力达到最大值，角 也达到最大值 m，角 m称为摩擦角摩擦角。由图2(b)可得sNNSNfmfFFfFFmaxtan即摩擦角的正即摩擦角的正切等于静摩擦切等于静摩擦因数因数。2自锁现象 当物体处于临界平衡状态，滑动趋势的方向改变时，全约束反力作用线的方位也随之改变。如通过全约束反力作用点在不同的方位作出全约束反力的作用线，则这些直线将形成一个锥面，称为摩擦锥。如沿接触面的各个方向的摩擦因数都相同，摩擦锥是一个顶角为2 m的圆锥。由于静摩擦力可在零与Ffmax之间变化，所以角也在零与摩擦角 m之间变化，即 因此，全约
41、束反力的作用线，必在摩擦锥之内。m0 如果作用于物体上的全部主动力的合力F的作用线在摩擦锥之内图3(a)，则无论这个力多大，支承面总会产生一个全约束反力凡与之平衡，使物体保持静止。这种现象称为自锁现象。反之，如果全部主动力的合力F的作用线在摩擦锥之外图3(b)，则无论这个力多小，物体将发生运动。自锁现象在工程中有广泛的应用。例如螺旋千斤顶举起重物后不会自动下落就是一种自锁现象。而在另一些问题中，则要设法避免产生自锁现象。例如工作台在导轨中要求能顺利滑动，不允许发生卡死现象（即自锁）。4.5.4 考虑摩擦时物体平衡问题的解法 考虑有摩擦的平衡问题，在加上静摩擦力之后，就和求解没有摩擦的平衡问题一
42、样。不过应注意，静摩擦力的方向总是与相对滑动趋势的方向相反，不能假定。另外，静摩擦力的大小有个变化范围，相应地平衡问题的解答也具有一个变化范围。因此，解决这类问题要分清两种情况：一种是临界平衡分析，此时物体处于临界平衡状态，可列出Ffmax=fsFN作为补充方程；另一种是平衡范围分析，此时摩擦力Ff还未达到最大值，可列出0FfFfmax，作为补充方程。【例4.12】电工攀登电线杆用的套钩图4(a)与杆之间的静摩擦因数为f，人重为W，电线杆直径为d，A、B两点间铅垂距离为b。求欲使人站在套钩上不致下滑的最小距离l。【解】取套钩为研究对象，设其处于临界平衡状态，受力如图4(b)所示。列平衡方程0
43、0NBNAFFX 得0 0maxmaxWFFYBfAf由静滑动摩擦定律，列出补充方程NASAfFfFmaxNBsBfFfF.maxFFFNBNA 联立以上四式解得 再列出平衡方程sNfWF20 0bFlWMNO得 sfbl2 所以只要 ，无论人的重力有多大，套钩都不会下滑，这也是自锁现象在实际中的一个应用。sfbl2【例4.13】梯子重为Wl，重心在中点，靠墙放置如图5(a)所示，已知墙面光滑，梯子与地面间的静摩擦因数为fs，人重为W2，问要保证人能安全爬到梯顶，角的最小值？【解】取梯子为研究对象，设其处于临界平衡状态受力如图5(b)所示。列平衡方程 得0 021WWFYNB21WWFNB0c
44、os2sin2cos 0max1lFlFlWMNBBfA 由静滑动摩擦定律，列出补充方程 联立求解式(a)、(b)、(c)，得NBsBfFfF.max)(2tan2112WWfWWs故)(2tan2112WWfWWarcs 要保证人能安全爬到梯顶，应使)(2tan2112WWfWWarcs 例3 鼓轮受到M=0.8Nm的力偶矩驱动，为了阻止其转动，用图6(a)所示制动装置制动，已知BC上AB，不计各杆自重，各部分尺寸如图所示，鼓轮与两杆接触面间的静摩擦因数均为fs=0.2，求最小水平刹车力F的值。【解】当轮子刚能停止转动时，力F的值最小，此时轮子处于临界平衡状态。先取BC为研究对象，受力如图6
45、(b)所示。列平衡方程002.008.008.0 01max1fNBFFFM其中11maxNsfFfF 解得 再取鼓轮为研究对象，受力如图6(c)所示。列平衡方程FFN9524.010 021rfFrfFMMosNsN得12NsNFrfMF 最后取制动杆为研究对象，受力如图6(d)所示。列平衡方程 将式(a)、(b)代入式(c)，解得02.028.008.008.0 021max1NfNAFFFFMNF38.40本章小结和学习要求本章小结和学习要求 1.掌握平面汇交力系和平面力偶系的合成。（1）平面汇交力系可合成为一个合力，合力等于力系中各力的矢量和，合力作用线通过力系的汇交点。（2）平面力偶
46、系可合成为一个合力偶，合力偶的矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。2.理解力的平移定理。了解平面力系的简化理论和简化结果。（1）力的平移定理：作用于刚体上的力，可平行移动到刚体内任一指定点，但必须在该力与指定点所决定的平面内同时附加一力偶，此附加力偶的矩等于原力对指定点之矩。（2）平面力系向一点的简化结果，一般可得到一个力（主矢）和一个力偶（主矩），而其最终结果为三种可能的情况：可简化为一个合力偶，可简化为一个合力，为平衡力系。3.熟练掌握力在坐标轴上投影的计算。（1）已知力求投影。力在某轴上的投影等于力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦。当当、为钝角时，可先根据力与某轴所夹的锐角来计算力在该为钝
47、角时，可先根据力与某轴所夹的锐角来计算力在该轴上投影的绝对值，再由观察来确定投影的正负号。轴上投影的绝对值，再由观察来确定投影的正负号。coscosFYFX（2）已知投影求力。若已知力F在直角坐标轴上的投影X、Y，则力F的大小及方向为XYYXFtan22 4.理解各种平面力系的平衡方程，熟练掌握运用平衡方程求解单个物体和物体系统的平衡问题。（2）运用平衡方程求解平衡问题的步骤。1）选取研究对象。根据问题的已知条件和待求量，选择合适的研究对象。2）画受力图。画出所有作用于研究对象上的外力。3）列平衡方程。适当选取投影轴和矩心，列出平衡方程。4）解方程。（3）运用平衡方程求解平衡问题的技巧。1）尽可能选取与力系中多数未知力的作用线平行或垂直的投影轴。2）矩心选在两个未知力的交点上。3）尽可能多的用力矩方程，并使一个方程只含一个未知数。（4）物体系统平衡问题的解法。1）先取整个物体系统为研究对象，列出平衡方程，解得部分未知量，然后再取系统中某个部分（可以由一个或几个物体组成）为研究对象，列出平衡方程，直至解出所有未知量为止。有时也可先取某个部分为研究对象，解得部分未知量，然后再取整体为研究对象，解出所有未知量。2）逐个取物体系统中每个物体为研究对象，列出平衡方程，解出全部未知量。（5）考虑摩擦时的平衡问题 滑动摩擦定律 有摩擦的平衡问题
