1、第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第三章第三章 微分中值定理微分中值定理与导数的应用与导数的应用一一.罗尔中值定理罗尔中值定理二二.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理三三.柯西中值定理柯西中值定理*罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理 微分中值定理*一、费马一、费马(Fermat)引理引理x0()在有定义,在有定义,且)(0 xf 存在,)()(0 xfxf()或或 0)(0 xf)(xfy 即：可导的极值点处，导数为零即：可导的极值点处，导数为零*Oxy)(xfy ab0 xP费马定理的几何解释 如何证明？*费费 马马Pierre de Fermat(16011665)费马，法国数学家
2、费马，法国数学家.出身于一个商人出身于一个商人家庭家庭.他的祖父、父亲、叔父都从商他的祖父、父亲、叔父都从商.他他的父亲是当地的第二执政官的父亲是当地的第二执政官,经办着一个经办着一个生意兴隆的皮革商店生意兴隆的皮革商店.费马毕业于法国奥尔良大学，以律师费马毕业于法国奥尔良大学，以律师为职为职.曾任图卢兹议会会员曾任图卢兹议会会员,享有长袍贵享有长袍贵族特权族特权.精通精通 6 种语言种语言.业余爱好数学并业余爱好数学并在数论、几何、概率论、微积分等领域内在数论、几何、概率论、微积分等领域内作出了创造性的工作作出了创造性的工作.1637,年费马研究丢番图的算术时写下了著名的年费马研究丢番图的算
3、术时写下了著名的:费马大定理费马大定理nnnxyznxyz (2),.不存在满足的正整数不存在满足的正整数费马大定理被称为费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡会下金蛋的母鸡”.*费马费马(Fermat)引理的证明引理的证明,)(0有定义在x)(0 xf 存在00()()()(),f xf xf xf x且或且或0)(0 xf证证:设,)()(,)(0000 xfxxfxxx则)(0 xf xxfxxfx)()(lim0000)(0 xf)(xfy 0000()()()lim0,xf xxf xfxx 0000()()()lim0,xf xxf xfxx *二二.罗尔中值定理罗尔中值定理设设;),(
4、)()1(baCxf;),()()2(内可导在baxf,)()()3(bfaf则至少存在一点则至少存在一点.0)(,),(fba使得*Oxy)(xfy abAB 实际上,切线与弦线 AB 平行.罗尔定理的几何意义罗尔定理的几何意义*),()(baCxf上取到它的最大值、必在 ,)(baxf最小值至少各一次.)(min ,)(max ,xfmxfMbaxbax令mM )1(若 ,)(baxMxfm ,)(baxmxf.0)(,),(fba均有故证证*)()2(mMMm即若),()(baCxf上取到它的最大值、必在 ,)(baxf,)()(bfaf又.)(mMbxaxxf和处分别取到和不能同时在故
5、使得即至少存在一点 ,),(ba.)()(mfMf或该点是极值点，由费马定理可知：.),(0)(baf*注意注意:1)定理条件条件不全具备定理条件条件不全具备,结论不一定成立结论不一定成立.例如例如1,010,)(xxxxfx1yo 1,1)(xxxf 1,0)(xxxfx1yo1x1yo2)定理条件只是充分条件定理条件只是充分条件*验证它在区间，上满足罗尔定理验证它在区间，上满足罗尔定理 1 3.fxxxf ()222(1)(1)0事实上，事实上，Qf xff()(1)0,(3)0在区间端点处在区间端点处f 1 3()0.在，中有一点，使得在，中有一点，使得 例1证证2()23f xxxQ它
6、是多项式，所以连续可导它是多项式，所以连续可导2()23,f xxx2()23(1)(3),f xxxxx且且所以函数在-1,3上满足罗尔定理的3个条件.*a b cabc,设设皆皆为为实实数数 ,)()()(cxbxaxxffx()0,.证证明明方方程程仅仅有有二二个个实实根根 并并指指出出根根所所在在区区间间 ,),()(cbbaCxf,0)()()(cfbfaf又f x(),(,),是是三三次次多多项项式式故故它它在在内内可可微微 abbc ,分分别别在在上上运运用用罗罗尔尔中中值值定定理理得得 .0)()(21ff例2证证其中,.),(,),(21cbbafx ()0 .即至少有二个实
7、根即至少有二个实根 (),f x 是三次多项式是三次多项式fx (),是二次多项式是二次多项式 fx()0 .至多有二个实根至多有二个实根 0fx()仅有二个实根仅有二个实根*证明内可导在设 ,),(,),()(babaCxf)()()()(222xfabafbfx .),(内至少有一根在ba例3证证)()()()()(222xfabafbfxxF令 ,)(得的连续性和可导性则由xf(),()(,),F xC abF xab在内可导在内可导)()()()(22afbbfabFaF又由罗尔定理,至少存在一点使得),(ba0)()()()(2)(22fabafbfF.),(内至少有一根方程在即ba
8、*例例4.证明方程证明方程0155 xxf xxx5()51,ff(0)1,(1)3.f x0()0,有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的正实根的正实根.证证:1)存在性存在性.x0(0,1),使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根x0.2)唯一性唯一性.xxx110(0,1),假设另有假设另有f x1()0,使使4()5(1)0,0,1fxxx之间在10,xx至少存在一点至少存在一点,.0)(f使但但矛盾矛盾.*三.拉格朗日中值定理设(1)(),;f xC ab,),()()2(内可导在baxf则至少存在一点(,),a b 使使abafbff)()()(xyoab)(xfy 几何意
9、义几何意义*作辅助函数作辅助函数显然显然,(),xC a bD a b 且且证法证法1:问题转化为证问题转化为证x()f x()f bf axba()()a()由罗尔定理知至少存在一点由罗尔定理知至少存在一点a b(,),()0,使使 即定理结论成立即定理结论成立.b(),bf aa f bba()()f bf afba()()()0 ()()()f bf afba*定理中的公式均可写成还是不论 baba),()()()(之间在baabfafbf拉格朗日有限增量公式1)(0 )()()(xxxfxfxxf)()(之间与在xxxxfy*Oxy)(xfy abAB 切线与弦线 AB 平行)()()
10、()(axabafbfafyAB的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？证法证法2*)()()()()()(axabafbfafxfx令则由已知条件可得：,),()(baCx.),()(内可导在bax,0)()(ba且故由罗尔定理,至少存在一点使得 ,),(ba0)()()()(abafbff)()()(abfafbf即*()0()fxf xC12212121()()()()()()xx f xf xf xx=0f xf xf xC推论推论 1推论推论 2 .,I,1221xxxx不妨设 )()()()(211212xxxxfxfxf,)()(,I 0)(12xfxfxxf则若,)()(,I 0)(
11、12xfxfxxf则若00 f x,fx fx,()I()()若若在在区区间间 可可导导且且 f x I ()()则在区间上单调增加 减少 则在区间上单调增加 减少*,0 时当证明：ba.lnaababbab)(1lnln)(1 abaababb即要证,b ,ln)(axxxf令,)(理条件上满足拉格朗日中值定在则baxf故,)(1lnlnbaabab从而 .lnaababbab例5证证*.,1 xeexx 时当证明：11xeexxxxlnlnln ()即要证即要证 ,1 ln)(则由拉格朗日中值定理令xtttf).1(,1)1(11lnln xxxx得 .,1 exexx 时故当例6证证11
12、lnln1.xx 证证2 xf xeex=令，令，=01xfxeex 1,fx在上单调增加在上单调增加 1=011=0fxf xf时,*.1 ,1 ,2arccosarcsin xxx证明：,0)11(11)arccos(arcsin22xxxx,1 ,1 时当x)1 ,1(arccosarcsin xCxx故从而计算得取 ,2 0 Cx .)1 ,1(2arccosarcsinxxx例7证证 ,)1 ,1 ()arccos(arcsin 可得由Cxx .1 ,1 2arccosarcsinxxx*.)1ln(,0 xxx时：证明,),0 ,)1ln()(xxxxf令,),0 ()(Cxf则,
13、0)0(f又,)0(,0111)(时xxxf故,)(),0 xf从而 ,)0(,0)0()(xfxf即.)1ln(,0 xxx时例8证1ln(1)0ln(1)ln(10)xxxx ()ln 10,令在上 用拉格朗日中值定理令在上 用拉格朗日中值定理 f tt x 证2 1ln 1ln 1ln 10(0).1得得x=xxx,x *.1)1ln(,0 xxxx时：证明,)1ln()(xxf令.),0 ,1)(xxxxg则.0)0()0(gf又,11)(xxf,)1(1)(2xxg且,),0(,)()(xxgxf故,),0(,)()(xxgxf即.1)1ln(,0 xxxx时,)(0,)(),(内可
14、导在xgxf例9证证*四四.柯西中值定理柯西中值定理设;),()(,)()1(baCxgxf,),()(,)()2(内可导在baxgxf则至少存在一点 ,),(使得ba)()()()()()(gfagbgafbf()0,g x(3)*的参数方程为设弧 AB ,)()(battgxtfy斜率为上任意一点处的切线的则弧 AB)()(ddtgtfxy 的斜率为而弦 AB)()()()(agbgafbfkOxyAB)(xfy 在拉格朗日中值定理中,将曲线用参数方程表示,会出现什么结论？柯西中值定理的几何意义柯西中值定理的几何意义:*,P至少存在一点由拉格朗日中值定理使曲线在该点的切线与弦线平行,即它们
15、的斜率相等.则有点设对应于 ,tP)0)()()()()()(tggfagbgafbf注意:并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定.,)()(真正具有任意性时与当tgtf.上述结论就是柯西定理 )()(之间与中曲线的参数方程表示式tgtf*有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了.,),()(,)(baCxgxf,),()(,)(内可导在baxgxf)()()()()()(gfagbgafbf故,0)(xg且条件满足拉格朗日中值定理上在 ,)(,)(baxgxf 相同吗？两个*证法证法1:()()()()()()()f bf axF xf xF bF a()()()()(
16、)()()()f b F af a F babF bF a且且a b(,),使使()0,即即由罗尔定理知由罗尔定理知,至少存在一点至少存在一点()()().()()()f bf afF bF aF,),(,)(内可导内可导在在上连续上连续在在则则babaxf()()()()()()()0()()()()()f bf aff bf aFfF bF aFF bF a作辅助函数作辅助函数*)()()()()()()(xfagbgxgafbfxF令 ,bax.),()(,),()(内可导在则baxFbaCxF)()()()()()(afbgbfagbFaF又故 由罗尔中值定理至少存在一点 ,),(ba
17、使得0)()()()()()(fagbggafbf即 ,0)(F)()()()()()(gfagbgafbf亦即.),(ba证法证法2*RolleLagrangeCauchy图形旋转参数方程xxg)()()(bfaf*)0()1(ff)0()1(FF例例10.(1)(0)()102fff2()()fxxxF xx2(),0 10 1f x(),(,),设在连续 在可导 求证设在连续 在可导 求证(0,1),()2 (1)(0).fff 使使证证:结论可变形为结论可变形为设设则则f xF x(),()在在 0,1 上满足柯西中值上满足柯西中值定理条件定理条件,因此在因此在(0,1)内至少存在一点
18、内至少存在一点 ,使使)(f)(F012即即()2 (1)(0)fff*例例110 abf xa ba ba bbf aaf b f()-f()ba,(),(,),:(,),()().设设函函数数在在上上连连续续 在在内内可可导导试试证证 至至少少存存在在一一点点使使得得111f bf af xbaF xG xxxbaa b()()().(),(),右边可写成令右边可写成令它们在上满足柯西中值定理的条件它们在上满足柯西中值定理的条件证证FF bF abf baf aGG bG aba()()()()()()()()且有且有 221xfxf xFGxxbf aaf bffba()()(),()(
19、)()()-()将代入得将代入得*11lncos1lnln1lnsinlnsineef effeF eFF()(1)(),(1,)()(1)()例例12.试证至少存在一点试证至少存在一点e(1,)使使sin1cosln.lncos1sin 证法证法1：用柯西中值定理用柯西中值定理.f xxF xx()sinln,()ln则则 f(x),F(x)在在 1,e 上满足柯西中值定理条件上满足柯西中值定理条件,令令因此因此 11coslnsin1cosln 即即分析分析:*试证至少存在一点试证至少存在一点),1(e使使.lncos1sin证法证法2 ：令令xxflnsin)(则则 f(x)在在 1,e
20、 上满足罗尔中值定理条件上满足罗尔中值定理条件,),1(e使使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在因此存在x1xln1sin*大量,为此,我们称这类极限为“不定式”,.00或我们知道:两个无穷小量或两个无穷大量的商的极限,随着无穷小量或无穷大量的形式不同,极限值可能存在、也可能不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷记为:第二节第二节 罗必达法则罗必达法则*罗必达法则设在某一极限过程中 00 ,0)(lim ,0)(lim )1(xgxf ,)(lim ,)(lim xgxf,)(,)(,)2(存在在该极限过程中xgxf,0)(xg且()(3)lim ,()fxg
21、x存在或.)()(lim)()(lim xgxfxgxf则有*,)(,)(,)2(存在在该极限过程中xgxf解释：是指：,0 xx 若极限过程为.)(U )(,)(0存在在则xxgxf,x若极限过程为.|)(,)(存在当则Xxxgxf*.0时情形先证xx,0)(lim ,0)(lim 00 xgxfxxxx由于 ,)(,)(0总可令处是否连续在故不论xxgxf,0)(,0)(00 xgxf内从而在成为连续函数使得)U(,)(,)(0 xxgxf可选择适当区间来运用柯西中值定理.型就可将令 )(1)(,)(1)(21xgxxfx.00 型转换为证证的极限过程转换则可将令 ,1 xtx.0)(0
22、0的极限过程为tt*在运用罗必达法则时,不存在如果)()(lim xgxf但也不是无穷大,则不能说明不存)()(limxgxf在.此时应重新另找其它方法进行计算.罗必达法则只限于求,00型的极限和其它类型的不定型应首先化成这两种形式才能用罗必达法则.*在运用罗必达法则求极限过程中在运用罗必达法则求极限过程中,极限存极限存在并且不等于零的因子可以提出来在并且不等于零的因子可以提出来,这样这样可使问题简化可使问题简化.在运用罗必达法则求极限过程中在运用罗必达法则求极限过程中,尽可能尽可能运用等价无穷小替代运用等价无穷小替代方法方法,它往往可使问它往往可使问题得到明显的简化题得到明显的简化.*如果在
23、使用罗必达法则后,仍是)()(limxgxf,00型或仍满足罗必达法且)(,)(xgxf则条件,则可继续使用罗必达法则.使用罗必达法则要使用罗必达法则要注意观察条件是否注意观察条件是否满足满足,不然会出错不然会出错.*.1lim 20 xxexx求0012lim1lim020 xexxexxxx1此题不用罗必达法则此题不用罗必达法则,用等价无穷小替代也可用等价无穷小替代也可.例1解解4216 lim.2xxx求0032例解解324 lim.1xx4216 lim.2xxx此题不用罗必达法则此题不用罗必达法则,用消去零因子用消去零因子(X-2)也可也可.*.lnlim xxx求11limlnli
24、mxxxxx01limxx例2解解qpxxxln lim=0.p,q0类似地:类似地:*.sinlim xxxx求)cos1(limsinlim xxxxxx不存在,故不能用罗必达法则求此极限.sin1 lim lim(1sin )1.xxxxxxx实际上小 心！例3解解11sinsin lim lim1.1cos1cosxxxxxxxxxx*.sintanlim20 xxxxx解解:注意到注意到sin,xx 故原式故原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxx31注注:洛必达法则可与其他方法结合使用洛必达法则可与其他方法结合使用!例4201 tanlim
25、3xxx*.sintanlim 0 xxxxx求00 xxxxxxxxcos11seclimsintanlim200 xxxxsinsectan2lim20(等价无穷小替换等价无穷小替换)在使用罗必达在使用罗必达法则时法则时,要注要注意进行化简或意进行化简或等价无穷小替等价无穷小替换换,它会使问它会使问题变得简单题变得简单.连续使连续使用罗必用罗必达法则达法则00例5解解202lim2cosxxxx*lim,0,.nxxxnZe1limlimnnxxxxxn xee22(1)limnxxnnxe0 如果 n不是正整数,怎么办？例6解解!limnxxne*lim0,(0,0)xxxe x 从而从
26、而xxe kxxe 1kxxe 由由1limlim0kkxxxxxxee lim0 xxxe 用夹逼准则用夹逼准则kx 1kx 存在正整数存在正整数 k,使当使当 x 1 时时,ln!(1,0)qpnnnnannap q 一般地：时n *.lim 100102xexx求001021010010 50 lim lim22xexexxxx00你还打算做下去吗你还打算做下去吗?这样做这样做,分母中分母中 x 的次数将越来越高的次数将越来越高,而分子不变而分子不变,极限始终无法求出极限始终无法求出.例7解解*将原极限稍加变形:221100010010lim limxxxxexxe21310102100
27、limxxexx2198050limxxex次500!50lim210 xxe.lim 100102xexx求00例7解解1:*22211100100010001t=lim lim limtxxtxtteetxet .lim 100102xexx求00例7解解2:变量替换*除 外,00,0,1,00.0其中,;0表示无穷小量;表示无穷大量.1 1为极限的变量表示以其它类型不定式的极限其它类型不定式的极限以下各类极限也为不定式的极限：*00 0 1 00 0倒数法倒数法只需讨论只需讨论这两种极限这两种极限幂指类型不定式的极限通过幂指类型不定式的极限通过 lnlng xg xf xNNef xe转
28、换为转换为0*下面的介绍的是利用倒数法或取对数法将其它的不定型转化为可以运用罗必达法则计算的例题.*.lnlim 0 xxx求0 xxxxxx1lnlimlnlim000)(lim11lim020 xxxxx倒数法.用另一种形式颠倒行不行?行,但繁些.存在一个选择问题.例8解解*.ln11 lim 1xxxx求这种形式可以直接通分.xxxxxxxxxxln)1()1(ln lim ln11 lim 11001lnln lim1xxxxxx002111ln1ln lim1xxx例9解解*例10解解.1sin1lim 220 xxx求xxxxxxxx22220220sin sin lim1sin1
29、limxxxxxxx220sin)sin)(sin(limxxxxxxxxxsinsinlim sinsinlim20030sinlim2xxxxxx sin203cos1lim2xxx221cos1xx31321lim2220 xxx极限不等于极限不等于零的因子零的因子*.lim0 xxx型00解解:xxx0lim0lnlim1ln0limxxxxxxee例11210100exp limexp lim1xxxxxe0lnexplim1xxxexp 规定：规定：xex*.arctan2lim ln1xxx求00 xxxln1arctan2lim ln)arctan2 ln(limexpxxx)
30、arctan2 ln(ln1 explimxxx0例12解解 2arctan1limexp2xxxx00 11limexp22xxx1 e*.)1(lim 110 xxxex求1运用取对数法.原式)1ln(lim exp20 xxxx000111explim 2xxx1201exp lim 2(1)xex例13解解*解解xxx111lim.求求)1(xxxe1ln11lim原式原式 xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 xxxxe11ln(cot)lnln(cot)因因为为 )ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin
31、1cot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .1 e原式原式例14例15*.)(111 lim 2nnnn求这是数列的极限xxnnxxnn)()(111 lim 111 lim22xxxx1)111 (lnlimexp2tttt)1 (lnlimexp20 xt1e罗必达例16解解此题也可用重要极限的方法来求解此题也可用重要极限的方法来求解.2211 11 1 22111lim111limnnnnnnnnnnnn .e*xxxx xx1lim1ln求求 例17解解00 xxxxxxxxee xxxxlnln11limlim1ln1ln xxxxxee xxlnlnln11lim1
32、ln xxxx xx1lnlnlim1ln xx eln1lim1注意：注意：xxxxxx xx2112111ln1limlim2111 (等价无穷小替换等价无穷小替换)*,1,00.0幂指类型不定式的极限通过幂指类型不定式的极限通过 lnlng xg xf xNNef xe转换为转换为0*公式公式 称为称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.)(xf公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的拉格朗日型余项拉格朗日型余项.一、泰勒公式（一、泰勒公式（拉格朗日型余项拉格朗日型余项）:f xxa b0()(,)若在包含的某开区间内具有若在包含的某开区间内具有n1直到直到 阶的导数阶的导数,),(
33、bax时时,有有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中其中10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR 则当则当)0(之间与在xx第三节第三节 泰勒（泰勒（Taylor）公式）公式*特例特例:(1)当当 n=0 时时,泰勒公式变为泰勒公式变为)(xf)(0 xf)(0 xxf(2)当当 n=1 时时,泰勒公式变为泰勒公式变为得到得到拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 误差误差)(x
34、f)(0 xf)(00 xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx*称为称为麦克劳林（麦克劳林（Maclaurin）公式）公式.,)10(,00 xx则有则有)(xf)0(fxf)0(1)1(!)1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fx
35、f)0(,)()1(Mxfn则有误差估计式则有误差估计式1!)1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上若在公式成立的区间上由此得近似公式由此得近似公式*Taylor公式（公式（Peano型余项型余项):)()(0nnxxoxRf xxx00()若在 处具有具有n阶导数，那么存在 的若在 处具有具有n阶导数，那么存在 的)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中其中定性分析定性分析时，不需要余项的精确表达式时，不需要余项的精确表达式,可可用用Peano型型泰勒公式；泰勒公式；定量分析定
36、量分析时，需要余时，需要余项的精确表达式，用项的精确表达式，用lagrange型型Talor公式。公式。x一个邻域，对于该邻域内的任何,有一个邻域，对于该邻域内的任何,有*泰勒公式的证明泰勒公式的证明*()()()nnf xpxR x)(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp在微分应用中已知近似公式在微分应用中已知近似公式:如果如果xx 的一次多项式的一次多项式2010200()()()()nnnpxaa xxaxxaxx(),()nnpxR x满足什么条件？满足什么条件？*1.n 次近似多项式次近似多项式的要求的要求:()npx1202!
37、(),afx,()10!()nnnafx故故21000002!()()()()()()f xf xfxxxfxxx()100!()()nnnfxxx若若则则00(),af x10(),afx 2010200()()()nnf xaa xxaxxaxx 2()1100000002!()()()()()()()nnnnpxf xfxxxfxxxfxxx记记*)0(之间与在nx )()(10nnxxxR )(2)1()(0)(xnRnnnn2.余项估计余项估计)()()(xpxfxRnn令(称为余项),)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(01
38、1 )(1()(011nnxnR1022)()1()(nnxnnR!)1()()1(nRnn则有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之间与在xx)102(之间与在x*)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR!)1()()1(nRnn)0(之间与在xx,0)()1(xpnn10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnnnxfxM(1)0()当在的某邻域内时当在的某邻域内时 )0(之间与在xx10!)1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn*解解1:用泰勒公式用泰勒公式f xfxfxx()()0,()0
39、0,设具有二阶导数，且，设具有二阶导数，且，若则若则 ()0;()0;()0;()0AdyyBydyCydyD dyy 20001()()()()2f xxf xfxxfx 21()2ydyfxdy ()0,00fxxy 201()()2yfxxfx B选选*解解2:2:用拉格朗日中值定理用拉格朗日中值定理f xfxfxx()()0,()00,设具有二阶导数，且，设具有二阶导数，且，若则若则 ()0;()0;()0;()0AdyyBydyCydyD dyy 0000()()(),yf xxf xfxxxx 00()()yfxfxx 000()()(),ffxfxxB选选 0()dyfxxdy
40、*二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xexf)()1(,)()(xkexf),2,1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中其中)(xRn!)1(n)10(1nxxe*)sin(xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x!)12(12mxm)(2xRm其中其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,)1(1m),2,1(m1)1(m)10(12mx!)12(m)cos()1(xm*!)2(2mxmxxfcos)()3(类似可得类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中其
41、中)(12xRm!)22(m)cos()1(1xm)10(m)1(22mx*)1()1()()4(xxxf)()(xfk)1(x1x2xnx)(xRn其中其中)(xRn11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(kxk)1)(1()1()1()1()0()(kfk),2,1(k!2 )1(!n)1()1(n*)1()1ln()()5(xxxf已知已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中其中)(xRn11)1(1)1(nnnxxn)10(1)1(n类似可得类似可得)()(xfkkkxk)1(!)1()1(1),2,1(k*常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()
42、1(!5!3sin221253 nnnxonxxxxx )()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx )(1112nnxoxxxx nnnxxxxo xn2(1)(1)(1)(1)1()2!nxnxxxexxn2312!3!*，由泰勒公式由泰勒公式22()()()(0)(0)22fff xffxxx 0()(0)(0)0limxf xffx证明证明0()0limxf xx0)0(f由所给条件由所给条件及在及在x=0 连续知连续知 所以所以 2()111(),02nnffnnn201111()()()(0)22
43、2limlimlimnnnnnn ffffn例例1 设设)(xf0 x0()lim0,xf xx在在的某一邻域内具有二阶连续导数，的某一邻域内具有二阶连续导数，且且 证明证明211lim()(0)2nnffn*2.利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例2.求求.43443lim20 xxxx解解:由于由于x431243 x21)1(243x 2)(14321x!21)1(2121243)(x)(2xo用洛必塔法用洛必塔法则不方便则不方便!2x用泰勒公式将分子展到用泰勒公式将分子展到项项,11)1(!)1()()1(nnxxnnnx!n)1()1(n)1(x1x2x!2 )1()10(x342
44、1)1(243x2xx20 lim原式原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox*计算计算 403cos2lim2xxexx .解解)(!2114422xoxxex )(!4!21cos542xoxxx )()!412!21(3cos2442xoxxex xxo xx44407()12lim原式原式 .127 例例3.*例例4.求求2lim(arctanarctan)(0)1naanann 解法解法1 利用中值定理求极限利用中值定理求极限原式原式naannn221lim()11 之间）与在1(nana22lim(1)1nnan n a*
45、解法解法2 利用泰勒公式利用泰勒公式令令,arctan)(xxf则则,11)(2xxf22)1(2)(xxxf)()0()0()0()(22!21xoxfxffxf)(2xox原式原式2lim nn)0()1arctan(arctanlim2ananann22112)()1(limnnnonnnaa)1(2nona)1(1(12nona*解法解法3 利用罗必塔法则利用罗必塔法则)0()1arctan(arctanlim2ananann原式原式21arctanarctanlimxxbxaxxt1令20arctanarctanlimtt bt at*11)1(!)1()()1(nnxxnnnx!n
46、)1()1(n)1(x1x2x!2 )1()10(3.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例5.证明).0(82112xxxx证证:21)1(1xx21x2)121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx)10(3225)1(161821xxxx)0(82112xxxx*三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差误差1!)1()(nnxnMxRM 为为)()1(xfn在包含在包含 0,x 的某区间上的上界的某区间上的上界.需解问题的类型需解问题的类型:1)已知已知 x 和误差限和误差限,要求确定项数要求确定项数 n;2)已知
47、项数已知项数 n 和和 x,计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;3)已知项数已知项数 n 和误差限和误差限,确定公式中确定公式中 x 的适用范围的适用范围.)(xf)0(fxf)0(2!2)0(xf nnxnf!)0()(*已知例例1.计算无理数 e 的近似值,使误差不超过.106解解:xe!)1(nxe1nx令 x=1,得e)10(!)1(!1!2111nen)10(由于,30ee欲使)1(nR!)1(3n610由计算可知当 n=9 时上式成立,因此e!91!2111718281.2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为*说明说明:注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过,105.076总误差为6105.076106105这时得到的近似值不能保证不能保证误差不超过.106因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.e!91!2111*例例2.用近似公式!21cos2xx计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005,试确定 x 的适用范围.解解:近似公式的误差)cos(!4)(43xxxR244x令005.0244x解得588.0 x即当588.0 x时,由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005.*
