1、相似形（放大縮小圖）GSP簡介與使用說明針對九年一貫七年級幾何教材所整理的授課內容，有別於各出版社的解說過程，希望能引導、儘可能給予學生更合乎數學推論的真正實測操作。數學的學習注重循序累進的邏輯結構，這正是操作幾何努力的方向，使用說明：這是 Power Point 2002 簡報檔，動畫表現還可接受，按滑鼠左鍵或右鍵便能持續進行，有些補充說明或教學心得可參考備忘稿。GSP圖檔與執行程式 需與簡報檔放在同一資料夾。【連結GSP使用說明頁】操作幾何化講義的第二單元，編號：Geo_02相似形（放大縮小圖）GSP簡要說明利用直接觀察的結果與相似形的定義結合，再推論三角形的相似（SSS、AA）性質、三角
2、形的平行線性質、作相似形的方法、等。在國中數學上的討論還是以最基本的平面圖形，即三角形與四邊形為主，知道平面上基本圖形的相似性質，就能推廣到較複雜或立體的圖形。放大縮小圖（相像）也認為是相似的一種，但其定義比相似形寬鬆，可由電腦繪圖的放大縮小功能對照兩者的差別。相似形（放大縮小圖）GSP直觀的相似形-(1)想想投影機、影子遊戲、電影、等例子，通常它們都具備有光源、影片（實物）、影像三者。透過光源的照射，我們認為所看到的影像與影片（實物）是相似的。平行放置所產生的影像才是我們認可的相似形。但是：光源、實物、影像三者的位置該如何放置，才會產生我們認為的相似結果呢？光源實物影像光源投射說明頁相似形（
3、放大縮小圖）GSP直觀的相似形-(2)(1)形狀相同，大小不同（但維持固定的比例）。你同意上述的說法嗎？當然，或許你還有其他的方法說明你認為的相似形。(2)相似形可經由放大或縮小，得到全等的圖形。(3)相似形（整體相似），則對應的任何一小部分圖形 也會相似（部分相似）。可用以下幾個直接觀察瞭解相似形。(4)如果圖形所分割的任何對應部分都有同樣的相似程度 ，那當然也可以拼出整體相似的圖形。相似形（放大縮小圖）GSP相似形的意義-(3)簡單的平面圖形，如：三角形、四邊形、.等，可認為都是由邊與角組合而成，而對應的部分圖形所指的就是其中的對應邊或對應角。結論：在平面上，兩圖形相似，則其所有的 對應邊
4、成比例，對應角相等。由第(3)項直觀意義，可直接認為實物與相似形的對應邊倍率或說比例相同，數學語法稱為對應邊成比例。再者，想像實物與相似形可透過光源照射所得，回想之前提到的平行放置，則由平移可推得對應角相等。將直觀上的說法，改成數學語法。相似形（放大縮小圖）GSP相似形的意義-(4)反之，由之前的第(4)項直觀意義，若兩個圖形所能分割的各個對應部分都有同樣的相似程度，即對應邊的比例相同且對應角相等（部分相似），則可拼出全部相似的圖形（整體相似）。結論：若兩圖形的所有對應邊成比例，對應角相等 ，則兩圖形相似。將直觀上的說法，改成數學語法。總結：圖形相似 對應邊成比例，對應角相等。【這也是用來檢驗
5、、判斷有無相似的方法之一】相似形（放大縮小圖）GSP相似形的意義-(5)以四邊形為例，使用數學列式，再說明相似的意義。如圖，若 ABCD與EFGH 相似，則，且AE、BF、CG、DH。DA：HECD：GHBC：FGAB：EF反之，若 ABCD與EFGH 中，且AE、BF、CG、DH，則 ABCD與EFGH 相似。DA：HECD：GHBC：FGAB：EFABCDGFHE相似形（放大縮小圖）GSP放大圖與縮小圖在使用影像軟體的經驗中，經常會將圖片放大或縮小，當然為了配合版面，可能橫向與縱向放大或縮小的比例並不一樣，但是都可稱為是原圖的放大圖或縮小圖。不過，一來為了不使圖形失真，二來為了簡化問題得以
6、容易解說，一般的放大圖與縮小圖都是在平面上討論，且指橫向與縱向（有兩個方向即可）均依相同的比例放大或縮小所得的圖形。此時的放大縮小圖又稱之為相似形。相似形（放大縮小圖）GSP如何表示放大或縮小的程度？如何將放大或縮小的程度給予量化呢？我們認為最容易，也最方便的比較是對應邊。對應邊長越大，表示放大的圖形越大；對應邊長越小，表示縮小的圖形越小；而對應邊長相等，表示圖形全等。即以對應邊的比例大小，來說明放大或縮小的程度。例如：2倍放大圖，表示所有對應邊長都放大2倍的意思。實例中，如影印機、繪圖軟體的放大縮小倍率都是指對應邊的比例大小。又大小常與面積聯想，2倍放大圖，表示面積大小增加為原來的4倍。相似
7、形（放大縮小圖）GSP相似形的遞移律以三角形為例，若 ABC與DEF 相似，DEF與PQR 相似，則 ABC與PQR 也會相似。（怎麼推想呢？）同理可知，全等也具有遞移律。全等形與相似形的關係：兩圖形全等必定相似；反之，兩圖形相似不一定會全等。由第(2)項直觀意義，知道此三個三角形都可經由放大或縮小，得到全等的圖形，所以，三者彼此相似。相似形（放大縮小圖）GSP相似形的幾何量（周長與面積）設矩形甲圖與乙圖是相似形。若甲圖是乙圖的k倍放大圖；則乙圖是甲圖的1/k倍縮小圖。此時，甲圖的周長是乙圖的k倍；甲圖的面積是乙圖的k2倍。反之，乙圖的周長是甲圖的1/k倍；乙圖的面積是甲圖的1/k2倍。甲面積
8、kakbk2abk2乙面積。甲周長k（aabb）k乙周長。乙abba甲kakbkbka相似形的周長比對應邊的比。相似形的面積比對應邊平方的比。相似形（放大縮小圖）GSP四邊形（多邊形）的相似條件以例子說明四邊形（多邊形）相似，必須同時合乎定義的兩個條件【對應邊成比例、對應角相等】，才會成立。(1)如圖的正方形與菱形，四個邊對應成比例，但是四個角 沒有對應相等，顯然不會相似。(2)如圖的正方形與矩形，四個角都是90度對應相等，但是 四個邊沒有對應成比例，顯然不會相似。相似形（放大縮小圖）GSP三角形的相似條件僅有三個邊的三角形其相似條件可以少一些，並不需要同時合乎對應邊成比例與對應角相等兩大要件
9、。發現只要檢驗出對應邊成比例（SSS）或是對應角相等AAA那三角形就會相似。【還有其他的相似條件，在八、九年級時才會說明。】但是說明之前先要有SSS唯一作圖的先備知識，即給定三角形的三邊長，所作出的三角形，其形狀大小是無法改變的（唯一），這也是三角形具有穩定性的表現。所以，若有兩三角形的三邊長分別對應相等，則可認為兩三角形是由給定的三邊長所作出，其形狀大小會一模一樣，是會全等的。相似形（放大縮小圖）GSP三角形的SSS相似性質兩三角形的對應邊成比例，則此兩三角形相似。考慮邊長為2、3、4與4、6、8的三角形，(1)將2、3、4的邊長放大為4、6、8之後，(2)發現與4、6、8的三邊長相同，表示
10、兩者是全等的 三角形（SSS唯一作圖）。(3)推論是：2、3、4與4、6、8相似，又知4、6、8與4、6、8全等，因為相似與全等 都具有遞移律，所以2、3、4與4、6、8相似。相似全等相似形（放大縮小圖）GSP三角形的AA相似性質兩三角形的對應角相等，則此兩三角形相似。問題：兩三角形只需要有兩個角對應相等就會相似了（why？）。CBA A1C1B1兩三角形對應角分別相等，則可疊出右下方圖形，且因為BB1；CC1，所以與是平行放置的（沒有旋轉）。如同之前的投射說明，將重合的A與A1當作光源，是實物，是影像，則 ABC與A1B1C1 是相似的。BC B1C1B1C1BC相似形（放大縮小圖）GSP三
11、角形的平行線性質-(1)回顧：任作三角形一邊的平行線後，會產生相似三角形，與相似形的比例線段。EDLCBA如圖，在ABC中，直線L與 平行，且與 相交於D點，與 相交於E點，形成ADE，則ADE與ABC相似。（想像光源投射，平行放置，產生相似形）BCACAB因為ADE與ABC相似，所以對應邊成比例，即。DE：BCAE：ACAD：AB相似形（放大縮小圖）GSP三角形的平行線性質-(2)反之，在ABC中，若 ，則 。【有比例線段，產生平行線】DE/BCAE：ACAD：ABEDCBA意即，只要能在一個角（A）的兩邊找到 ，則連接的與會互相平行（）。AE：ACAD：ABDE/BCDEBC驗證方法：先作
12、出具有的圖形，再利用【整體相似部分相似】的拼圖過程來獲得結論，應該還算是滿直觀的操作模式，仔細聽懂不難。AE：ACAD：AB相似形（放大縮小圖）GSP操作說明篇-(2.1)【接著拼圖說明】兩個共邊且同樣相似程度的圖形可拼出整體相似圖形，即ADGE（AGDAGE）與ABHC（AHDAGC）會相似。所以，ADGE的部分圖形DGE與ABHC的部分圖形BHC也會相似。在DGE與BHC中，因為、，表示兩相似三角形的放大、縮小無關旋轉，所以第三邊也會平行，即。DG/BHGE/HCDE/BCDE/BCHGEDCBA【先作出圖形】過A任作一直線，作，則，且AGD與AHB相似。作，則，且AGE與AHC相似。所以
13、，由遞移律可得 。DG/BHAG：AHAD：ABGE/HCAE：ACAG：AHAE：ACAD：ABAE：ACAD：AB相似形（放大縮小圖）GSP相似形的作圖-(1)光源投射法（利用部分相似拼圖，平行放大、縮小）先選擇一個固定點當做光源，再連接光源至頂點的光源線。(1)依照光源線的比例找到對應頂點，再將對應頂點依序 連接即可繪製完成。(2)或者，依照光源線的比例找到一組對應頂點之後，再 由頂點分別作各對應邊的平行線，與光源線的交點 即是對應頂點。相似形（放大縮小圖）GSP相似形的作圖-(2)格線法（位置對應觀念，位置相同，大小不同）如將格線也視為圖形的一部份，要繪製放大（縮小）圖時，只要將（方格
14、）依照要求放大（縮小）之後，再依照相同的相對位置找到對應點，再連接對應邊即可。(右2上4)(右2下3)相似形（放大縮小圖）GSP相似形的作圖-(3)相似規（放縮尺）利用平行四邊形的不穩定性，配合三角形平行線的相似性質，製造出可臨摹相似形的相似規。相似的原理到九年級時應有機會說明。在影印機不普遍的年代倒是常見到坊間販賣的放縮尺，大的有好幾節（使用多個平行四邊形連接）可伸縮。參照GSP圖檔提供的簡單相似規。相似形（放大縮小圖）GSP比例式的計算型如 a：bc：d 的算式稱為比例式。一定要會的計算化簡方法有三項，分別舉例說明：(1)約分。例如：【4a：10b6c：15d】可約分成【2a：5b2c：5
15、d】或【2a：10b3c：15d】或【2a：2b3c：3d】(3)內項積外項積 轉換成方程式計算之。例如：【4：3a5：12】，則【3a5412】(2)化為比值 轉換成方程式計算之。例如：【4：3a5：12】，則【4/3a5/12】相似形（放大縮小圖）GSP結束謝謝瀏覽歡迎建議與指教 採用直觀操作（非測量）去理解幾何性質。就目前各 家版本的豐富內容，某些解釋也不得不借重等 量公理的概念（但還是很直觀的等量加減）。直觀操作與推理證明兩者可以相輔相成，在 八九年級時可引導將操作轉換成推理證明的 敘述。所以，本簡報檔也適用於九年級預習或複習。雖然九四學年度改版時七年級的幾何消失了，但 還是將自己被激
16、發出來的的一些教學淺見提供予大家 分享，歡迎建議與指教，集思廣益下，會找到更好的 解說方式，也會有更理想的內容增減取捨安排。開放式的 PPT檔 可視您的需要自行加以增減修正，謝謝您的瀏覽與指教。相似形（放大縮小圖）GSP光源投射說明頁(1)通常生活中是立體圖，實物三角與影像三角兩者相似，或椎體相似（實物與影像當作底面）均可。視為椎體時，就可只看側面的部分相似，正是使用 最多的三角形的平行線產生相似形。(2)直觀上，在投影片或紙上繪製變成了平面圖，並不影響各項性質的討論。光源實物影像相似形（放大縮小圖）GSPGSP使用說明頁(1)右上角的GSP是放置在投影片母片，所以隨時 可以點選，按最小化立刻可回到 Power Point。超連結設定：Geo_02.gsp。需用GSP程式開啟（V4.0版）。(2)可在 下載 DEMO檔（有使用期限、不能存檔），但不影響圖檔的 執行。(3)gsp圖檔需與ppt檔放置同資料夾。若無法執行，那請您先執行（安裝）GSP主程式或做檔案關聯。(4)GSP圖檔內容請看Geo_02.gsp目錄頁。
