1、第第24讲讲第第1-9章章 习题课习题课一、一、基本内容及基本要求基本内容及基本要求 第一章、绪论第一章、绪论1.了解数值分析的研究对象与特点。了解数值分析的研究对象与特点。2.了解误差来源与分类了解误差来源与分类,会求有效数字会求有效数字;会简单误差估计。会简单误差估计。3.了解误差的定性分析及避免误差危害。了解误差的定性分析及避免误差危害。第第1-31-3章章 习题课习题课(绪论、插值、逼近绪论、插值、逼近)第二章、插值法第二章、插值法1.1.了解插值的概念。了解插值的概念。2.2.掌握拉格朗日掌握拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)插值法及其余项公式。插值法及其余项公式。3.
2、3.了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。4.4.了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。5.5.会埃尔米特会埃尔米特(HermiteHermite)插值及其余项公式。插值及其余项公式。6.6.知道高次插值的病态性质知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。段埃尔米特插值及其误差和收敛性。7.7.会三次样条插值会三次样条插值,知道其误差和收敛性。知道其误差和收敛性。第三章、函数逼近与曲线拟合第三章、函数逼近与曲线拟合1.了解函数逼近的基本概念了解函数逼近的
3、基本概念,了解范数和内积空间。了解范数和内积空间。2.了解正交多项式的概念了解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项式和勒让了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质德多项式以及它们的性质,知道其他常用正交多项式。知道其他常用正交多项式。3.理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理,掌握最佳掌握最佳一次一致逼近多项式的求法。一次一致逼近多项式的求法。4.理解最佳平方逼近的概念理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多项式掌握最佳平方逼近多项式的求法的求法,了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。5.了解曲线拟合的最小二乘法并会
4、计算了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多了解用正交多项式做最小二乘拟合。项式做最小二乘拟合。6.了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶变换了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶变换*。.7321.1 ,7320.1 ,732.1 ,73.17320508075.131各有几位有效数字，问近似值、设A.5,4,4,3 答：二、练习二、练习.1118 .01118 22准确无初始误差和假定系数、解二次方程xx.6,992.117992.5859348059 1位有效数字有答：x?008.0992.58592x.1021 ,992.1171 )992.117(992.1171992.1171992.1
5、1711711212xx.102.0 ,008475.0992.1171622.1021 ,008475.01621212112xx.008475.0112，有四位有效数字xx说明什么？位数字求解，计算结果再用准确解位数字解方程组、用十进制6 )1,1(.127.0330.0457.0,217.0563.0780.0 33yxyxyx .586.0217.0127.0)586.0563.0330.0(,217.0563.0780.0 (1)yyx解：.00 ,217.0563.0780.0 yyx .585897.0217.0127.0)585897.0563.0330.0(,217.0563
6、.0780.0 (2)yyx.00014.000014.0y,127140.0127.0)329860.0330.0(y00000.1,00000.1xy).30()30()1ln()(*42ffxxxf和计算，试用六位函数表设反双曲正弦、P19,5,9.P19,5,9.3)()()(*)()(,34)(3pCRVRVRRRRVRVRVRRV%.3.0%33.0RRRR，或只需%.1%,1)(*)()(RRCRVRVRVVp只需为的相对误差限要使,)()(5Mxfhxf 在节点上造表，且有以等距假设对、;:)1(281Mh性插值误差不超过任意相邻两节点上的线证明.10,sin)()2(621差
7、取多大能使线性插值误问设hxxf.102),2(5 3h答：.,2),(2 1 0.5 1 0 1 2)(63.02并估计误差的近似值用以求建立二次插值多项式：的函数表试由、xpyxxfx ;2475.1)3.0(2 ;175.025.0)(23.02 2pxxxpor牛拉答：.03030.0)13.0)(03.0)(13.0()3.0(2!36660.023.0 p6660.0)2(ln2)(max311 xfx保证两位有效数字P59,P59,6,8.7 7、P59,P59,4.2,2,22,2,2,13)(871061046ffxxxxf和求设、.0 )2(,1 )1(答：).()12(3
8、);()(2)()(2);()(1)(922xTxTxTxTxTxTxTxTTkxTnnnmnmnmmnnmk）（）（）（明次切比雪夫多项式，证是设、.-1,153)(102多项式上的线性最佳一致逼近在求、xxxf.293)(21)()()(21)()(2*12*1xxTxfxpxTxpxf解，：).7(-1,1arcsin)(11nxxf上的切比雪夫级数在求、-1,1,)(2)(7107xxTaaxpjjj解：0,d1arcsin)(2 11222奇其中xxxxTakkxxxxTakkd1arcsin)(21121212d)sin(sin)2()12(cos2 0k.)12(4d1)sin(
9、2k)12(2 20kk-1,1.,)(491)(251)(91)(4)(75317xxTxTxTxTxpP115P115,1,4(2),6,8,13,15,17(1),19，按基本方法即可，22(选作).-1,1.,4964175288315248105764)(7537xxxxxxp一、数值积分与数值微分一、数值积分与数值微分第第4-54-5章章 习题课习题课(数值积分和数值微分数值积分和数值微分,解线性方程组的直接法解线性方程组的直接法).d)(:0nkkkbafwxxf求积公式.,1,m次代数精度m次代数精度称该求积公式具有则成立次的多项式等式不准确而对于某一个成立的多项式都准确对于所
10、有次数不超过若一个求积公式mm.d)(,d)()()(00称为插值型求积公式，其中，得到求积公式由拉格朗日插值bakknkkkbaknkknxxlwfwxxffxlxL.d)()!1()(d)()(:0)1(xxxnfxxLxffRbanjjnban余项.d)(0它是插值型求积公式次代数精度至少具有求积公式nfwxxfnkkkba定理定理.C ,C)(d)(,)(0)(Cotes系数Cotes系数Cotes公式Cotes公式-NewtonNewton称为，称为上的插值型求积公式在等距节点等分，步长做将求积区间nknkknkbakfabxxfkhaxnabhnba .d)()!(!)1(dC 0
11、000)(nnkjjknnnkjjnktjtknnktjkjtabhthax，则有作变换 ),()(2d)(,1nbfafabTxxfba得到梯形公式时当(2.3)()2(4)(6d)(,2n，也称为得到抛物线公式时当bfbafafabSxxfban)公式n)公式辛普森(Simpso辛普森(Simpso)4.2(.4,),(7)(32)(12)(32)(790 ,443210abhkhaxxfxfxfxfxfabCnk其中得到时当公式公式柯特斯(cotes)柯特斯(cotes).,C8)(公式不稳定出现负值时柯特斯系数表CNnnk .,),(12)(,)(3bafabTIfRbaxfT 则梯形
12、公式的余项为 上连续,在若 .,),(2 180 )()2(4)(6d)(辛普森 ,)()4(4)4(bafababbfbafafabxxfSIfRbaxfbaS公式的余项为则上连续在若.)()(2)(2)()(2 10101niiniiinbfxfafhxfxfhT).(12)(12)(12123103fhabfhnfhTIniin ).()(2)(4)(6101121bfxfxfafhSniniiin).,(),(8802)(2180)4(410)4(4bafhabfhhSIniin).()()(bfafabT211初值.)(),()(1022122121022niinnixfhTTiab
13、h计算，令./,/C ,/)(631533222222）（）（）（求加速值nnnnnnnnnnnnCCCRSSSTTTS).()(24否则，转满足精度要求；.,12,)(d)()(,010 高斯求积公式高斯求积公式高斯点高斯点求积公式为并称此则称此组节点为次代数精度具有使插值型求积公式若一组节点nxfwxxfxbxxxaniiiban 0.d)()()(,)()()()()(110110bannnnxxPxxxxPnxxxxxxxbxxxa即正交带权的多项式不超过与任何次数高斯点是插值型求积公式的节点 定理定理 .,d)()()!22()(21)22(baxxxnffRbannn ),(2)(
14、)(1)(010fhxfxfhxf ).(2)()(1)(011fhxfxfhxf),(3)()(4)(321)(22100fhxfxfxfhxf ),(6)()(21)(2201fhxfxfhxf ).(3)(3)(4)(21)(22102fhxfxfxfhxf ).(12)()(2)(1)()4(221021fhxfxfxfhxf 基本内容及基本要求基本内容及基本要求 1.了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。2.掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。3.掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。4.了解龙贝格(Romberg)求积算法
15、，知道外推法。5.会高斯求积公式,了解高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。6.了解几种常用的数值微分方法。二、练习二、练习.)31()31()d(2 )1()0(2)1(21)d(1 1111ffxxffffxxf）（；）（代数精度：判明以下两求积公式的1.1.21）三次）一次；（答：（.1d 10并估计误差的近似值，求辛普森公式试分别用梯形公式和xxI2 2.16667.0)(max12)01(,2)0()(max,)1(2)(,11)(75.0)211(201 )1(103103 xfRfxfxxfxxfTIxTx；解：.0083333.0)(max2880)01(,)1(24)
16、(;69444.0)215.1141(601 2)4(1055)4(xfRxxfSIxS）（.693147.02ln1d 10 xxI准确值.056853.0 TI.001297.0 SI.1d 5 10并估计误差的近似值，求辛普森公式的复合试用xxIn3 3.;693150.0 )111)9.0117.0115.0113.0111.011(4 )8.0116.0114.0112.011(201162.0 .)(0,0,2.051)01(51:52121Shixihxhii解.1033333.1)(max28802.0 ,)1(24)(5)4(10455)4(xfRxxfx.693147.02
17、ln1d 10 xxI准确值.1081944.2 65 SI?1d 10位有效数字才能保证计算结果有五，问区间多少等分计算公式若用复合梯形xxI4 4.).,1,0(0,1)01(1:niihxnnhi解.161)(max1201 ,2)0()(max,)1(2)(,11)(2102103 nxfhRfxfxxfxxfxnx.183,574.1823/10,1021161,1d,11d5.0 5521010nnnxxxx即故只需有一位小数因.4114 22效数字保证计算结果有五位有周长，的计算椭圆公式试用复合梯形：yx思考思考22202002222dsin31dcossin4dyxl.1021
18、000002986.0|31,42211206.2,00072744.0|31,42210310.2,0212421.0|31,41992078.2,3561945.2422822412212312TTTTTTTTTT.4221.28有五位有效数字TI.)()(d1)(1111002求积公式的两点高斯型求形如xfxfxxxf5.5.0.,12)(112202210221,022wwwwxxxT以及：解法112222222)()(d1)(ffxxxf,212cosd1)(21112ninifnxxxf切比雪夫求积公式：由高斯解法.)()(d1)(112222222ffxxxf得到的数据表根据xy
19、2 6.xi 0.5 1 1.5 2 2.5 yi 1.41421 2.00000 2.82843 4.00000 5.65685).5.1()5.1(ff 和分公式计算试用二点、三点数值微.34914.2)5.1()2(5.01)5.1(65686.1)1()5.1(5.01)5.1(0.5,ffffffh，则取解：.2)1()2(5.021)5.1(fff.34314.0)1()5.1(2)2(5.01)5.1(2 ffff三、解线性方程组的直接方法三、解线性方程组的直接方法基本内容及基本要求基本内容及基本要求1.了解求解方程组的两类方法,了解矩阵基础知识。2.掌握高斯消去法,会矩阵的三角
20、分解。3.掌握高斯列主元素消去法,了解高斯-若当消去法。4.掌握直接三角分解法,了解平方根法,会追赶法,了解有关结论。5.了解向量和矩阵的几种范数。6.了解矩阵和方程组的性态,会求其条件数。7.会初等反射阵和平面旋转阵,了解QR分解,了解用正交约化法解超定方程组。1.分别用顺序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脱尔分解)求解线性方程组 四、练习四、练习.201814 513252321321xxx,72101424004103212210144504103212018145132523211）解：,24413211531215132523212）.)3,2,1(,)72,10,14(TTx
21、yUxybLy得解得解.3,2,1321xxx2.设A为n阶对称正定阵，试证:(1)A的对角元素aii0;(2)设L为非奇异阵，则LALT是对称正定阵；(3)经顺序Gauss消去法A化为21110AaaT求证A2为对称正定.证明证明:(1)由正定二次型理论,aii=eiAei0.(或因所有主子式0)(2)因(LALT)T=LALT,故LALT是对称的;又因对于任意x0,则有y=LTx0,从而 xTLALTx=(LTx)TA(LTx)=yTAy 0,故LALT是对称正定阵.(3)经顺序Gauss消去法A化为21110AaaTA2是对称的,因为.)2(1111)1()2(jijiijijaaaaa
22、aA2是正定的,这是因为经顺序Gauss消去法A的各阶顺序主子式的值不变,a11A2的k阶顺序主子式=A的k+1阶顺序主子式0,且a110,于是得出A2的各阶顺序主子式0.)2(,00,0(22112111正定知故由正定或因AAaLALAaaLATT3.3.用带行交换的杜利脱尔分解计算线性代数方程组AX=bAX=b，其中.432 ,121111011b bA A,101011001,11LIP解：,110100011)1(11AAPL,0110122ILP,100110011)2(1122UAAPLPL,)(122122UAPPPLPL,1LUPAUPAL.)1,1,1(,)1,2,2(TTx
23、yUxyPbLy得解得解4.用追赶法求解三对角方程组200031002310023100224321xxxx,1111111 21212123100231002310022ULA.1111,1000 xyxUybyL.,)1,2,2(的后两个分量为零使得确定初等反射阵给定向量HxHxT 5 5.151 ,15,)1,2,5(,)0,0,3(,3:151415231152151132313232TTTuuIHuHx答.)(cond )(cond123121212 22 22 2H HH HH HH Hi il lb be er rt t 6 6.和的条件数矩阵求.272318)(cond,126
24、6421212HHH2 2H H解：.)()()(cond minmax222122AAAAHHTT2 2H H.,|)cond(n112小特征值的绝对值最大为其中为非奇异对称矩阵时，当AAAn,11213423121212 2H HI.134134)cond(2A.0)1(,1)0(,0)()()(yyxxyxyxy利用数值微分求解：思思考考，份，等分为，分析：将NhN/1 10.0,1,022 011211Nkkkkkkkyyyxhyyhyyy.化为求解三对角方程组一、解线性方程组的迭代法一、解线性方程组的迭代法 第第6-86-8章章 习题课习题课(线性方程组迭代解法线性方程组迭代解法,解
25、非线性方程解非线性方程,矩阵特征值矩阵特征值)基本内容及基本要求基本内容及基本要求 1.了解迭代法及其收敛性的概念。2.掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。3.3.了解一阶定常迭代法的基本定理，掌握特殊方程组迭代法的收敛条件。4.4.知道分块迭代法。雅可比迭代法雅可比迭代法计算公式：对k=0,1,),1(,/)(,),(1)()1()0()0(1)0(niaxijabxxxxiinijjkjikiTnfxBbDxULDxbULxD)(1)(1)1()()()1()(kJkkkkk xx得到矩阵表示借助矩阵分裂高斯高斯塞德尔迭
26、代法塞德尔迭代法计算公式：对k=0,1,),1(,/)(,),(1)(11)1()1()0()0(1)0(niaxijaxijabxxxxiinijkjijkjikiTn kkkbUxLxDx)()1()1(,A迭代法等价于的分裂记号采用矩阵示形式为塞德尔迭代法的矩阵表于是，高斯 fxBbLDUxLDx)(1)(1)1()()(kGkk SORSOR迭代法的计算公式:对k=0,1,.0),2,1(,/)(,),()(11)1()()1()0()0(1)0(松弛因子niaxijaxijabxxxxxiinijkjijkjikikiTn kkkkk）化为的分裂记号采用矩阵)()()1()()1(,
27、DxUxLxbDxDxA.)()1()(1)(1)1(SORkkbLDxUDLDx为迭代法的矩阵表示形式.1)()5.3()0()()1(BxfBxx收敛迭代法则对任意初始向量一阶定常迭代法kk定理4定理4定理定理7 7 若矩阵A A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。.20 ,SOR 则松弛因子迭代收敛若定理8定理8定理定理9 9 对于线性方程组AxAx=b b，若A A为对称正定矩阵，则当02时，SOR迭代收敛.定理定理10 10 对于线性代数方程组Ax=b，若A按行(或列)严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优
28、不可约；则当0w1时，SOR迭代收敛。7.8,7,5,2,259:讲p回顾作业回顾作业.,)(：)()1(AIBbxAIx证明迭代矩阵为kk.11)(1)(11 ,)(0,20ABA知由时当迭代收敛于是，1,)(B.111211111112 321并考察求解的收敛性迭代法的计算公式，迭代法和分别写出，对于方程组SeidelGaussJacobixxx练练习习1 1 .2/)1(,1 ,2/)1()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx式为解：雅可比迭代计算公010100111011101)(2121212121211ULD雅可比迭代矩阵为
29、.1)(,0,11|252545321212121BiBI .2/)1(,1 ,2/)1()1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx赛德尔迭代计算公式为高斯赛德尔迭代矩阵为高斯212121212121212121110000010110 00100 010110 211112)(ULD.1)(,02121Bi.式的关系注意迭代矩阵与计算公？或定理，或对角占优问：能否用 111BB二、非线性方程求根二、非线性方程求根 基本内容及基本要求基本内容及基本要求1.了解求根问题和二分法。2.了解不动点迭代法,及不动点存在性和迭代收 敛性；3.了
30、解收敛阶的概念和有关结论。4.3.了解加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。5.4.掌握牛顿法及其收敛性、了解简化牛顿法和牛顿法 6.下山法,了解重根情形。7.5.掌握弦截法，了解抛物线法。8.6.了解非线性方程组的迭代解法。.*,)(2.4|;|)()(|,10 (2),)(,(1),)(xbaxgyxLygxgbayxLbaxgbaxbaCxg上存在唯一的不动点在那么）（都有使得常数都有并且如果迭代函数定理1定理1*,)(2.2),2 0 xxgbax的不动点均收敛于迭代序列对任意初值的条件下在定理定理2定理2并有误差估计(2.5).|1|*|01xxLLxxkk.|11|*|1kkkx
31、xLxx还有.|11|*|4)|,|1|*|3)*,),2,1,0()(,2)*,0)(1);1|)(|,10 (2),)(,(1),)(101101kkkkkkkxxLxxxxLLxxxkxgxbaxxbaxfLxgbaxLbaxgbaxbaCxg收敛于迭代上有唯一的根在方程那么都有使得都有并且如果迭代函数推论推论.)2.2(,1|*)(|,*)(,)(*是局部收敛的则迭代法且内有连续导数的某邻域在的不动点为迭代函数若 xgxxgxgx定理3定理3 .)()(:1kkkkxfxfxx牛顿迭代法牛顿迭代法).()()()(:111kkkkkkkxxxfxfxfxx两点弦截法两点弦截法 .161
32、512,7,4,2,029:，p回顾作业回顾作业15.124，讲.)(1|)(|,)(形式化为适当的收敛的迭代，试将时内只有一根，而当在已知xxkxbxabaxx练习2练习2.,24 直接迭代或适当变形的迭代法考察求解xx练习3练习3 ,01 ,cxc 应用牛顿法解方程对于给定正数练习4练习4.2000时收敛满足并证明：当初值cxx).2(2111kkxxkkcxxcxxkk解：牛顿迭代公式.)()()(,)1()2(11 204221212111kcrcrcrcrcrxcccxxcxcrkkkkkkkkk因为.0)(1 11 ,111 2020000kcrcrcrcxcccxk得出收敛性，时
33、，所以当三、矩阵特征值问题计算三、矩阵特征值问题计算 1.了解特征值和特征向量的概念和性质,2.了解圆盘定理、Schur定理和Rayleigh商。2.掌握乘幂法，了解其加速收敛技术,会反幂法。3.了解豪斯霍尔德方法。4.了解QR方法。基本内容及基本要求基本内容及基本要求.),1(|,|,)(1)(nijniaaanGerschgoriijiinnij某个圆盘之中一个特征值必属于下列的每则设圆盘定理AA定理8定理8.S,S,个特征值的中恰有则个圆盘分离与其余且个圆盘构成一个连通域个圆盘中有如果上述的mmnSmnA(2)(2)(2.9)1,2,(./),max(,)0(,131001021kanR
34、kkkkkkknnnvuvAuvvuvA计算，对任何非零初始向量其特征值个线性无关的特征向量有设定理定理.lim ,)max(lim 111kkkkxxu则 ).1,2,(,)max(,)0(,0 ,151100121kanRkkkkknnnnnvvuuAvvuA计算，对任何非零初始向量其特征值满足向量个线性无关的特征为非奇异矩阵且有设定理定理.1)max(lim ,)max(lim nkknnkkvxxu则).(,0 ,),2,1(,16ijpppninRijjiinn且的近似是而和值和特征向量记为的特征个线性无关的特征向量有设xAA定定理理(2.12).1,2,(,)max(,)(),0(
35、110kpakkkkkjvvuuIAvu计算对任何非零初始向量.)max(1,1)max(,)max(jkjkjjkppvvxxu则反幂法计算公式:.,3,2 ,/),max(,(2);/),max(,)1,1,1(1 .2.,)(:.111111111kpkkkkkkkkkTvuvyUvPuLyvuvvUvULPLUIAPLU得）解（反幂法迭代，保存分解.20101350144 5步即可）特征向量（要求迭代三的按模最大特征值及其用幂法求A练练习习.1.08.01.0/10,)max(,1810 )1,1,1(111110100TTT），（），（，则解：设vuvAuvvuv1=(10,8,1)
36、T,mu1=10u1=(1.0000,0.8000,0.1000)Tv2=(7.2000,5.4000,-0.8000)Tmu2=7.2000u2=(1.0000,0.7500,-0.1111)Tv3=(6.5000,4.7500,-1.2222)Tmu3=6.5000u3=(1.0000,0.7308,-0.1880)TP334,4.6练练习习第九章第九章 常微分方程初值问题数值解法常微分方程初值问题数值解法关键词：关键词：欧拉法、后退欧拉法、梯形法、显式法、欧拉法、后退欧拉法、梯形法、显式法、隐式法、（隐式法、（2、3、4阶）龙格库塔法、阶）龙格库塔法、单步法、单步法、线性多步法、线性多步
37、法、ADAMS法、预测法、预测-校正法、校正法、相容性、相容性、收敛性、稳定性（判别法）、收敛阶、局部截断收敛性、稳定性（判别法）、收敛阶、局部截断误差、全局截断误差误差、全局截断误差、刚性方程、刚性方程)(),(aybxayxfdxdy本章讨论形如的初值问题的数值解法，其中f（x,y）是已知连续函数，为给定的初值，假设该初值问题的解存在唯一。01,.2,1,0),(ynyxhfyynnnn0111,.2,1,0),(ynyxhfyynnnn一一单步法单步法1.欧拉（Euler）法及其改进形式1.向前欧拉公式（欧拉折线法或欧拉显格式）其中h为步长，该方法的局部截断误差阶为O（h2），是一阶方法
38、。2.向后欧拉公式（后退欧拉公式）,.2,1,0),(),(2111nyxfyxfhyynnnnnn,.2,1,0.;2,1,0),(),(2),()(11)1(1)0(1nkyxfyxfhyyyxhfyyknnnnnknnnnn,1)1(1nknyy和3.梯形公式（欧拉公式的改进）这是二阶隐格式方法。实用中常按下述爹带进行求解：该方法是二阶方法；如果关于k仅迭代一步，并换则称该方法为欧拉预估校正方法。miKbyhaxhfKKCyyijjijniiimiiinn,.,2,1),(1111miiC1,12.显式龙格-库塔方法（Runge-Kutta）方法,一般形式为：其中Ci为待定权因子，满足m
39、为所使用的f值的个数，a1=0，ai（i1），bij均是待定参数，随着m取不同的正整数值，便可以得到各阶显式龙格-库塔格式，特别当m=4时，可以得到四阶、经典的龙格-库塔格式：）342312143211,()21,2()21,2(),()22(61KyhxhfKKyhxhfKKyhxhfKyxhfKKKKKyynnnnnnnnnn1.单步法的收敛性与稳定性2.单步法的收敛性与稳定性的概念非常重要，有关定义3.和结论可见参考教材。习题，P381-382，1，2，5，8，120050.0,0010.0,0000.0101.0100132122221yyyyxyyxhyynnnnnnn由计算得解：欧
40、拉格式为.43.0,1.0.00,100.122位保留到小数点后计算到取步长用欧拉法解初值问题xhyyxy1221211.01.005.01.02nnnnnnnnnnnnnyxxyxxyyyxxyy解：改进的欧拉法：0055.0105.0095.0905.021nnnnxxyy或,0170.01y,0420.02y,0779.03y,1218.04y.1730.05y 比较。并与确解计算到取步长法解初值问题用改进的欧拉法和梯形1,5.0,1.0,00,.222xxeyxhyyxxyx梯形法，带入方程得hhhxhhxhyynhnhnhhn211111122222210010.01048.00952.09048.021nnnnxxyy
