1、第二节 数列的极限一、一、数列极限的定义数列极限的定义二、二、数列极限数列极限的性质的性质三、三、收敛准则收敛准则上一页上一页下一页下一页返回返回“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽概念的引入概念的引入上一页上一页下一页下一页返回返回R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS上一页上一页下一页下一页返回返回2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之
2、棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1上一页上一页下一页下一页返回返回一、数列极限的定义一、数列极限的定义定义定义:按自然数按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21
3、n2n21n上一页上一页下一页下一页返回返回注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn;,)1(,1,1,11 n)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn ,333,33,3 上一页上一页下一页下一页返回返回.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn播放播放数列的极限上一页上一页下一页下一页返回返回问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如
4、果是如果是,如何确定如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:上一页上一页下一页下一页返回返回,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有,0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx上
5、一页上一页下一页下一页返回返回定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数N,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx,不等式不等式 axn都成立都成立,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a,记为记为 ,limaxnn 或或).(naxn如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;.1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn .2有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 N上一页上一页下一页下一页返回返回x1x2x
6、2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释:2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的.:至少有一个或存在至少有一个或存在.,0,0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使上一页上一页下一页下一页返回返回数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1.1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1,0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(
7、1nnn就有就有.1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：上一页上一页下一页下一页返回返回例例2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成立成立 ,0 任给任给所以所以,0,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.,0 上一页上一页下一页下一页返回返回例例3.已知,)1()1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0)1()1(2nn2)1(1n11n,
8、)1,0(欲使,0nx只要,11n即n取,11N则当Nn 时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2)1(10nnx.11N 与 有关,但不唯一.不一定取最小的 N.说明说明:取11N机动 目录 上页 下页 返回 结束 上一页上一页下一页下一页返回返回例例4.1,0lim qqnn其中其中证明证明证证,0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有.0lim nnq,0 q若若;00limlim nnnq则则,10 q若若,lnlnqn 上一页上一页下一页下一页返回返回23baab22a
9、bnabax二、二、数列极限的性质数列极限的性质证证:用反证法.axnnlim及,limbxnn且.ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1,2abnax从而2banx同理,因,limbxnn故存在 N2,使当 n N2 时,有2banx1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时,2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,max21NNN 取故假设不真!nx满足的不等式上一页上一页下一页下一页返回返回2、有界性有界性定义定义:对数列对数列nx,若存在正数若存在正数M,使得一切自
10、使得一切自然数然数n,恒有恒有Mxn 成立成立,则称数列则称数列nx有界有界,否则否则,称为无界称为无界.例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.有界有界无界无界上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证,limaxnn 设设由定义由定义,1 取取,1,axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则.11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛
11、的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.上一页上一页下一页下一页返回返回例例5.)1(1是发散的是发散的证明数列证明数列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成立成立有有时时使得当使得当则则 axNnNn),21,21(,aaxNnn时时即当即当区间长度为区间长度为1.,1,1两个数两个数无休止地反复取无休止地反复取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx上一页上一页下一页下一页返回返回3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若,limaxnn
12、且0a,NN则Nn 当时,有0nx,)0(.)0(证证:对 a 0,取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论:若数列从某项起0nx,limaxnn且0a则)0(.)0(用反证法证明)上一页上一页下一页下一页返回返回4、子数列的收敛性、子数列的收敛性 的子数列（或子列）的子数列（或子列）的一个数列称为原数列的一个数列称为原数列到到中的先后次序，这样得中的先后次序，这样得这些项在原数列这些项在原数列保持保持中任意抽取无限多项并中任意抽取无限多项并定义：在数列定义：在数列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .knxxxkxxkknnnnkkk 项，显然，
13、项，显然，中却是第中却是第在原数列在原数列而而项，项，是第是第中，一般项中，一般项在子数列在子数列注意：注意：例如，例如，上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理4 4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同相同证证 的任一子数列的任一子数列是数列是数列设数列设数列nnxxk,limaxnn .,0,0 axNnNn恒有恒有时时使使,NK 取取,时时则当则当Kk .NnnnKkk .axkn.limaxknk 证证毕毕上一页上一页下一页下一页返回返回定义定义5 数列数列xn的项若满足的项若满足x1x2xnxn+1,则称则称数列数列xn为单调增加数列为单调增加数列;
14、若满足若满足x1x2xnxn+1,则称数列则称数列xn为单调为单调减少数列减少数列;当上述不等式中等号都不成立时当上述不等式中等号都不成立时,则分别称则分别称xn 是是严格单调增加和严格单调减少数列严格单调增加和严格单调减少数列.收敛准则收敛准则1 单调增加且有上界的数列必有极限单调增加且有上界的数列必有极限;单调减少有下界的数列必有极限单调减少有下界的数列必有极限.三、收敛准则上一页上一页下一页下一页返回返回.)11(,)111()11(,111,11)1()(1()(,0.)11(.)11(5111111是是单单调调增增加加的的即即数数列列得得代代入入取取即即有有时时当当单单调调增增加加且
15、且有有上上界界只只需需证证明明证证收收敛敛证证明明数数列列例例nnnnnnnnnnnnnnnnnnbnabnabnaabanbabbaabababann 上一页上一页下一页下一页返回返回enennnnnnnnnnbnannnnnnnnnn)11(lim,)11()11(,)11(,2,1,4)211(4)211()1211(,2,1,4)211(,2)211(,1,2112122即的极限记为将收敛由收敛准则可知有界即数列成立对一切所以又由于从而得代入取上一页上一页下一页下一页返回返回azynnnnlimlim)2(2.2.夹逼准则夹逼准则 (准则准则2)2),2,1()1(nzxynnnaxn
16、nlim证证:由条件(2),0,1N当1Nn 时,ayn当2Nn 时,azn令,max21NNN 则当Nn 时,有,ayan,azan由条件(1)nnnzxya a即,axn故.limaxnn,2N上一页上一页下一页下一页返回返回例例5.证明11211lim222nnnnnn证证:利用夹逼准则.nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由上一页上一页下一页下一页返回返回五、小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;
17、收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性子数列的收敛性.数列收敛的准则数列收敛的准则:单调有界准则、夹逼准则单调有界准则、夹逼准则.上一页上一页下一页下一页返回返回思考题思考题指出下列证明指出下列证明1lim nnn中的错误中的错误 证明证明要使要使,1 nn只要使只要使)1ln(ln1 nn从而由从而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得,0 取取1)1ln(2ln N当当 时，必有时，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn上一页上一页下一页下一页返回返回思考题解答思考题解答 1nn)1ln(ln1 nn（等价）（等价）证明中所采
18、用的证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn实际上就是不等式实际上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大”的值的值nnln上一页上一页下一页下一页返回返回从而从而 时，时，2ln)1ln(Nn仅有仅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但不是 的充分条件的充分条件)1ln(ln nn反而缩小为反而缩小为n2ln上一页上一页下一页下一页返回返回一、一、利用数列极限的定义证明利用数列极限的定义证明:1 1、231213lim nnn；2 2、19.999.0lim n二、二、设数列设数列nx有界，又有界，又0lim nny，证明：证
19、明：0lim nnnyx.练练 习习 题题上一页上一页下一页下一页返回返回一、概念的引入上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回数列的极限上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn上一页上一页下一页下一页返回返回
