1、数字图像处理数字图像处理武汉理工大学武汉理工大学 信息学院信息学院第4章图像变换(Image Transform)4.1 连续傅里叶变换连续傅里叶变换4.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换4.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换4.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.5 图像傅里叶变换实例图像傅里叶变换实例4.6 其他离散变换其他离散变换一、一、图象变换的引入图象变换的引入 1.1.方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。2.2.目的：有利于加工、处理目的：有利于加工、处理 滤除不必要信息滤除不必要信息(如噪声如噪声)，加，加强强/提取感兴
2、趣的部分或特征提取感兴趣的部分或特征。二、二、方法分类方法分类 可分离、正交变换可分离、正交变换:2D-DFT,2D-DCT,:2D-DFT,2D-DCT,1 1提取图象特征（如）：（提取图象特征（如）：（1 1）直流分量：）直流分量：f(x,y)f(x,y)的平均值的平均值=F(0,0)=F(0,0)；（2 2）目标物边缘：）目标物边缘：F F（u,vu,v）高频分量。）高频分量。2 2图像压缩：正交变换能量集中，对集中（小）部分进行编码。图像压缩：正交变换能量集中，对集中（小）部分进行编码。3 3图象增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化边缘。图象增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化
3、边缘。三、三、用途用途2D-DHT,2D-DWT 2D-DHT,2D-DWT。1 1、一维傅立叶变换及其反变换、一维傅立叶变换及其反变换4.1 连续连续傅里叶傅里叶变换变换（Continuous Fourier Transform）j2:()()eduxF uf xx1j2:()()eduxf xF uu4.1.1 4.1.1 连续傅里叶变换的定义连续傅里叶变换的定义 (Definition of Continuous Fourier Transform)这里这里 是实函数，它的傅里叶变换是实函数，它的傅里叶变换 通通常是复函数。常是复函数。的实部、虚部、振幅、能量和的实部、虚部、振幅、能量和
4、相位分别表示如下：相位分别表示如下：实部实部 （4.34.3）虚部虚部 （4.44.4）振幅振幅 （4.54.5）xf uF uF dtuttfuR 2cos dtuttfuI 2sin 2122uIuRuF 4.1.1 4.1.1 连续傅里叶变换的定义连续傅里叶变换的定义 (Definition of Continuous Fourier Transform)l能量能量 （4.64.6）l相位相位 （4.74.7）傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。设函数设函数 是连续可积的，且是连续可积的，且 可积，则存可积，则存在如下的傅里叶变换对：在如下的傅里叶
5、变换对：uIuRuFuE222 uRuIuarctan yxf,vuf,4.1 4.1 连续傅里叶变换的定义连续傅里叶变换的定义 (Definition of Continuous Fourier Transform)（4.84.8）（4.94.9）式中式中 是频率变量。与一维的情况一样，是频率变量。与一维的情况一样，二维函数的傅里叶谱、能量和相位谱为二维函数的傅里叶谱、能量和相位谱为:vu、j2(,)(,)(,)ed dux vyf x yF u vf x yxy Fj21(,)(,)(,)ed dux vyF u vf x yF u vu v F4.1 4.1 连续傅里叶变换的定义连续傅里
6、叶变换的定义 (Definition of Continuous Fourier Transform)l傅里叶频谱：傅里叶频谱：（4.104.10）l相位：相位：（4.114.11）l能量谱：能量谱：（4.124.12）2122,vuIvuRvuF vuRvuIvu,arctan,vuIvuRvuE,22 4.2 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）函数函数 的一维离散傅里叶变换的一维离散傅里叶变换由下式定义：由下式定义：（4.134.13）其中，其中，。的傅里叶反变换定的傅里叶反变换定义为：义为：（4.144.14）xf uF 10/2:Nx
7、NuxjexfuF 1,.,2,1,0 Nu 10/211:NuNuxjeuFNxf l傅里叶频谱：傅里叶频谱：l相位相位:l能量谱能量谱 uIuRuF22 uRuIu/arctan uIuRuFuP222 4.2 4.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）同连续函数的傅里叶变换一样，离散函数的同连续函数的傅里叶变换一样，离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离散傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离散傅里叶变换定义为：傅里叶变换定义为：（4.164.16）式中式中 ，。二维离。二维离散傅里叶反变换定义为散傅里叶反变换定义为 （4.
8、174.17）4.2 4.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）1010/)(21,NxNyNvyuxjexfNvuF 1,.,1,0Nu1,.,1,0Nv 1010/)(2,1,NuNvNvyuxjevuFNyxf 式中式中 ，式中式中 是频率变量。与一维的情况一样，是频率变量。与一维的情况一样，二维函数的离散傅里叶谱、能量和相位谱为二维函数的离散傅里叶谱、能量和相位谱为:傅里叶频谱：傅里叶频谱：相位：相位：能量谱：能量谱：4.2 4.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）1,.,1,0 Nx
9、1,.,1,0 Nyvu、vuIvuRvuF,22 vuRvuIvu,arctan,vuIvuRvuFvuP,222 l例例4.14.1一个简单二维函数的中心谱。一个简单二维函数的中心谱。图图4.14.1（a a）显示了在）显示了在 像素尺寸的黑色像素尺寸的黑色背景上叠加一个背景上叠加一个 像素尺寸的白色矩形。像素尺寸的白色矩形。4.2 4.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）512512 4020 图图4.1（a）此图像在进行傅里叶变换的计算之前被乘以此图像在进行傅里叶变换的计算之前被乘以 ，从从而可以使频率谱关于中心对称，如图而可以使频率
10、谱关于中心对称，如图4.14.1（b b）所示。在图）所示。在图4.14.1（b b）中，）中，方向谱的零点分割恰好是方向谱的零点分割恰好是 方向零点分隔的方向零点分隔的两倍。两倍。yx 1uv4.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）（a a）（b b）图图4.14.1（a a）在大小为）在大小为 黑色背景上叠加一个尺寸为黑色背景上叠加一个尺寸为 的白的白 色矩形的图像，色矩形的图像，（b b）应用了对数变换后显示的中心傅里叶谱）应用了对数变换后显示的中心傅里叶谱 512512 4020 符合图像中符合图像中 的矩形尺寸比例（遵照傅里叶变的矩
11、形尺寸比例（遵照傅里叶变换换4.4.64.4.6节的尺度变换性质）。在显示之前频率节的尺度变换性质）。在显示之前频率谱用式（对数处理见前章谱用式（对数处理见前章3.2.23.2.2）中的对数变换）中的对数变换处理以增强灰度级细节。变换中使用处理以增强灰度级细节。变换中使用 的值的值可以降低整体强度。在本章显示的多数傅里叶频可以降低整体强度。在本章显示的多数傅里叶频率谱都用对数变换进行了相似的处理。率谱都用对数变换进行了相似的处理。4.2 4.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）2:15.0 cl例例4.24.2图象的二维离散傅立叶频谱。图象的
12、二维离散傅立叶频谱。读入原始图象读入原始图象I=imread(i_peppers_gray.bmp);imshow(I)%求离散傅立叶频谱求离散傅立叶频谱J=fftshift(fft2(I);%对原始图象进行二维傅立叶变换，并将其坐标原对原始图象进行二维傅立叶变换，并将其坐标原 点移到频谱图中央位置点移到频谱图中央位置figure（2）;imshow(log(abs(J),8,10)其结果如图其结果如图4.24.2所示所示4.2 4.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）（a a）原始图像）原始图像 （b b）离散傅里叶频谱）离散傅里叶频谱 图
13、图4.2 4.2 二维图像及其离散傅里叶频谱的显示二维图像及其离散傅里叶频谱的显示4.2 4.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）快速傅里叶变换快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新的变换，并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换它是离散傅里叶变换(DFT)的一种算法。这种方的一种算法。这种方法是在分析离散傅里叶变换法是在分析离散傅里叶变换(DFT)中的多余运算中的多余运算的基础上，进而消除这些重复工作的思想指导下的基础上，进而消除这些重复工作的思想指导下得到的，所以在运算中大大节省了工作量，达到得到的，所以在运算中大大节省了工作量，达到了快速的
14、目的。了快速的目的。4.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)对于一个有限长序列对于一个有限长序列 ，它，它的傅里叶变换由下式表示的傅里叶变换由下式表示:（4.184.18）令令 因此，傅里叶变换对可写成下式因此，傅里叶变换对可写成下式 （4.194.19）4.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)10 Nxxf 10 NnuxnWxfuFNjNNjNeWeW 212,10 NxuxNWxfuF 从上面的运算显然可以看出要得到每一个频率从上面的运算显然可以看出要得到每一个频率分量，需进行分量，需进行 次乘法和次
15、乘法和 次加法运算。要完次加法运算。要完成整个变换需要成整个变换需要 次乘法和次乘法和 次加法运算。次加法运算。当序列较长时，必然要花费大量的时间。当序列较长时，必然要花费大量的时间。观察上述系数矩阵，发现观察上述系数矩阵，发现 是以是以 为周期为周期的，即的，即 （4.214.21）4.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)N1 N2N 1 NNuxNWN uxNKNxLNuNWW 4.4.1 4.4.1 可分离性（可分离性（SeparabilitySeparability）4.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质(Characteristics o
16、f Fourier Transform)11j2()/001(,)(,)eNNuxvyNxyF u vfx yN ,1,1010/2/2NxNyNvyjNuxjeyxfeNvuF1j2/01(,),e 0,1,1Nvy NyF x vNf x yvNN1j2/01,0,1,1Nux NxF u vF x v eu vNN每每1 1列求变换再乘以列求变换再乘以N,F x v再对再对 每每1 1行求傅里叶变换行求傅里叶变换 l可分离性可分离性（Divisibility）4.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)F(x,v)图
17、4.5 由2步1-D变换计算2-D变换11j2()/001(,)(,)eNNux vyNuvf x yF u vN ,1,1010/2/2 NuNvNvyjNuxjevuFeNyxf 4.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)4.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)4.4.2 4.4.2 平移性质（平移性质（TranslationTranslation）00j2/00(,)e(,)uxv yNf x yF uu vv00j2/00(,)(,)eu
18、xvyNf xxyyF u v)()1(1yxjyxjee,f x y与一个指数相乘等于将变换后的频率域中心移到新的位置。与一个指数相乘等于将变换后的频率域中心移到新的位置。,f x y的平移将不改变频谱的幅值（的平移将不改变频谱的幅值（amplitudeamplitude）。）。傅里叶变换和反变换均以傅里叶变换和反变换均以 为周期，即为周期，即 （4.294.29）上式可通过将右边几项分别代入式（上式可通过将右边几项分别代入式（4.164.16）来）来验证。它表明，尽管验证。它表明，尽管 有无穷多个有无穷多个 和和 的值的值重复出现，但只需根据在任一个周期里的重复出现，但只需根据在任一个周期
19、里的 个值就个值就可以从可以从 得到得到 。4.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)N NvNuFNvuFvNuFvuF ,vuF,uvN vuF,yxf,4.4.3 4.4.3 周期性和共轭对称性（周期性和共轭对称性（Periodicity and Periodicity and Conjugate SymmetryConjugate Symmetry）如果如果 是实函数，则它的傅里叶变换具有是实函数，则它的傅里叶变换具有共轭对成性共轭对成性 （4.304.30）（4.314.31）4.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换
20、的性质(Characteristics of Fourier Transform)yxf,vuFvuF ,vuFvuF ,4.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)4.4.4 4.4.4 旋转性质（旋转性质（RotationRotation）(,),f x yF u v00(,)(,)f rF wcosxrsinyrcosuwsinvw(,)f x y0(,)F u v0上式表明，对上式表明，对旋转一个角度旋转一个角度对应于将其傅里叶变换也旋转相同的角度对应于将其傅里叶变换也旋转相同的角度l例例4.44.4二维离散傅立叶
21、变换的旋转性（具体程序参见二维离散傅立叶变换的旋转性（具体程序参见书）。书）。（a a）原始图像）原始图像 （b b）原图像的傅）原图像的傅 （c c）旋转后的图像）旋转后的图像 （d d）旋转后图像的）旋转后图像的 里叶频谱里叶频谱 傅里叶频谱傅里叶频谱 上例表明，对上例表明，对 旋转一个角度旋转一个角度 对应于对应于将其傅里叶变换将其傅里叶变换 也旋转相同的角度也旋转相同的角度 。4.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)yxf,vuF,0 0 l分配律分配律(Distribution Law)根据傅里叶变换对的定义
22、可得到：根据傅里叶变换对的定义可得到：（4.33）上式表明傅里叶变换和反变换对加法满足分配律，上式表明傅里叶变换和反变换对加法满足分配律，但需注意对乘法则不满足，一般有：但需注意对乘法则不满足，一般有：（4.34）4.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)yxfyxfyxfyxf,2121 yxfyxfyxfyxf,2121 4.4.5 4.4.5 分配律（分配律（Distribution LawDistribution Law）4.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourie
23、r Transform)4.4.6 4.4.6 尺度变换（尺度变换（ScalingScaling）vuaFyxaf,bvauFabbyaxf,1,4.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)【例例4.54.5】比例尺度展宽。比例尺度展宽。（a）原始图像 （b）比例尺度展宽前的频谱（c）比例尺度a=0.1，b=1，展宽后的频谱对一个对一个2-D离散函数，其平均值可用下式表示：离散函数，其平均值可用下式表示：（4.37）当正反变换采用相同的标度数当正反变换采用相同的标度数 时，傅里叶变换时，傅里叶变换域原点的频谱分量为：域原点
24、的频谱分量为：4.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)10102,1),(NxNyyxfNyxfN/1 ),(,1,10,0101021010002yxfNyxfNNeyxfNFNxNyNxNyyxNj 4.4.7 4.4.7 平均值平均值（Average ValueAverage Value）两式比较可得两式比较可得：（4.39）也就是说，频谱的直流成分也就是说，频谱的直流成分 倍于图像平面倍于图像平面的亮度平均值。在使用诸如高通滤波器的场合，其的亮度平均值。在使用诸如高通滤波器的场合，其 值会衰减，因为图像的亮度在
25、很大程度上受值会衰减，因为图像的亮度在很大程度上受到影响，采用对比度拉伸的方法可以缓和这种衰减。到影响，采用对比度拉伸的方法可以缓和这种衰减。4.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质(Characteristics of Fourier Transform)0,01),(FNyxf N 0,0F4.4.8 卷积定理卷积定理(Convolution Theorem)卷积定理是线性系统分析中最重要的一条定理。卷积定理是线性系统分析中最重要的一条定理。下面先考虑一维傅里叶变换：下面先考虑一维傅里叶变换：（4.40）同样二维情况也是如此同样二维情况也是如此 （4.41）4.4 傅里叶变换的性质傅里叶变
26、换的性质(Characteristics of Fourier Transform)uGuFdzzxgzfxgxf ,vuGvuFyxgyxf l例例4.6对一副图进行傅里叶变换，求出其频谱图，对一副图进行傅里叶变换，求出其频谱图，然后利用平移性质，在原图的基础上乘以然后利用平移性质，在原图的基础上乘以 求傅里叶求傅里叶变换的频谱图（程序参照例变换的频谱图（程序参照例4.2）。）。（a a）原图）原图 （b b）频谱图）频谱图 （c c）中心移到零点）中心移到零点 的频谱图的频谱图 图图4.84.8二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图 （结果看下
27、）（结果看下）4.5 图像傅里叶变换实例图像傅里叶变换实例(Examples of Fourier Transform Images)1xy 图图4.8（a）为原图，对其求傅里叶变换得到图）为原图，对其求傅里叶变换得到图4.8（b）傅里叶变换的频谱图，观察频谱图可知，在）傅里叶变换的频谱图，观察频谱图可知，在未平移前，图（未平移前，图（b）坐标原点在窗口的左上角，即变）坐标原点在窗口的左上角，即变换后的直流成分位于左上角，而窗口的四角分布低换后的直流成分位于左上角，而窗口的四角分布低频成分。对原图乘以频成分。对原图乘以 后进行傅里叶变换，观察后进行傅里叶变换，观察频谱图（频谱图（c）可知，变换
28、后的坐标原点移至频谱图窗）可知，变换后的坐标原点移至频谱图窗口中央，因而围绕坐标原点是低频，向外是高频。口中央，因而围绕坐标原点是低频，向外是高频。4.5 图像傅里叶变换实例图像傅里叶变换实例(Examples of Fourier Transform Images)yx 1 通过例通过例4.6可知，图像的能量主要集中在低频可知，图像的能量主要集中在低频区，即图像的中央位置，而相对的高频区（左上、区，即图像的中央位置，而相对的高频区（左上、右上、左下、右下四个角）的幅值很小或接近于右上、左下、右下四个角）的幅值很小或接近于0。以后傅里叶变换都进行相似平移处理，将不再重复以后傅里叶变换都进行相似
29、平移处理，将不再重复叙述。叙述。4.5 图像傅里叶变换实例图像傅里叶变换实例(Examples of Fourier Transform Images)l例例4.7：图：图4.8（a）乘以一指数，将图像亮度整体）乘以一指数，将图像亮度整体变暗，并求其中心移到零点的频谱图（详细程序变暗，并求其中心移到零点的频谱图（详细程序参加书）。参加书）。（a）变暗后的图）变暗后的图 （b）变暗后中心移到）变暗后中心移到 零点的频谱图零点的频谱图图图4.9二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图4.5 图像傅里叶变换实例图像傅里叶变换实例(Examples of F
30、ourier Transform Images)将原图（将原图（a）函数乘以）函数乘以 ，结果如图，结果如图4.9（a）所示。对其亮度平均变暗后的图像进行傅里叶变所示。对其亮度平均变暗后的图像进行傅里叶变换，并将坐标原点移到频谱图中央位置，结果如图换，并将坐标原点移到频谱图中央位置，结果如图4.9（b）所示。对比图）所示。对比图4.8（c）和）和4.9（b）后，可以）后，可以看出当图片亮度变暗后，中央低频成分变小。故从看出当图片亮度变暗后，中央低频成分变小。故从中可知，中央低频成分代表了图片的平均亮度，当中可知，中央低频成分代表了图片的平均亮度，当图片亮度平均值发生变化时，对应的频谱图中央的图
31、片亮度平均值发生变化时，对应的频谱图中央的低频成分也发生改变。低频成分也发生改变。4.5 图像傅里叶变换实例图像傅里叶变换实例(Examples of Fourier Transform Images)1 el例例4.8：图：图4.8（a）加入高斯噪声，得出一个有颗）加入高斯噪声，得出一个有颗粒噪音的图，并求其中心移到零点的频谱图粒噪音的图，并求其中心移到零点的频谱图（程（程序如例序如例4.7）。）。（a a）有颗粒噪音）有颗粒噪音 （b b）有颗粒噪音中）有颗粒噪音中 心移到零点的频谱图心移到零点的频谱图图图4.104.10二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图二维离散傅里叶变换结果中频
32、率成分分布示意图4.5 图像傅里叶变换实例图像傅里叶变换实例(Examples of Fourier Transform Images)1 el例例4.94.9：对中心为一小正方形和以斜长方形求其：对中心为一小正方形和以斜长方形求其傅傅 里叶变换的谱分布（程序见例里叶变换的谱分布（程序见例4.44.4）。）。（a a）正方形原图）正方形原图 （b b）正方形的谱分布（）正方形的谱分布（c c）长方形的原始（）长方形的原始（d d）长方形的谱分）长方形的谱分 图像图像 布布图图4.114.11傅氏变换谱分布实例傅氏变换谱分布实例4.5 图像傅里叶变换实例图像傅里叶变换实例(Examples of
33、 Fourier Transform Images)图图4.114.11示出两幅图像经傅氏变换后的频谱分布示出两幅图像经傅氏变换后的频谱分布例子。左边均为原始图像，右边分别是他们变换后例子。左边均为原始图像，右边分别是他们变换后的谱分布。图（的谱分布。图（a a）是中心为一小正方形，周边为）是中心为一小正方形，周边为空；图空；图(c)(c)是中心为斜置的小矩形。谱分布中，最是中心为斜置的小矩形。谱分布中，最亮区域表示其变换后的幅值最大。对（亮区域表示其变换后的幅值最大。对（c c）傅里叶）傅里叶变换后中心移到零点后的结果，我们可以发现当长变换后中心移到零点后的结果，我们可以发现当长方形旋转了方
34、形旋转了 时，频谱也跟着旋转时，频谱也跟着旋转 ，此实例验，此实例验证了傅里叶变换的旋转性。证了傅里叶变换的旋转性。4.5 图像傅里叶变换实例图像傅里叶变换实例(Examples of Fourier Transform Images)4545l例例4.10:4.10:对一副图片如图对一副图片如图4.124.12（a a）求其幅值谱和）求其幅值谱和 相位谱，并对幅值谱和相位谱分别进行图像构，相位谱，并对幅值谱和相位谱分别进行图像构，对比其所求结果对比其所求结果(详细程序参加书详细程序参加书)。（a a）原图）原图4.5 图像傅里叶变换实例图像傅里叶变换实例(Examples of Fourie
35、r Transform Images)4.5 图像傅里叶变换实例图像傅里叶变换实例(Examples of Fourier Transform Images)（b b）幅值谱）幅值谱 （c c）相位谱）相位谱 （d d）幅值谱重构图像（）幅值谱重构图像（e e）相位谱重构图像）相位谱重构图像图图4.124.12傅里叶图像及其傅里叶变换傅里叶图像及其傅里叶变换4.5 图像傅里叶变换实例图像傅里叶变换实例(Examples of Fourier Transform Images)对图对图4.124.12（a a）进行离散傅里叶变换，得出幅值谱）进行离散傅里叶变换，得出幅值谱图（图（b b），相位谱
36、图（），相位谱图（d d）及幅值谱重构图像图（）及幅值谱重构图像图（c c），），相位谱重构图像图（相位谱重构图像图（e e）。从实验结果可以看出，从幅）。从实验结果可以看出，从幅值谱图像中得到的信息比在相位谱图像中得到的信息值谱图像中得到的信息比在相位谱图像中得到的信息多，但对幅值谱图像重构后，即忽略相位信息，将其多，但对幅值谱图像重构后，即忽略相位信息，将其设为设为0 0，所得到的图像与原始图像相比，结果差别很，所得到的图像与原始图像相比，结果差别很大；而对相位谱图像重构后，及忽略幅值信息，将其大；而对相位谱图像重构后，及忽略幅值信息，将其设 为 常 数，可 以 从 中 看 出 图 像 的
37、 基 本 轮 廓 来。设 为 常 数，可 以 从 中 看 出 图 像 的 基 本 轮 廓 来。图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外，还有其它变换。在图像处理中常用到的有离外，还有其它变换。在图像处理中常用到的有离散余弦变换、沃尔什等。散余弦变换、沃尔什等。4.6 4.6 其他其他离散变换离散变换 （Other Discrete Transform）一维离散余弦变换的定义由下式表示一维离散余弦变换的定义由下式表示 （4.434.43）（4.444.44）4.6.14.6.1离散余弦变换离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)10
38、10NxxfNF 10212cos2NxNuxxfNuF 式中式中 是第是第 个余弦变换系数，是广义频率变个余弦变换系数，是广义频率变量，量，;是时域是时域 点实序列点实序列.一维离散余弦反变换由下式表示一维离散余弦反变换由下式表示 （4.454.45）4.6.14.6.1离散余弦变换离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)11212cos201NuNuxuFNFNxf uFuu1,.,3,2,1 Nu xfN 显然，式（显然，式（4.43）、式（）、式（4.44）和式（）和式（4.45）构）构成了一维离散余弦变换。成了一维离散余弦变换。由一维离散余弦变换（由一维离散
39、余弦变换（1-D DCT）可以很容易）可以很容易推广到二维余弦离散变换，由下式表示：推广到二维余弦离散变换，由下式表示：4.6.14.6.1离散余弦变换离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)1010,10,0NxNyyxfNF 1010212cos,2,0NxNyNvyyxfNvF (4.46)(4.46)4.6.14.6.1离散余弦变换离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)1010212cos,20,NxNyNuxyxfNuF NvyNuxyxfNvuFNxNy212cos 212cos,2,1010 式（式（4.46）是正变换公式。其
40、中）是正变换公式。其中 是空间是空间域二维向量之元素。域二维向量之元素。,是变换是变换系数阵列之元素。式中表示的阵列为系数阵列之元素。式中表示的阵列为 二维离散余弦反变换由下式表示二维离散余弦反变换由下式表示:（4.474.47）4.6.14.6.1离散余弦变换离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)NvyNuxvuFNNuxuFNNvyvFNFNyxfNuNvNuNv212cos 212cos,2212cos0,2212cos,020,01,11111111 yxf,1,.,2,1,0,Nyx vuF,NN 式中的符号意义同正变换式一样。式（式中的符号意义同正变换式
41、一样。式（4.46）和式（和式（4.47）是离散余弦变换的解析式定义。更为）是离散余弦变换的解析式定义。更为简洁的定义方法是采用矩阵式定义，则一维离散余简洁的定义方法是采用矩阵式定义，则一维离散余弦变换的矩阵定义式可写成如下形弦变换的矩阵定义式可写成如下形式式 （4.48）同理，可得到反变换展开式同理，可得到反变换展开式 （4.49）4.6.14.6.1离散余弦变换离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)xfAuF uFAxf 类似地，二维离散余弦变换也可以写成矩阵式类似地，二维离散余弦变换也可以写成矩阵式 （4.504.50）4.6.14.6.1离散余弦变换离散余弦
42、变换(Discrete Cosine Transform)AyxfAvuF,AvuFAyxf,式中式中 是空间域数据阵列，是空间域数据阵列，是变是变换系数阵列，换系数阵列，是系数阵列，是系数阵列，变换矩阵变换矩阵 是的转置。是的转置。l例例4.11:说明二维余弦正反变换在说明二维余弦正反变换在Matlab中的实现中的实现（详细程序参见书）。（详细程序参见书）。4.6.14.6.1离散余弦变换离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)yxf,vuF,A A A （a a）原始图像）原始图像 （b b）余弦变换系数）余弦变换系数 （c c）余弦反变换恢复图像）余弦反变换恢复
43、图像图图4.134.13二维离散余弦变换二维离散余弦变换 4.6.14.6.1离散余弦变换离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)由图由图4.13(b)4.13(b)可知，离散余弦变换具有很强的可知，离散余弦变换具有很强的“能量集中能量集中”特性，能量主要集中在左角处，因此特性，能量主要集中在左角处，因此在实际图像应用中在实际图像应用中,能量不集中的地方可在余弦编能量不集中的地方可在余弦编码中忽略码中忽略,可通过对可通过对maskmask矩阵变换来实现，即将矩阵变换来实现，即将maskmask矩阵左上角置矩阵左上角置1 1，其余全部置，其余全部置0 0。然后通过离散。
44、然后通过离散余弦反变换后，图像得到恢复，图余弦反变换后，图像得到恢复，图(c)(c)恢复图像与恢复图像与图图(a)(a)原始图像基本相同。原始图像基本相同。4.6.14.6.1离散余弦变换离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)例例4.124.12：用：用DCTDCT变换作图象压缩的例子，求经压变换作图象压缩的例子，求经压 缩解压后的图象（详细程序参见书）缩解压后的图象（详细程序参见书），结果如图结果如图4.144.14所示。所示。（a a）原始图像）原始图像 （b b）压缩解压后的图像）压缩解压后的图像 图图4.14 4.14 原始图像及其经压缩，解压缩后的图像原始
45、图像及其经压缩，解压缩后的图像4.6.14.6.1离散余弦变换离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)设设 为一维离散序列，一维离散沃尔什变换为一维离散序列，一维离散沃尔什变换表示为：表示为：(4.51)(4.51)式中式中 沃尔什变换核为：沃尔什变换核为：(4.52)(4.52)4.6.24.6.2沃尔什变换沃尔什变换(Walsh Transform)xf 1010111niubxbNxinixfNuWnNNu2 1,.,2,1,0 ；11111,niubxbiniNuxg 式中式中 是是 的二进制第的二进制第 位值，如位值，如 时，若时，若 （二进制表示是（二进制
46、表示是011011），则），则 。沃尔什反变换公式为：沃尔什反变换公式为：(4.54)(4.54)4.6.24.6.2沃尔什变换沃尔什变换(Walsh Transform)zbkzk82,3 nNn3 z 0,1,1210 zbzbzb 1011,niubxbiniuxh 从式（从式（4.544.54）中可以看出，除系数外，沃尔）中可以看出，除系数外，沃尔什反变换核与沃尔什正变换核具有相同的形式。所什反变换核与沃尔什正变换核具有相同的形式。所以正变换的算法同样适合于反变换，这对计算机来以正变换的算法同样适合于反变换，这对计算机来说，实现起来是非常方便的。说，实现起来是非常方便的。也可以用矩阵表
47、示：也可以用矩阵表示：(4.55)(4.55)反变换的矩阵表示形式为（忽略系数反变换的矩阵表示形式为（忽略系数 ）：）：4.6.24.6.2沃尔什变换沃尔什变换(Walsh Transform)GfW N1 (4.56)(4.56)从一维离散沃尔什变换可以很容易推广到二维情形。从一维离散沃尔什变换可以很容易推广到二维情形。二维离散沃尔什变换为：二维离散沃尔什变换为：(4.57)(4.57)4.6.24.6.2沃尔什变换沃尔什变换(Walsh Transform)GWf 101110111,1,NxnivbybubxbNyiniiniyxfNvuW其变换核为：其变换核为：(4.58)(4.58)
48、反变换为：反变换为：(4.59)(4.59)4.6.24.6.2沃尔什变换沃尔什变换(Walsh Transform)111111,nivbybubxbiniiniNvuyxg 1010111111,NuNvnivbybubxbiniiniNvuyxf 所以，二维离散沃尔什变换也可以分成两步所以，二维离散沃尔什变换也可以分成两步一维沃尔什变换来进行。一维沃尔什变换来进行。二维离散沃尔什变换的矩阵表示形式为：二维离散沃尔什变换的矩阵表示形式为：（4.624.62）式中式中 G G与式（与式（4.564.56）中的含义一样，为沃尔什变换）中的含义一样，为沃尔什变换核矩阵。反变换的矩阵形式为核矩阵。
49、反变换的矩阵形式为 （4.634.63）4.6.24.6.2沃尔什变换沃尔什变换(Walsh Transform)GfGNW21 GWGf 例例4.134.13求二维数字图像信号求二维数字图像信号 的沃尔的沃尔什变换什变换。解解 4.6.24.6.2沃尔什变换沃尔什变换(Walsh Transform)1331133113311331f 1111111111111111G 4.6.24.6.2沃尔什变换沃尔什变换(Walsh Transform)40084008400840081111111111111111161 111111111111111113311331133113311111111
50、111111111412W 4.6.24.6.2沃尔什变换沃尔什变换(Walsh Transform)0000000000001002000000000000160032161 本章主要介绍了数字图像处理中常见的几种本章主要介绍了数字图像处理中常见的几种变换，首先介绍了傅里叶变换，离散傅里叶变换，变换，首先介绍了傅里叶变换，离散傅里叶变换，快速傅里叶变换的概念，性质和实际应用。其次快速傅里叶变换的概念，性质和实际应用。其次还介绍了几种离散变换，有离散余弦变换，沃尔还介绍了几种离散变换，有离散余弦变换，沃尔什变换。什变换。图像的傅里叶变换是使用最广泛的一种变换，图像的傅里叶变换是使用最广泛的一种
