1、最优捕鱼策略最优捕鱼策略(1)2023-1-2最优捕鱼策略(1)（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变)，并且在此前提下得到最高年收获量（捕捞总重量）。（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（109条）。如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采用怎样的策略才能使总收获量最高。最优捕鱼策略(1)（1）假设只考虑一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入与迁出.模型的假设模型的假设（2）假设各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自
2、然死亡，产卵可在后四个月内任何时间发生.（3）假设3、4龄鱼全部具有生殖能力，或者虽然雄鱼不产卵，但平均产卵量掩盖了这一差异.（4）假设各年龄组的鱼经过一年后，即进入高一级的年龄组，但4龄鱼经过一年后仍视为4龄鱼.（5）假设对鱼的捕捞用固定努力量捕捞方式，每年的捕捞强度系数保持不变，且捕捞只在前八个月进行.最优捕鱼策略(1)Ni(t)t 时刻i 龄鱼的数量 Ni0(k)第k 年初i 龄鱼的数量Ni1(k)_第k年底i 龄鱼的数量(i=1，2，3，4)r鱼的自然死亡率c 4龄鱼的平均产卵量(则c/2为3龄鱼的平均产卵量)Qk k年度鱼产卵总量p 鱼卵的成活率Mi第i 龄鱼的平均重量(i=1，2，
3、3，4)Ei 第i 龄鱼的捕捞强度系数ai 对i 龄鱼的年捕捞量(i=3，4）W年总收获量，即W=M3a3+M4a4WW 5年的总收获量为，即符号说明符号说明最优捕鱼策略(1)模型的建立第一步第一步 得出基本模型得出基本模型 给出第k年底i 龄鱼的数量Ni1(k)与第k年初i 龄鱼的数量Ni0(k)之间的递推关系 给出年度捕鱼量 给出第k+1年初i 龄鱼的数量Ni0(k+1)与第k年初i 龄鱼的数量Ni0(k+1)的递推关系由已知条件，可得（E为捕捞努力量）第二步第二步 得出最终模型得出最终模型 根据可持续捕捞的要求,给出约束条件及其目标函数最优捕鱼策略(1)已知r为自然死亡率，其定义为单位时
4、间内死亡的鱼的数单位时间内死亡的鱼的数量与鱼的总量之比量与鱼的总量之比。由于不捕捞1、2龄鱼，所以在t，t+t内，根据死亡率的定义，变形得解得从而(1)第一步（时间以年为单位，考虑一年内各龄鱼数量的演化）最优捕鱼策略(1)对于3、4龄鱼由于捕捞在前8个月进行，因此在前8个月内，捕捞与死亡均影响鱼的变化，因而微分方程变形为(2)由(2)式解得从而对于3、4龄鱼由于后四个月无捕捞，只有自然死亡，所以在后四个月其数量演化的方程为(3)解得从而最优捕鱼策略(1)由于仅在前八个月捕捞,且仅捕捞3龄鱼和4领鱼，而且捕捞强度系数表示的是单位时间内捕捞量与各年龄组鱼群总量成正比的比例系数，所以对i 龄鱼的年捕
5、捞量为从而一年内捕鱼总收获量为最优捕鱼策略(1)由于每年各龄鱼的演化规律相同由于每年各龄鱼的演化规律相同，且捕捞模式相且捕捞模式相同同，综上可得综上可得：l 第k年底i 龄鱼的数量Ni1(k)对第k年初i 龄鱼的数量Ni0(k)的递推关系l 第k年的年度捕鱼收获量(4)(5)最优捕鱼策略(1)由各龄鱼之间的年龄增长关系,并假定产卵在年底一次完成,利用关系式(4)得从而第k+1年初i 龄鱼的数量Ni0(k+1)与第k年初i 龄鱼的数量Ni0(k)的递推关系为(6)(5)式是每年捕鱼的总收获量，式(6)刻划了鱼群各年龄组每年的变化情况，它们一起构成了基本模型。最优捕鱼策略(1)（1）为了实现可持续
6、的最大捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），即要求的前提下获得最高年收获量。结合基本模型，即可得到年度产量最优模型：(7)其中约束条件第二个等号说明各组鱼群条数及产卵量均与k无关。第二步第二步最优捕鱼策略(1)优化模型（7）中的约束条件与k无关，故可把k丢掉，并利用E3=0.42E4，把目标函数和约束条件同时化简得(7)注意到四个约束条件中含五个变量,因此从约束方程组可用符号计算软件解出Ni0(i=1，2，3，4),它们都是E4的函数,从而目标函数就是E4的一元函数.问题最终归结为一元函数的极值问题.该模型也可完全通过数值迭代求解！即：E4从0开始，逐渐增加，逐个计算W，挑出使W
7、最大的E4。最优捕鱼策略(1)%最优捕鱼策略ch431%文件名：ch431.mx=sym(x);E3=0.42*x;d=1.22*1011;r=0.8;q=d*exp(-(3*r+2/3*E3)*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*x)/(1-exp(-(r+2/3*x);N10=d*q/(d+q);N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3)/(1-exp(-(r+2/3*x);a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)*d*q/(d+q)*exp(-2*r);a4=x/(r+x)*(1-exp(-2/3*(r+x)*d*
8、q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3)/(1-exp(-(r+2/3*x);供参考的供参考的MATLABMATLAB计算程序计算程序模型的求解最优捕鱼策略(1)M3=17.86;M4=22.99;M=M3*a3+M4*a4;M1=-M;M10=char(M);M11=char(M1);fplot(M10,0,100)E4=fmin(M11,0,100);E3=0.42*E4;d=1.22*1011;r=0.8;q=d*exp(-(3*r+2/3*E3)*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*E4)/(1-exp(-(r+2/3*E4);N10=d*q/
9、(d+q);N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3)/(1-exp(-(r+2/3*E4);最优捕鱼策略(1)a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)*d*q/(d+q)*exp(-2*r);a4=E4/(r+E4)*(1-exp(-2/3*(r+E4)*d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3)/(1-exp(-(r+2/3*E4);M3=17.86;M4=22.99;E3E4M=M3*a3+M4*a4;Max=MN1=N10%各年龄组鱼的数量各年龄组鱼的数量N2=N1*exp(-r)N3=N2*exp(-r)N4=N40执行后输出执行
10、后输出最优捕鱼策略(1)E3=7.335 E4=17.4664 Max=3.8886e+11 各年龄组数为 N1=1.1958e+11 N2=5.3730e+10 N3=2.4142e+10 N4=8.1544e+7最优捕鱼策略(1)图4-5 年度总捕获量随捕捞强度E4的变化曲线E4W(g)最优捕鱼策略(1)(2)针对渔业公司的5年固定努力量的捕捞计划，我们在已知各年龄组鱼初始条数的前提下，利用迭代方程(6)可逐次求得以后各年龄组鱼的初始条数，以及各年的年度捕捞收获量，这些量都是E4的函数。数值解得 WWmax=1.60571012g E4=17.58 E3=7.383 W1=1.605710
11、12g W2=1.60571012g W3=1.60571012g W4=1.60571012g W5=1.60571012g建模过程完了吗？最优捕鱼策略(1)模型检验 合同要求五年后鱼群的生产能力不能收到太大的破坏，那么我们所得的解是否满足要求呢？这就要做模型检验。为了分析对鱼群的生产能力的破坏程度，通常认为在天然情况下，鱼的生态系数总能趋于平衡，而对鱼的捕捞，使鱼的数量偏离了其平衡点。因而可以用五年捕捞后鱼群数量恢复所需的年数来衡量对鱼的生产能力的破坏程度。在刻划了鱼群各年龄组每年的变化情况的迭代式(6)中，令Ei=0，并让Ni0(k+1)=Ni0(k)得无捕捞下的平衡点：N1=1.219
12、811011，N2=5.480981011，N3=2.462761011，N4=2.009531011.由于 无 捕 捞 时，Ni(t)呈 指 数 分 布，可 以 认 为 当 Ni(t)sqrt(2)/2Ni时鱼群已恢复生产力。而鱼恢复得越快，即对鱼的生产能力破坏越少，因此我们可以认为捕捞结束后的四年(鱼的一个生长周期)内恢复生产能力，那么捕捞就对鱼的生产能力没有破坏！最优捕鱼策略(1)为了验证所得到的使得五年捕捞量最大的E4符合不对鱼生产力造成较大破坏的要求，又通过计算来观察打工经过5年捕捞及停止捕捞后鱼的数量的恢复过程。画图可知停止捕捞后两年鱼的生产力就会得到恢复，所以我们可以认为没有破坏生产力，这是一个可接受的策略(详细请见P238)。模型评价 本模型结合Leslie矩阵离散建模和微分方程连续建模的方法，成功地解决了可持续捕捞问题最优解及已知初始分布的最优捕捞问题，得到了较为精确且合理的结果，并可将捕捞年限推广到任意的年限。本模型具有广泛的普遍性和适用性：只要改变其中的部分系数如死亡率和初始分布，即可应用于其它种群的生存和开发问题。以此模型为理论基础，可制定出开发可再生资源的最优策略，具有现实意义。最优捕鱼策略(1)2023-1-2最优捕鱼策略(1)
