1、(1)根轨迹的基本概念(2)根轨迹的绘制方法(3)运用闭环特征方程根的分布来估算系统的性能4-1 根轨迹方程根轨迹方程特征方程的根 运动模态 系统动态响应（稳定性、系统性能）第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法根轨迹根轨迹 开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹称为根轨迹。2023-1-21Automatic Control Theory若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。022)(,222)()()(22KsssDKssKsRsCs)15.0(ssK例:二阶系统的根轨迹Ks2112
2、,1开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。2023-1-22Automatic Control TheoryKs2112,100K1221211K5.2KKj5.0K根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能稳定性稳定性 考察根轨迹是否进入右半 s 平面。稳态性能稳态性能 开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。动态性能动态性能 由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。0K2023-1-23Automatic Control Theory对于高阶系统，不能
3、用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。根轨迹法根轨迹法 图解法求根轨迹。从开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹。闭环零、极点与开环零、极点之间的关系闭环零、极点与开环零、极点之间的关系设 控制系统如图所示qiifiiGGpszsKsTsTsTssssKsG11*222221212221)()()12)(1()12)(1()()(sG)(sH)(sC)(sR)()(1)()(sHsGsGs2023-1-24Automatic Control Theory*11*1111*,)()()()()()()()(HGniimjjhjjqiiljjfiiHGKKKlfmhqnpszsKpspszs
4、zsKKsHsG22121*TTKKGG和hjjljjHpszsKsH11*)()()(GK*GK*HK ：前向通路增益 ：前向通道根轨迹增益 ：反馈通道根轨迹增益2023-1-25Automatic Control TheorymjjniihjjfiiGzsKpspszsKsHsGsGs1*111*)()()()()()(1)()(结论：结论：（1）闭环系统的根轨迹增益=开环前向通道系统根轨迹增益。（2）闭环系统的零点 开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点所组成。（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益 均有关。*K根轨迹法的任务：根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨
5、迹增益，用图解方法确定闭环极点。2023-1-26Automatic Control Theory1)()(0)()(111*niimjjpszsKsHsG由闭环传递函数)()(1)()(sHsGsGs*0KK当求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。根轨迹方程根轨迹方程根轨迹方程2023-1-27Automatic Control Theory),2,1,0(,)12()()(11kkpszsniimjjmjjniizspsK11*)12(11*11*1,1)()(kjjniimjjniimjjeepszsKpszsK根轨迹方程可以进一步表示为相角条件（幅角条件）相角条件（幅角条件）：（
6、充分必要条件）模值条件（幅值条件）模值条件（幅值条件）：2023-1-28Automatic Control TheoryiniipspsK1*0)(04-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则*K可变参数为根轨迹增益),2,1,0(,180)12()12()()(11kkkpszsoniimjj相角条件：180o相轨迹规则规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。简要证明：0)()(0)()(11*1mjjniizsKpssHsG2023-1-29Automatic Control Theory又从0)()(111*mjjniizspsKjmjjzszsK1*0
7、)(在实际系统通常是 ，则还有 条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 个无限远（无穷）零点。mn)(mn)(mn mn 0*K*K0有两个无穷远处的终点0mn 0*K*K有一个无穷远处的起点2023-1-210Automatic Control Theory规则规则2：根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数根轨迹的分支数与开环极点数n相等（nm）或与开环有限零点数m相等（nm 时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。2023-1-211Automatic Control Theory)22)(4()1()(2*ss
8、sssKsGmnkoa180)12(mnzpnimjjia11与实轴夹角与实轴交点例1 设单位反馈系统的前向传递函数为1,11,4,014321zjpjppp（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴（1）（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线0*K0mn aa2023-1-212Automatic Control Theoryoooooakmnk180,60,6014180)12(180)12(67.114)1()1140(11jjmnzpnimjjia与实轴夹角与实轴交点图示P.144 4-6规则规则4：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极
9、点数）为奇数。这个结论可以用相角条件证明。2023-1-213Automatic Control Theory由相角条件 )12(11kniimjj图示证明：P.145 图4-7 规则规则5：根轨迹分离点两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：niimjjpdzd1111)1(0)()()2(0)()(1)()(1*dsdssHsdGsNsMKsHsG0)3(*dsdsdK2023-1-214Automatic Control Theory说明说明：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。（2）若实
10、轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。（3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。(4)分离角)3)(2()1(*ssssK)(sR)(sC11z解（1）开环零点开环极点根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。3,2,0321ppp例 2 绘制图示系统大致的根轨迹lk/)12(2023-1-215Automatic Control Theoryooak90)13/(180)12(（2）实轴上根轨迹（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点0,1,2,32)13/()1()320(a47.2)2(4.03121167.0115.2
11、)1(3121111dddddddddd10j2347.2（4）分离点（用试探法求解）2023-1-216Automatic Control Theory15.0)15.0()(2sssKsG例3：设单位反馈系统的传递函数为（1）一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。（2）渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（-，-2。（3）分离点试绘制闭环系统的根轨迹。jszKKsssKsssKsG125.0)22()2(15.0)15.0()(2,11*2*2解:2023-1-217Automatic Control Theory586.0414.3024111121212dddd
12、jdjdd414.3d（4）由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，半径为20180)12()1()1()2(kjsjss11112,111tgtgtgjs11112111tgtgtg2023-1-218Automatic Control Theory10j414.3211)1)(2/()1(1)1/1()2/(22222)2()2(0242023-1-219Automatic Control Theory规则规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角 。终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开
13、环零点处的切线与实轴的夹角 。ipizmjnijjpppzpijijik11)12(mijjnjzpzzzijijik11)12(2023-1-220Automatic Control Theory例4321321180)12(4opkjs*K规则规则7：根轨迹与虚轴的交点交点对应的根轨迹增益 和角频率 可以用劳斯判据或闭环特征方程（）确定。10j2334p210)()(1jHjG0)()(1RejHjG0)()(1ImjHjG2023-1-221Automatic Control Theory)22)(3()()(2*ssssKsHsG例5 设系统开环传递函数试绘制闭环系统大致的根轨迹。解（
14、1）无开环零点，开环极点在实轴上根轨迹-3，0。（2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点jppp1,3,04,32125.141130135,454180)12(jjkaoooa2023-1-222Automatic Control Theory（3）分离点01111311jdjddd3.206161540)685(0685)22)(3(0)()(1)(,)22)(3()()(23*234*234*22*dddddsdKssssKKssssKsssssHsGsDssssKsHsGds（4）起始角（出射角）ooooooptgtgjj6.719021)190(18090)31()1(180
15、113op6.7142023-1-223Automatic Control Theory（5）与虚轴的交点 运用劳斯判据0685)(0)()(1)(*234KsssssDsHsGsD*0*23*4034/)25204(5686581KsKsKssKs由第一列、第四行元素为零16.8025204*KK由辅助方程095.1016.8)568(2,12jss2023-1-224Automatic Control Theory0j13.23095.1 j095.1 j2023-1-225Automatic Control Theory规则规则 8：闭环极点之和、闭环极点之积与根轨迹分支的走向mjnll
16、njmniinninllinllnnlnnininljmmjminninnllmjjniimjjniipzKpppmnpspszszsKpspspszsKpszsKpssHsG11*111111111*111*11*1)1()1()1(2)1()()1()()1()()()()(0)()(0)()(12023-1-226Automatic Control TheorymjnllnjmniinninllipzKpppmn11*111)1()1()1(2若开环传递函数的积分环节个数1mjnlljmnmjnlljmnniipzKpzKp11*11*1)1()1(结论结论：（1）若 n-m2 闭环极点
17、之和=开环极点之和=常数表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数。（2）对于1型以上（包括1型）的系统，闭环极点之积与开环增益值成正比。2023-1-227Automatic Control Theory闭环极点的确定闭环极点的确定(1)对于特定的K*值下的闭环极点，可以借助根轨迹图用模值条件确定。(2)根据K*值，通常用试探法先确定在实轴上的闭环极点，然后确定其它的闭环极点。0j13.23)3()1()1(*sjsjssK因为已知分离点33.4)3(3.2)1(3.2)1(3.23.2*jjK3.2d例6 确定 K*=
18、4 的闭环极点。2023-1-228Automatic Control Theory于是可知 K*=4 对应的闭环极点在分离点两侧。经过若干次试探，找出满足模值条件的两个闭环极点52.2221ss86.024.0)()(52.2)(2(4685)(44,343234*jssssssssssssDK另外两个根可以从特征方程求出P.153 图4-15给出了一些不同开环零极点分布时，其根轨迹大致走向。2023-1-229Automatic Control Theory广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益之外的所有根轨迹。(1)参数根轨迹，(2)开环零点个数大于开环极点个数的根轨迹，(3)具有正反馈内
19、环的零度根轨迹，等等。1、参数根轨迹参数根轨迹 以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹引入等效开环传递函数的概念0)()(1)()(,1)()(0)()(1)(sHsGsAPsQsQsPAsHsGsD)()()()(11sQsPAsHsG等效开环传递函数4-3 广义根轨迹广义根轨迹注意注意：等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。2023-1-230Automatic Control Theory例1：设单位反馈系统的开环传递函数为)1)(1()(sTssKsGa其中开环增益可自行选定。试分析时间常数 对系统性能的影响。aT解：闭环特征方程KssssTsG
20、KssssTssTKssKsTssaaaa)1()1()(0)1()1(10)1()1(0)1)(1(2122要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点2023-1-231Automatic Control Theory0)1(1ssKKp41212,1等效开环极点注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：在本例中，K可自行选定，选定不同K值，然后将G1(s)的零、极点画在 s 平面上，在令绘制出 变化时的参数根轨迹。aaTT0aT0aT2023-1-232Automatic Control Theory0j25.0K
21、1210jK25.0KssssTsGa)1()1()(212023-1-233Automatic Control Theory2、附加开环零点的作用、附加开环零点的作用1.附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。设开环传递函数为)22()()()(21*ssszsKsHsG1z1z 是附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当 时，表明不存在有限零点。1z令 为不同的数值，对应的根轨迹见P.158 图4-23所示：（a）无开环零点；（b）；（c）（d）31z21z01z2023-1-234Automatic Control Theory2.附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，
22、还可以改善系统的动态性能。1z0j1p3p2p3s2s1s0j3s3p2p1p2s1s1znn结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。2023-1-235Automatic Control Theory3、零度根轨迹、零度根轨迹在非最小相位系统，此时相角条件为 在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为 具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹ko20ko20)(sC)(sR)(sG)(sH)(1sG)(1sH2023-1-236Automatic Control T
23、heory零度根轨迹的绘制零度根轨迹的绘制以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回路系统如图所示，外回路是采用负反馈加以稳定，为了分析整个系统的性能，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。)(sC)(sR)(sG)(sH)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs1)()(sHsG),2,1,0(,20)()(11kkpszsoniimjj等效为相角方程（幅角条件）和模方程（模值条件）2023-1-237Automatic Control TheorymjjniizspsK11*与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。所以零度根轨迹的绘
24、制的规则只要考虑相角条件所引起的某些规则的修改。规则规则3：渐近线的夹角),2,1,0(1802kmnkoamnzpnimjjia11与实轴夹角与实轴交点2023-1-238Automatic Control Theory规则规则4：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为偶数。这个结论可以用相角条件证明。规则规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：ipiz终止角（入射角）：mjnijjpppzpijiji11mijjnjzpzzzijiji11P.161 表4-3列出了零度根轨迹绘制法则2023-1-239
25、Automatic Control Theory例3 设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为1)(,)22)(3()2()(2*sHssssKsG试绘制该回路的根轨迹图。（1）系统的开环零极点分布为3,1,1,23211pjpjpz有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（-，-3，-2，）。（2）根轨迹的渐近线（n-m)=2条，渐近线夹角oooak180,01318022023-1-240Automatic Control Theoryoooooptgarctgarc6.71)906.26(45)9021(1110j23jj（3）确定出射角（4）确定分离点8.00)24.67.4)(8.0(11
26、1131212ddddjdjdddop6.7122023-1-241Automatic Control Theory（5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为3232)2(0)3(0)1(0)1(0*jjKc13/3,3/232*cKKKK2023-1-242Automatic Control Theory例4 设飞机的纵向运动时的开环传递函数为)1()2()()()(222*nnsssBAssKsHsG试绘制飞机纵向运动的根轨迹图。23,22222*222*102/)4(,2/)4()2()()2()()()(1nnnnnnjppBAAbBAAasssbsasKs
27、ssBAssKsHsG（1）开环传递函数中具有右半s平面的零点，开环系统为非最小相位系统。开环传函是非最小相位系统2023-1-243Automatic Control Theory（2）开环系统传递函数具有负号，相当于是具有正反馈性质。)2()()()(22*11nnsssbsasKsHsG0jnab21nj令2023-1-244Automatic Control Theory已知系统的闭环零点、极点定性地分析或定量地估算系统的性能。闭环零极点与时间响应的关系闭环零极点与时间响应的关系 设系统闭环传递函数)22)(10(20)(2ssss)129cos(55.1024.01)(10ottte
28、eth系统的闭环极点jss1,103,21单位阶跃响应)129cos(55.11)(otteth近似结果js13,2主导极点101s非主导极点4-4 系统性能分析与估算系统性能分析与估算 偶极子偶极子 一对相距很近的闭环零点、极点。2023-1-245Automatic Control Theory)22)()(2)(2ssasasaas闭环极点jsas1,3,21闭环零点az10as1一对偶极子)135sin(2)22)(21)(2otatteeaaath)135sin(21)(otteth实数偶极子、复数偶极子。如果这对偶极子不十分靠近坐标原点，则它们对动态性能的影响可以忽略不计。az12
29、023-1-246Automatic Control Theory0a如果偶极子十分接近原点，即)135sin(2)22)(21)(2otatteeaaath)135sin(21)(otteath靠近坐标原点的偶极子对动态性能的影响必须考虑。偶极子的确定：闭环零、极点之间的距离比它们自身的模值小 一个数量级，这对闭环零、极点构成偶极子。主导极点法估算估算系统性能从闭环零、极点分布，系统性能的定量估算2023-1-247Automatic Control Theory系统性能的定性分析系统性能的定性分析 了解闭环零点和闭环主导实数主导极点对系统性能的影响非常重要。闭环零点的存在，将使得系统的峰值
30、时间提前，这相当与减少了闭环系统的阻尼，从而使得系统的超调量加大。221122)()(nnnsszszs以具有一个负实数零点的衰减振荡二阶系统为例不同零点位置与超调量之间的关系曲线见p.165 图-272023-1-248Automatic Control Theory（1）稳定性：闭环极点全部位于左半S平面系统稳定性与闭环极点有关，与闭环零点无关。（2）运动形式：闭环系统无零点，闭环极点均为实数，时间响应一定是单调的；闭环极点均为复数，时间响应一般是振荡的。（3）超调量：超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率 并与其它闭环零、极点接近坐标的程度有关。211/d闭环系统零、极点位置对时间响应性能指标的影响，归纳为：2023-1-249Automatic Control Theory（5）实数零、极点影响：零点减小系统阻尼，使得峰值时间提前，超调量增大；实数极点增大系统阻尼，是峰值时间推迟，超调量减小。（6）偶极子及其处理。远离原点的偶极子，其影响可以忽略；但靠近原点的偶极子，其影响必须考虑。（7）主导极点。比主导极点的实部大6倍以上的其它闭环零、极点，其影响可以忽略。（4）调节时间：主要取决于闭环复数主导极点的实部绝对值 ，如果是实数极点距虚轴最近，附近没有实数零点，取决于该极点的模值。n12023-1-250Automatic Control Theory
