1、第四节第四节1一、事件的独立性一、事件的独立性 设有两个事件设有两个事件A,B,一般来说一般来说,P(A|B)与与P(A)是是有差异的，但有时事件有差异的，但有时事件B的发生与否并不影响事件的发生与否并不影响事件A发生的概率，即发生的概率，即P(A|B)=P(A).显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生发生的概率的概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.A=第二次掷出第二次掷出6点点，B=第一次掷出第一次掷出6点点，例如例如,将一颗均匀色子连掷两次，将一颗均匀色子连掷两次，设设2 由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A
2、、B独立时，有独立时，有 P(AB)=P(A)P(B)用用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性刻划独立性,比用比用 P(A|B)=P(A)或或 P(B|A)=P(B)更好更好,它不受它不受P(B)0或或P(A)0的制约的制约,且体现对称性且体现对称性.P(AB)=P(B)P(A|B)若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)=P(A)P(B)(1)则称则称A、B独立，或称独立，或称A、B相互独立相互独立.定义定义3解解例例1 1 袋中有袋中有a个白球个白球b个黑球，分别以个黑球，分别以A,B记第一次、记第一次、第二次摸得白球，第二次摸得白球，(1)(1)采用还原摸球；采用还原摸球；(2)(2
3、)采用非还采用非还原摸球原摸球，试分别判断试分别判断A,B的独立性的独立性.(1)(1)还原摸球还原摸球,，baaA )(P，22)()(PbaaAB ，2)()(PbaabBA )(P)(P)(PBAABB 所所以以，baa ,)(P)(P)(PBAAB 由于由于所以所以 A,B 相互独立相互独立.全概率公式全概率公式222)()(baabbaa 4(2)(2)非还原摸球非还原摸球,，baaA )(P)(P)(P)(PBAABB 所所以以,)(P)(PBAB 但是但是所以所以 A,B 不相互独立不相互独立.,)1)()1()(P babaaaAB,)1)()(P babaabBA)1)()1
4、)()1(babaabbabaaa,baa 5请问：如图的两个事件是独立的吗？请问：如图的两个事件是独立的吗？AB即即:若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0,P(B)0,则则A与与B不独立不独立.反之，若反之，若A与与B独立，且独立，且P(A)0,P(B)0,则则A、B不互斥不互斥.而而 P(A)0,P(B)0,故故 A、B不独立不独立.由于互斥由于互斥,P(AB)=0，即即 P(AB)P(A)P(B)独立与互斥的关系独立与互斥的关系6设设A、B为互斥事件，且为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是：前面我们看到独立与互斥的区别和联系，前面我们看
5、到独立与互斥的区别和联系，1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B)设设A、B为独立事件，且为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是：1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习再请你做个小练习.7若若事事件件A与与B独独立立，则则A与与B、A与与B、A与与B也也分分别别独独立立。A，B独立独立证明证明)(P)(PABBBA )(P)(PABB )(P)(P)(PBAB )(P)(P1 BA .)(P)(PBA 所所以
6、以A与与B独独立立.由由对对称称性性及及AA,可可得得其其余余结结论论.8下面来定义三个事件的独立性下面来定义三个事件的独立性.P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)定义定义 对三个事件对三个事件A,B,C，如果下列四个等式同如果下列四个等式同时成立，时成立，则称则称A,B,C相互独立相互独立.由定义可知，三个事件由定义可知，三个事件相互独立相互独立必保证必保证两两独两两独立立.但两两独立但两两独立不一定不一定保证相互独立保证相互独立.9推广到推广到n个事件的独立性定义个事件的独立性定义,可类似写出：可类似写出
7、：等式总数为：等式总数为：nnnnCCC32 需要说明的是，我们一般不是根据定义来判断需要说明的是，我们一般不是根据定义来判断事件的独立性，而是从实际问题出发，如果事件之事件的独立性，而是从实际问题出发，如果事件之间无甚关联，则假定事件之间的独立性，然后利用间无甚关联，则假定事件之间的独立性，然后利用独立性的公式来计算概率独立性的公式来计算概率.12 nn设设A1,A2,An是是 n个个事件，如果对任意事件，如果对任意k(1k n),任意任意1 i1i2 ik n,具有等式具有等式则称则称A1,A2,An为相互独立的事件为相互独立的事件.)(P)(P)(P)(P2121kkiiiiiiAAAA
8、AA 10对独立事件，许多概率计算可得到简化对独立事件，许多概率计算可得到简化.二、利用事件的独立性计算概率二、利用事件的独立性计算概率 设设事事件件nAAA,21相相互互独独立立，则则nAAA,21至至少少发发生生其其一一的的概概率率可可按按下下列列方方法法来来求求：)(P21nAAA)(P121nAAA )(P)(P)(P121nAAA .)(P1)(P1)(P1 121nAAA 特特别别地地,如如果果pAi)(P,),2,1(ni,则则.)1(1)(P21nnpAAA )(P121nAAA 11例例2 2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出
9、的概率分别为概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？密码译出的概率是多少？将三人编号为将三人编号为1，2，3，所求概率为所求概率为记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3解解123)(P321AAA )(P)(P)(P1321AAA .534332541 “三个臭皮匠，顶个诸葛亮三个臭皮匠，顶个诸葛亮.”.”12请看演示请看演示“诸葛亮和臭皮匠诸葛亮和臭皮匠”13例例3 3 假定人群中血清带肝炎病毒的概率为假定人群中血清带肝炎病毒的概率为0.0040.004，混，混合合100100个人的血清，求此血清带肝炎病毒
10、的概率个人的血清，求此血清带肝炎病毒的概率.解解以以iA)100,2,1(i记记第第 i 个个人人的的血血清清带带肝肝炎炎病病毒毒，假假定定它它们们相相互互独独立立，则则所所求求概概率率为为 )(P10021AAA100)1(1p .33.0996.01100 14（在（在可靠性理论可靠性理论中的应用）对于一个元件或系统，中的应用）对于一个元件或系统，它能正常工作的概率称为它能正常工作的概率称为可靠性可靠性。n 个个元元件件串串联联构构成成一一个个线线路路(如如上上图图),如如果果每每个个元元件件的的可可靠靠性性均均为为 r)10(r，且且元元件件之之间间相相互互独独立立，则则线线路路的的可可
11、靠靠性性为为nrR 0.如如果果 n 个个元元件件并并联联构构成成一一个个线线路路(如如右右图图),则则线线路路的的可可靠靠性性为为nr)1(1 .15 为了提高以上线路的可靠性，用以下两种方法为了提高以上线路的可靠性，用以下两种方法附加附加n个元件，比较系统的可靠性大小个元件，比较系统的可靠性大小.方法一：方法一：201)1(1RR nrR 0)2(00RR .0R 方法二：方法二：16每对并联元件的可靠性为每对并联元件的可靠性为 ，)2()1(12rrrp nnnrrpR)2(2 .)2(00RrRn ，)2(01nrRR 比较比较例例如如,10,8.0 nr,则则89.12 nr,而而1
12、3.6)2(nr,利利用用数数学学归归纳纳可可以以证证明明,当当2 n时时,有有 nnrr 2)2(，即即12RR ，由由此此可可见见，用用第第二二种种方方法法附附加加元元件件的的系系统统可可靠靠性性较较高高。17课外读物赌徒的谬误赌徒的谬误 M：琼斯先生和琼斯太太有五个孩子，都是女儿。琼斯先生和琼斯太太有五个孩子，都是女儿。琼斯太太：我希望我们下一个孩子不是女孩。琼斯太太：我希望我们下一个孩子不是女孩。琼斯先生：我亲爱的，在生了五个女儿之后，下一琼斯先生：我亲爱的，在生了五个女儿之后，下一个肯定是儿子。个肯定是儿子。M：琼斯先生对吗？琼斯先生对吗？M：很多玩轮盘赌的赌徒以为，他们在盘子转过很
13、很多玩轮盘赌的赌徒以为，他们在盘子转过很多红色数字之后，就会落在黑的上，他们就可以赢多红色数字之后，就会落在黑的上，他们就可以赢了。事情将是这样进行的吗？了。事情将是这样进行的吗？M：有人有人坚持认为，如果你在一轮掷骰子中已掷出坚持认为，如果你在一轮掷骰子中已掷出五次两点，你下次再掷出两点的机会就要小于五次两点，你下次再掷出两点的机会就要小于1/6了。了。他说得对不对呢？他说得对不对呢？18M：琼斯先生和琼斯太太第六个孩子是女孩的概率琼斯先生和琼斯太太第六个孩子是女孩的概率仍然是仍然是1/2。轮盘赌的下一次赌数是红色的概率仍然。轮盘赌的下一次赌数是红色的概率仍然是是1/2。掷骰子时，下一次掷出
14、。掷骰子时，下一次掷出2的概率仍然是的概率仍然是1/6。M：为了让问题更明朗，假定一个男孩扔硬币，扔为了让问题更明朗，假定一个男孩扔硬币，扔了五次国徽向上。这时再扔一次，国徽向上的概率了五次国徽向上。这时再扔一次，国徽向上的概率还是完全与以前一样：一半对一半，还是完全与以前一样：一半对一半，钱币对于它过钱币对于它过去的结果是没有记忆的去的结果是没有记忆的。M：如果你对任何这类问题回答说如果你对任何这类问题回答说“对对”，你就陷，你就陷入了所谓入了所谓“赌徒的谬误赌徒的谬误”之中。在掷骰子时，每掷之中。在掷骰子时，每掷一次都与以前掷出的点数完全无关。一次都与以前掷出的点数完全无关。19 如果事件
15、如果事件A的结果影响到事件的结果影响到事件B B，那么就说那么就说B是是“依赖依赖”于于A的。例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于的。例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于明天是否下雨的概率。在日常生活中说的明天是否下雨的概率。在日常生活中说的“彼此没有彼此没有关系关系”的事件称为的事件称为“独立独立”事件。你明天穿雨衣的概率事件。你明天穿雨衣的概率是和美国总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的。是和美国总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的。大多数人很难相信一个独立事件的概率由于某种大多数人很难相信一个独立事件的概率由于某种原因会不受临近的同类独立事件的影响。比如，第一原因会不受临近的同类独立事件的影响。比如，第一次
16、世界大战期间，前线的战士要找新的弹坑藏身。他次世界大战期间，前线的战士要找新的弹坑藏身。他们确信老的弹坑比较危险，因为他们相信新炮弹命中们确信老的弹坑比较危险，因为他们相信新炮弹命中老弹坑的可能性较大。因为，看起来不可能两个炮弹老弹坑的可能性较大。因为，看起来不可能两个炮弹一个接一个都落在同一点，这样他们就合理地认为新一个接一个都落在同一点，这样他们就合理地认为新弹坑在一段时间内将会安全一些。弹坑在一段时间内将会安全一些。20 有一个故事讲的是很多年前有一个人坐飞机到处有一个故事讲的是很多年前有一个人坐飞机到处旅行。他担心可能哪一天会有一个旅客带着隐藏的炸旅行。他担心可能哪一天会有一个旅客带着
17、隐藏的炸弹。于是他就总是在他的公文包中带一枚他自己卸了弹。于是他就总是在他的公文包中带一枚他自己卸了火药的炸弹。他知道一架飞机上不太可能有某个旅客火药的炸弹。他知道一架飞机上不太可能有某个旅客带着炸弹，他又进一步推论，一架飞机上同时有两个带着炸弹，他又进一步推论，一架飞机上同时有两个旅客带炸弹是更加不可能的事。事实，他自己带的炸旅客带炸弹是更加不可能的事。事实，他自己带的炸弹不会影响其他旅客携带炸弹的概率，这种想法无非弹不会影响其他旅客携带炸弹的概率，这种想法无非是以为一个硬币扔出的正反面会影响另一个硬币的正是以为一个硬币扔出的正反面会影响另一个硬币的正反面的另一种形式而已。反面的另一种形式而
18、已。21 所有轮盘赌中最受欢迎的系统是戴伦伯特系统，所有轮盘赌中最受欢迎的系统是戴伦伯特系统，它正是以赌徒未能认识到独立事件的独立性这一它正是以赌徒未能认识到独立事件的独立性这一“赌赌徒谬误徒谬误”为基础的。参与者赌红色或黑色（或其他任为基础的。参与者赌红色或黑色（或其他任何一个对等赌金的赌），每赌失败一次就加大赌数，何一个对等赌金的赌），每赌失败一次就加大赌数，每赌赢一次就减少赌数。他们猜想，如果小小的象牙每赌赢一次就减少赌数。他们猜想，如果小小的象牙球让他赢了，那么就会有某种原因球让他赢了，那么就会有某种原因“记住记住”它，不太可它，不太可能让他在下一次再赢；如果小球使他输了，这将感到能让
19、他在下一次再赢；如果小球使他输了，这将感到抱歉，很可能帮助他在下一次赢。抱歉，很可能帮助他在下一次赢。事实是每一次旋转，轮盘都与以前旋的结果无关，事实是每一次旋转，轮盘都与以前旋的结果无关，这就十分简单地证明了，任何一个赌博系统给赌徒的这就十分简单地证明了，任何一个赌博系统给赌徒的好处都不会比给赌场主的还多。好处都不会比给赌场主的还多。22 一一个有意义的课堂活动就是玩一次实际的以赌徒个有意义的课堂活动就是玩一次实际的以赌徒谬误为基础的赌博游戏。比如，一个学生可以反复抛谬误为基础的赌博游戏。比如，一个学生可以反复抛掷硬币，只是在同一面出现三次之后，才与另一学生掷硬币，只是在同一面出现三次之后，
20、才与另一学生用扑克牌作筹码打赌。他总是赌硬币相反的那一面。用扑克牌作筹码打赌。他总是赌硬币相反的那一面。换句话说，就是在三次出现国徽之后，他赌字；在三换句话说，就是在三次出现国徽之后，他赌字；在三次出现字之后，他赌国徽。末了，比如说赌了次出现字之后，他赌国徽。末了，比如说赌了5050次，次，这时他手中的牌数不一定正好与开始时一样多，但应这时他手中的牌数不一定正好与开始时一样多，但应该是差不多的。也就是说他赌赢赌输的概率是相等的。该是差不多的。也就是说他赌赢赌输的概率是相等的。23第第一一章章内内容容总总框框图图随机试验与事件随机试验与事件样本空间样本空间与事件与事件事件概率的直观意义事件概率的
21、直观意义排列排列组合组合古典古典概率概率几何几何 概率概率统计统计概率概率概率的概率的公理公理加法公式加法公式及其应用及其应用 乘法公式乘法公式及其应用及其应用 条件概率条件概率事件的关系事件的关系与运算与运算概率的概率的性质性质 事件的独立性事件的独立性 全概率公式与全概率公式与贝叶斯公式贝叶斯公式几几 种种 定定 义义 概概 率率 的的 方方 法法练习：练习：P32 习题一习题一27.28.30.25补充题：补充题：1.1.某物品成箱出售，每箱某物品成箱出售，每箱2020件件.假设各箱中含假设各箱中含0 0件、件、1 1件次品的概率分别为件次品的概率分别为0.80.8和和0.20.2，一顾
22、客在购买，一顾客在购买时，他可以开箱任取三件检查，当这三件都是合时，他可以开箱任取三件检查，当这三件都是合格品时，顾客才买下该箱物品，否则退货。试求：格品时，顾客才买下该箱物品，否则退货。试求：（1 1）顾客买下该箱物品的概率）顾客买下该箱物品的概率p1 1；（；（2 2）现顾客现顾客买下该箱物品，问该箱确无次品的概率买下该箱物品，问该箱确无次品的概率p2 2.26.85.02017CC)(P3203191 AB(1)(1)由全概率公式，由全概率公式，)(P)(P)(P)(P)(P11001ABAABABp .97.085.02.018.0 (2)(2).8247.097.08.0)(P)(P
23、)(P)(P0002 BABABAp解解设设iA:箱箱中中有有 i 件件次次品品，1 ,0 i；B:顾客买下该箱产品，顾客买下该箱产品，则则，8.0)(P0 A，2.0)(P1 A，1)(P0 AB272.下面是一个串并联电路示意图下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件都是电路中的元件.它们下方的数是它们它们下方的数是它们各自正常工作的概率各自正常工作的概率.求电路正常工作的概率求电路正常工作的概率.ABCEDFGH95.095.095.070.070.070.075.075.028P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)将电路正常工作
24、记为将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有由于各元件独立工作，有其中其中代入得代入得ABCEDFGH95.095.095.070.070.070.075.075.0解解,973.0)(P)(P)(P1)(P EDCEDC,9375.0)(P)(P1)(P GFGF.782.0)(P W293.3.数字通讯过程中，信源发射数字通讯过程中，信源发射0 0、1 1两种状态信号，两种状态信号，其中发其中发0 0的概率为的概率为0.550.55，发，发1 1的概率为的概率为0.450.45。由于信。由于信道中存在干扰，在发道中存在干扰，在发0 0的时候，接收端分别以概率的时候，接收端分别以概率0.90.9、0.050.05和和0.050.05接收为接收为0 0、1 1和和“不清不清”。在发。在发1 1的的时候，接收端分别以概率时候，接收端分别以概率0.850.85、0.050.05和和0.10.1接收为接收为1 1、0 0和和“不清不清”。现接收端接收到一个现接收端接收到一个“1”“1”的信号。的信号。问发端发的是问发端发的是0 0的概率是多少的概率是多少?设设A-发射端发射发射端发射0 0，B-接收端接收到一个接收端接收到一个“1”“1”的信号的信号解解)(P)(P)(P)(P)(P)(P)(PABAABAABABA 85.045.005.055.005.055.0 .067.0
