1、22.1 二次函数图象和性质二次函数图象和性质1、二次函数的一般形式是怎样的？二次函数的一般形式是怎样的？y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)2、下列函数中，哪些是二次函数？、下列函数中，哪些是二次函数？2)1()2)(2()5(xxxyxxy1)2(232)4(2xxy 23)1(2 xy()()()否否 是是否否()3)(2()3(xxy是是()(6)y=ax+bx+c 你会用描点法画二次函数y=y=x2 2的图象吗的图象吗?观察观察y=y=x2 2的表达式的表达式,选择适当选择适当x值值,并计算并计算相应的相应的y y值值,完成下表：完成下表：x-3-3-2-2-1-10
2、 01 12 2 3 3y=y=x2 29 94 41 11 10 04 49 9xy0 0-4-3-2-11234108642-2描点描点,连线连线y=x2 2?二次函数二次函数 y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线抛物线 y=x2，二次函数二次函数y=x 2 的图象是轴对称图形，的图象是轴对称图形，一般地，二次函数一般地，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象叫做的图象叫做抛物线抛物线y=ax2+bx+c1 2 3
3、412345678910yo-1-2-3-4-5实际上实际上,二次函数的图象都是二次函数的图象都是抛物线抛物线，对称轴是对称轴是y y轴轴2xy 这条抛物线是轴对称这条抛物线是轴对称图形吗？如果是，图形吗？如果是，对称轴是什么？对称轴是什么？抛物线与对称轴抛物线与对称轴有交点吗？有交点吗？2xy当当x0(在对称轴的在对称轴的右侧右侧)时时,y随着随着x的增大而的增大而增大增大.当当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=4抛物线抛物线y=x2在在x轴的轴的上方上方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最低点是它的最低点,开口开口向上向上,并且
4、向上无限并且向上无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是0.你能根据表格中的数据作出猜想吗？y随着x的增大而减小。y1、y2、y3的大小关是 。开口方向和图象的位置；的值最大,最大值是0.伸展;当x=0时,函数y你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c(m+3，y3)在抛物线 上，则（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上。顶点是原点而且是抛物线y1、y2、y3的大小关是 。5、若m0，点(m+1，y1)、(m+2，y2)、你能根据表格中的数据作出猜想吗？(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、（1）求此抛物线的函数解析式
5、；当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；2、已知二次函数 的图形经(1)(1)二次函数二次函数y=-y=-x2 2的图象是什么形状？的图象是什么形状？你能根据表格中的数据作出你能根据表格中的数据作出猜想吗猜想吗？xy=-x x2 2x-3-2-10123y=-x x2 2x-9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9在学中做在做中学做一做做一做xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点描点,连线连线y=-=-x2 2?2xy 当当x0(在对称轴在对称轴的右侧的右侧)时时,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.y 当当x=-2时时,y=-4 当当x=-
6、1时时,y=-1当当x=1时时,y=-1当当x=2时时,y=-4抛物线抛物线y=-x2在在x轴的轴的下方下方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最高点是它的最高点,开口开口向下向下,并且向下无限并且向下无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是0.y=ax2的的顶点是原点顶点是原点,对称轴对称轴是是y轴轴.a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),它的它的开口开口向上向上,并且向上无限伸展；并且向上无限伸展；当当a0时时,在对称轴的在对称轴的左侧左侧,y随着随着x的增大而减小；在对称轴右的增大而减小；在对称轴右侧侧,y随着随着
7、xx=0时函数时函数y的值最小的值最小.当当a0时，时，在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大；的增大而增大；在在对称轴的右侧对称轴的右侧,y随着随着x增大而减小增大而减小,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大.二次函数二次函数y=axy=ax2 2的性质的性质2axy2axy 做一做做一做(1)抛物线抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 ,在对称轴在对称轴 侧侧,y随着随着x的增大而增大；在对称轴的增大而增大；在对称轴 侧侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小,当当x=时时,函数函数y的值最小的值最小,最小最小 值是值是 ,抛物线抛物线y=2x
8、2在在x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外).(2)抛物线抛物线 在在x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外),在对称在对称轴的左侧轴的左侧,y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧；在对称轴的右侧,y随着随着x的的 ,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是 ,当当x 0时时,y0.232xy（0，0）y轴轴右右左左00上上下下增大而增大增大而增大增大而减小增大而减小0不等于不等于x x-4-4-3-3-2 -2 -1-10 01 1 2 23 3y=xy=x2 2y=x2 2和和y=2=2x2 2的图象的图象解解:(1):(1)列表列表(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线1 2
9、 3 4 512345678910yo-1-2-3-4-51 12 28 82 20 02 21 12 22yx212yx22yxxy=2xy=2x2 28-2-1012021 2 312345678910yo-1-2-3-4-5 函数函数y=x2 2,y=2=2x2 2的图的图象象与函数与函数y=x2 2(图中虚线图形图中虚线图形)的图的图象象相比相比,有什么共同点有什么共同点和不同点和不同点?1 12 2共同点共同点:不同点不同点:开口都向上开口都向上;顶点是原点而且是抛物线顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是的最低点，对称轴是 y y 轴轴开口大小不同开口大小不同;2yx212yx2
10、2yx|a|越大，越大，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y y随着随着x x的的增大增大而而减小。减小。在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y y随着随着x x的的增大增大而而增大增大。抛物线的开口越小抛物线的开口越小。探究探究 画出函数画出函数 的图象的图象2222,21,xyxyxyx1y解解:(1):(1)列表列表(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线x x-2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.5y=y=x x2 2y=y=x x2 2y=y=2x2x2 21 12 2-2-4.5-4.5-1-2-30123-1-2-3-4-52xy221x
11、y 1y-1-2-301-1-2-3-4-5 函数函数y=x2 2,y=2 2x2 2的图象与函数的图象与函数y=x2 2(图中蓝线图形图中蓝线图形)的图象相比的图象相比,有什么共同点和不同点有什么共同点和不同点?1 12 2共同点共同点:开口都向下开口都向下;不同点不同点:顶点是原点而且是抛物线顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是的最高点，对称轴是 y y 轴轴开口大小不同开口大小不同;|a|a|越大，越大，221xy 2xy22 xy 在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y y随着随着x x的的增大增大而而增大增大。在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y y随着随着x x的的增大增大而减小而减
12、小。抛物线的开口越小抛物线的开口越小的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c图象是一条抛物线，对称轴是y轴，3、若抛物线 的开口当a0a0图图象象开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值xyOyxO向上向上向下向下(0,0)(0,0)y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。当当x0 x0时，时，y y随着随着x x的增大而的增大而增大增大。当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。1、二次函数y=ax2的图象是什么？的图象是什么？2、二次函数y=ax2的图象有何性质？的图象有何性质？3、抛物线y=ax2 与与y=-ax2有何关系？有何关
13、系？小结归纳归纳二次函数二次函数 的图象及性质：的图象及性质：2axy 1.图象是一条抛物线，对称轴是图象是一条抛物线，对称轴是y轴，轴，顶点是原点。顶点是原点。归纳归纳二次函数二次函数 的图象及性质：的图象及性质：2axy a0时，开口向上，顶点是最低点，时，开口向上，顶点是最低点，a值越大，抛物线开口越小；值越大，抛物线开口越小；在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的增大而减小，的增大而减小，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随随x的增大而增大。的增大而增大。归纳归纳二次函数二次函数 的图象及性质：的图象及性质：2axy a0，点(m+1，y1)、(m+2，y2)、伸展;当x=0时,函
14、数y在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.(1)求a的值，并写出函数解析式；5、若m0，点(m+1，y1)、(m+2，y2)、（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上。a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；实际上,二次函数的图象都是抛物线，巩固巩固5、若、若m0，点，点(m+1，y1)、(m+2，y2)、241xy y1、y2、y3的大小关是的大小关是 。(m+3，y3)在抛物线在抛物线 上，则上，则下课了!只有不断的思考只有不断的思考,才会才会有新的发现有新的发现;只有量的只有量的变化变化,才会有质的进步才会有质的进步.结束寄语
