1、120.00.00.00.000.0.000.00.000.00.0rddd12(,.,)nyyy nrryyyyy121222d y 12(,.,)nf yyy 定义定义 2212212.rrd yydd y的二次型的二次型只含平方项只含平方项,211d y2.rrd y4.2 4.2 二次型的标准形二次型的标准形与规范形与规范形形式为形式为不含交叉项不含交叉项2221122.rrd yd yd y的秩为的秩为r称为称为标准形标准形.12,.,rd dd,0 TY BY 每一个标准形每一个标准形每一对角矩阵每一对角矩阵对应一个标准形对应一个标准形.对应的矩阵对应的矩阵可写为可写为此标准形化为
2、此标准形化为令令是一个标准形是一个标准形.222212342395xxxx212x245x223x233x22221234yyyy1y 12x2y 45x3y 23x4y 33x即即1234yyyy 1234xxxx2000000503000030定义定义 的二次型的二次型称为实数域上称为实数域上其中正项的个数其中正项的个数 负项个数负项个数称为二次型的称为二次型的 称为二次型的称为二次型的r r是二次型的秩是二次型的秩.222211.ppryyyy二次型的规范形二次型的规范形.正正惯性指标惯性指标,负负惯性指标惯性指标.形式为形式为称为称为符号差符号差.p()rprp p其对应的矩阵为：其对
3、应的矩阵为：1111 00r个个 p p个个1 1r-pr-p个个-1 1能否通过能否通过非退化线性替换非退化线性替换如果能够如果能够,用什么方法化为标准形用什么方法化为标准形?一个二次型一个二次型化成化成标准形标准形?二次型二次型通过非退化线性替换通过非退化线性替换化成标准形化成标准形对称矩阵对称矩阵A A合同到合同到对角对角矩阵矩阵B.B.又如何化为规范型？又如何化为规范型？(一一)用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形(二二)用初等变换法化二次型为标准形用初等变换法化二次型为标准形(三三)用用正交替换正交替换法化二次型为标准形法化二次型为标准形二次型二次型通过非退化线性替换通过
4、非退化线性替换化成化成标准形标准形有三种方法有三种方法:13221)(4xxxxf 解解2321)(2xxxf 2321)22xxxf 2322321)(222xxxxxf 23222132yyyf 于是于是 132122yxxx令令3231212322213214442),(.,1xxxxxxxxxxxxfCCYX 并并写写出出所所作作变变换换标标准准形形将将下下列列二二次次型型化化成成作作非非退退化化的的线线性性替替换换例例32232242xxxx ,33 yx01|C且且232x 232yxx 33yx 100110021C322yyx 2112yyx 32232242xxxx 232)
5、(4xx 233222542xxxx 235x 2322321)(222xxxxxf 233x 1y2y3y1.1.配方法配方法32312132xxxxxxf 例例无平方项，无平方项，解解X即即3231222142)()(yyyyyyYfXf 231)(yy 232231)2()(yyyy 2322213zzz 131zyy令令 YCX1亦即亦即 311zzyZCY2 ZCC21CZ 33212211yxyyxyyx先令先令Y 10001101132224yyy Z 100210101Z 100111311 02|C1要求同例要求同例2322zyy 33zy 3222zzy 33zy 23y
6、234y 1C23y 232231)2()(yyyy 233y 2C标准形唯一吗？标准形唯一吗？23)2(2x标准形不唯一标准形不唯一.是规范形是规范形.正惯性指标为正惯性指标为负惯性指标为负惯性指标为二次型的规范形二次型的规范形二次型的正惯性指标二次型的正惯性指标23)394x（23(2)x令令令令由二次型本身由二次型本身唯一决定唯一决定.123(,)f x xx22212312132334226xxxx xx xx x1223()xxx 2322xx 234x 1y 123xxx232xx 2y 3y 3x32x33x32xf 21y22y 234y f 2212yy23y f 2212y
7、y2349y f 2212yy232y 1y 123xxx2y 32x3y 232xx f 21y22y 23y 由二次型本身唯一决定由二次型本身唯一决定.和负惯性指标和负惯性指标2,1定理定理4.4(4.4(惯性定理惯性定理)为二次型为二次型f f 的的定理定理4.44.4 都与对角矩阵都与对角矩阵 001111 任一二次型任一二次型f f 都可经非退化都可经非退化线性替换线性替换化为规范形化为规范形.且规范形由二次型且规范形由二次型为二次型为二次型f f1 1和和1 1的个数共有的个数共有其中其中1 1的个数为的个数为1 1的个数为的个数为为二次型的秩为二次型的秩.唯一决定唯一决定.任一实
8、对称矩阵任一实对称矩阵A A合同合同,为二次型为二次型f f的秩的秩,其中其中 221221.prpyyyy f prrp prp 个个,rr正惯性指标正惯性指标,的负惯性指标的负惯性指标.化二次型为标准形化二次型为标准形对于任一对称矩阵对于任一对称矩阵A,A,100rddC C可逆可逆,为初等矩阵为初等矩阵对角矩阵对角矩阵作作k k次相同的次相同的列变换列变换存在存在可逆可逆矩阵矩阵C C,再单独对再单独对A A 相应的行变换相应的行变换线性变换的矩阵线性变换的矩阵作作k k次次2.2.用初等变换法用初等变换法12.kCP PP E12,.,kP PPTC AC 12(.)TkP PP A1
9、2(.)kP PP11.TTTkkP PP TC AC A12.kP PPAEAE12.kP PP12.kP PP1212.kkPAPP PEPP11.TTTkkP PP TCCA C使得使得例例022244243A求非奇异矩阵求非奇异矩阵C C，AE 224443001001022244243100010001解解262862110862110000341401252052721414112523414800011000040BTC AC C使得使得C CT TACAC为为341459111280000009B对角矩阵对角矩阵.C34141411001例例 为标准形为标准形.解解 AE 11
10、033000100121211012121220002110000631100经可经可逆线逆线性替性替换换123xxx 12121311001123yyy A0001111330111031301000100011121101202121200221110CBC12(4)化二次型化二次型122313262x xx xx x2221231262yyy原二次型化原二次型化为为22TC ACB求可逆线性替换求可逆线性替换,二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为求可逆线性替换求可逆线性替换,AE 化为化为规范形规范形.22将将121212200000061311001 121212000063101 1
11、2 2001212012 112121000063101 1200 12120 1 122313262x xx xx x161122112210001000631001 AE0061122112210010000 361616 161001361616 010 12120 12121000 010001 经过非退化线性替换经过非退化线性替换二次型化为：二次型化为：123xxx 3112621112621600 123yyyC TC ACB 222123yyyB 例例 为标准形为标准形.解解 B(1)(2)二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为TC ACB121324x xx x 求可逆线性替换求
12、可逆线性替换,化化A 000112200AE 012100200100010001120000001001112110212 2121101201 12120 012 111 00121212200011100 000021 0C 例例 为标准形为标准形.解解 B 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为TC ACB121324x xx x 求可逆线性替换求可逆线性替换,化化A 000112200121212200011100 000021 0C AE经非退化线性替换经非退化线性替换二次型二次型化为化为二次型的秩为：二次型的秩为：2212122yy()r A()r B2123xxx 1212101
13、2001 123yyy解解 B 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为A A22 例例 为为规范形规范形.121324x xx x 求可逆线性替换求可逆线性替换,化化AE121212200000001012001 12 121212000000201 200112 1212012121000000201 1200 12120 1 C TC ACB解解 B 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为A A 例例 为为规范形规范形.121324x xx x 求可逆线性替换求可逆线性替换,化化AE12121000000201 1200 12120 1 C TC ACB经可逆线性替换经可逆线性替换123xxx
14、 123yyy1122112202001 C 二次型二次型化为化为2212yy 3.3.用用正交替换正交替换法法实对称矩阵实对称矩阵A A存在存在正交矩阵正交矩阵Q,Q,12n 存在存在正交矩阵正交矩阵Q,Q,12n 经过经过正交替换正交替换 XQY12(,.,)nyyy 12n nyyy21定理定理3.143.14标准形标准形A A的所有特征值的所有特征值实对称矩阵实对称矩阵A AB二次型化为：二次型化为：化二次型为标准形化二次型为标准形使得使得使得使得1QAQ TfYYB TYY TQ AQTQ AQ 2221212.nnyyy二次型二次型12(,.,)nf x xxTX AX例例 为标准
15、形为标准形.解解 特征值特征值232313231323132323Q Q是正交矩阵是正交矩阵123 220220利用利用正交替换正交替换法法令令2221231231223(,)2344f x xxxxxx xx x对应的对应的矩阵为矩阵为A 1230022 22 (1)(2)(5)EA 51,2,1:1 13221 22:212 1335:122 13Q 化二次型化二次型1Q AQ T010 005020 经过正交替换经过正交替换二次型化为二次型化为123xxx 232313132322313323 123yyy22212352yyy Q 例例 为标准形为标准形,解解AEA 特征值：特征值：1
16、1:30:1 222123121323255448fxxxx xx xx x255224422255 12,10 3122 并写出所作的线性替换并写出所作的线性替换.2()(1)101231,10 112102 542545113 23 2201 1 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为211 45两两正交两两正交将将 12,11:12,3 化二次型化二次型用用正交替换正交替换12,正交化正交化224 224 1210 x23 543 553Q Q是正交矩阵是正交矩阵.将将它们它们单位化：单位化：1210 254251 11:310:3122 12,3 两两正交两两正交552542511x 355311:3x132323 310:Q令令2515023 543 553132323 1Q AQ1000100010 T经正交替换经正交替换二次型化为二次型化为XQY 123xxx 123yyy 251523543132532353022212310yyy作业作业:P188 1(1)2(1)3(1):P188 1(1)2(1)3(1)
