1、Review 第一章第一章 引言：五个基本原理引言：五个基本原理原理一：描述微观系统状态的数学量是原理一：描述微观系统状态的数学量是Hilbert空间中的矢量，相差一个复数因子的空间中的矢量，相差一个复数因子的两个矢量描写同一个状态。两个矢量描写同一个状态。|,|归一化右矢和左矢描述系统状态归一化右矢和左矢描述系统状态|,|状态矢量，与此相应状态矢量，与此相应Hilbert空间空间为状态空间。为状态空间。|e ,|i同一个状态同一个状态原理二：原理二：1）描述微观系统物理量的是）描述微观系统物理量的是Hilbert空间中的空间中的Hermitian算符；算符；2）物理量所能取的值，是相应算符的
2、本征值；）物理量所能取的值，是相应算符的本征值；3)物理量物理量A在状态中取各值在状态中取各值ai的概率与态矢量的概率与态矢量|按按A的归一化本征矢量的归一化本征矢量|ai展开式中展开式中|ai的系数的系数的复平方成正比，即式中的复平方成正比，即式中ci的复平方成正比，的复平方成正比，|a|iiiiiaccijjiaaai|a|a|Aion Eigenequatfor r Eigenvecto normalized theis a|,Eigenvalue theis aSpace,Hilbert in Operator Hermite isA iiii原理三：原理三：微观系统中每个粒子的直角坐
3、标下的位置微观系统中每个粒子的直角坐标下的位置算符算符Xi(i=1,2,3)，与相应的正则动量算符，与相应的正则动量算符Pi有下列对易关系：有下列对易关系：ijiP,X0P,P 0X,Xjijijih不为不为0导致了一些物理量的量子化。导致了一些物理量的量子化。正则动量算符正则动量算符Pi，指经典，指经典Hamiltonian正则方程中，正则方程中，qi取直角坐标时取直角坐标时x,y,z时，与时，与之对应的动量算符。之对应的动量算符。iiiiqpqHdtdpppqHdtdq),(),(原理四：微观系统的状态原理四：微观系统的状态|(t)随时间的变化规律随时间的变化规律用下列方程描述：用下列方程
4、描述：)(|)(|tHttiH(x,p,t)是系统的是系统的Hamiltonian算符。算符。H(x,p)不显含时间时，不显含时间时，H即为系统的能量算符。即为系统的能量算符。是系统的是系统的Hamiltonian算符。算符。此时此时Schrodinger Equation的时间和空间可以分离，的时间和空间可以分离，|(x,t)=|(x)f(t)()(|)(|)(|tEftftiEHtfHtfti原理五：描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一原理五：描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调，是对称的（交换前后完全相同），对粒子的对调，是对称的（交换前后完全相同），或反对称的（对调前后差一
5、个负号）。服从前者的或反对称的（对调前后差一个负号）。服从前者的粒子为玻色子，服从后者的为费米子。粒子为玻色子，服从后者的为费米子。态叠加原理问题1,1,数学上，是数学上，是HilbertHilbert空间矢量特性的结果空间矢量特性的结果束缚态按平面波展开束缚态按平面波展开，物理上，是一个新状态双逢衍射、，物理上，是一个新状态双逢衍射、C C原子原子n=2n=2的四个态叠加的四个态叠加spsp3 3杂化态。杂化态。iiipC|2211|CC 叠加原理几种说法：处于叠加态的系统叠加原理几种说法：处于叠加态的系统部分处于部分处于 态，部分处于态，部分处于；既处于既处于 也处于也处于；可能处于可能处
6、于，也可能处于，也可能处于；过于强调新态来源于两个态的混合。过于强调新态来源于两个态的混合。新性质？新性质？正确的理解：叠加态正确的理解：叠加态 既不处于既不处于 态也不处于态也不处于，它是一个新态。，它是一个新态。以自旋态来说明这个问题。取以自旋态来说明这个问题。取SzSz表象，表象，设设SzSz的两个本征态是的两个本征态是 ;S|10|;S|01|z2z1 ;S2;Szz zS从物理量从物理量S Sz z的角度看：在的角度看：在 态中态中S Sz z，取确切，取确切值值 ，在，在2 2 态中态中SzSz，取确切值，取确切值 。但是在叠加态中但是在叠加态中S Sz z取取 两个值两个值 概率
7、均为概率均为1/21/2，既有一点既有一点,也有一点也有一点；2/2/2/1121)1001(21)|(21|21 构造一个叠加态构造一个叠加态 1121)1001(21|从物理量从物理量S Sx x的角度看：在的角度看：在|1 1 和和|2 2 态中态中S Sx x都可以都可以取取 两个值，概均为两个值，概均为1/21/2率率。但是在叠加态但是在叠加态|中中S Sx x取确切值取确切值 。原来两个态。原来两个态中中S Sx x取均为取均为1/2,1/2,但是在叠加态中则没有了这些但是在叠加态中则没有了这些取值。取值。2/2/2/|2|xS如何看待这个问题如何看待这个问题?对于自旋体系对于自旋
8、体系;S 10|;S 01|z2z1 yxyxS,SOperator and;S;S SSS 2 Szi 41SSS 43)1(S22z2y2x222 sszS Pauli Operator22zi zxyyxyzxxzxyzzyiii 222 41 12z2y2x2 00 0 xyyxzxxzyzzy zxyyxyzxxzxyzzy-ii i规定了规定了Pauli算符的性质。算符的性质。)1001(2 )00(2 )0110(2zyx SiiSS)1001()00()0110(zyx ii 10014343222S 100132 对于完备系对于完备系|aaaa 对于任意算符对于任意算符A|a
9、aaaaaaaaaaaaaaaaaaAaaaaaAaaA 对于自旋对于自旋/体系体系)(2|)|(|2 zS 1?,?,yxSSSGzBeamAgSz +Sz -SGzSz +No Sz -SGzBeamAgSz +Sz -SGxSx+Sx -SGzBeamAgSz +Sz -SGxSx -SGzSx +Sz +Sz -Figure aFigure bFigure c需要确定出需要确定出Sx,Sy的本征值，的本征值，yxyxS,SOperator and;S;S SGzSx +Sz +Sz -|21|21;S|21|21;S|21|;S|;S|11xxxx iiee,is SOperator
10、Sox|)(|)|(|2|);|;(|211 iixxxxxeeSSSSS,is SOperator Similarly,y|)(|)(|2S|21|21;S|222yy iiieeeyxSS and SS Obviously,yxHow to determine 1 and 2?SGySx +Sy +Sy -21|;S|;S|;S|;S|xyxy 2-or ,221|1|2112)(21 ieThe Matrix elements Sx and Sy can not all be real.Conveniently,set 1=0,Sx are real;2=/2 or/2,Sy are purely imaginary.|2|21;S|21|21;S|yxi|)|(2|)|(|2 iiSSandyxSo we can get|21)1001(21|)|(2|)|(|2 iiSSyx)|0(2|)|(|2 xS)0(|2|)|(|2 xS|2)|(|21.2|xS 01102xS 1121)1001(21|2012100110210|2102010110201|211212112101102|xxxxxSSSSS SGzSx +Sz +Sz -
