1、一因數：一因數：以除法的觀點，由總量為問題為起點，探以除法的觀點，由總量為問題為起點，探 討可能組成的單位量。討可能組成的單位量。例如：總量例如：總量1212，1212是以壹為單位量來描述，共有是以壹為單位量來描述，共有1212 個壹，故一定可以壹為單位量來組成個壹，故一定可以壹為單位量來組成 1212，若，若1212改用改用2 2為單位量來描述，共有為單位量來描述，共有6 6個個2 2，也能夠以也能夠以2 2為單位量來組成為單位量來組成1212，可是改用，可是改用5 5為為單位量來描述時，單位量來描述時，1212無法用整數個無法用整數個5 5來描述來描述（只（只在整數範圍內討論因、倍數的意義
2、）在整數範圍內討論因、倍數的意義），所以無法以，所以無法以5 5為單位量來組成為單位量來組成1212，1212可以由可以由 1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，1212這些單位量組成。這些單位量組成。二學習因數的方法：二學習因數的方法：透過下列三種問題情境，幫助學童逐透過下列三種問題情境，幫助學童逐 步形成因數的概念。步形成因數的概念。1.在方陣排列問題中，探討給定總量的方陣的可能排法：在方陣排列問題中，探討給定總量的方陣的可能排法：例如：先給定一個總量（以例如：先給定一個總量（以12個全等的小正方塊為例），要個全等的小正方塊為例），要 求學童將小正方塊排成長方形，要剛好分完而且每求學童將
3、小正方塊排成長方形，要剛好分完而且每 一排要一樣多。（不可排成中空的長方形），一排要一樣多。（不可排成中空的長方形），引導引導 兒童應用各種的排列方式，找出所有可能的長方形，兒童應用各種的排列方式，找出所有可能的長方形，以建立初步的因數概念。以建立初步的因數概念。讓學童經驗給定總量的方陣讓學童經驗給定總量的方陣 可以有不同的排法。可以有不同的排法。2.從除法的觀點，使用除法（包含除與等分除）解決剛好分完的情從除法的觀點，使用除法（包含除與等分除）解決剛好分完的情 況，再用除號的方式紀錄問題況，再用除號的方式紀錄問題。例：透過問題有例：透過問題有1212個小朋友，全部分組做實驗，各組人數都要個小
4、朋友，全部分組做實驗，各組人數都要 一樣多，一組可以有多少個小朋友，分分看？，幫助學童一樣多，一組可以有多少個小朋友，分分看？，幫助學童 掌握總量可以由哪些單位量組成的意義。掌握總量可以由哪些單位量組成的意義。（例如：（例如：1212可以可以1 1、2 2、3 3、4 4、6 6、1212為單位量組成為單位量組成）3.在倍的問題情境中，給定總數，要求學童解決可能組成單位量的在倍的問題情境中，給定總數，要求學童解決可能組成單位量的數值問題：數值問題：例：透過問題幾包牙刷合起來有例：透過問題幾包牙刷合起來有16支，每一包牙刷的支數都支，每一包牙刷的支數都 一樣多，一包可以有幾支牙刷？，幫助學童掌握
5、哪些單一樣多，一包可以有幾支牙刷？，幫助學童掌握哪些單 位量可以組成總量的意義。位量可以組成總量的意義。一在數學上，如果一在數學上，如果a是是b的倍數（的倍數（b是是a的因數），則的因數），則a，b要滿足下列三個條件：要滿足下列三個條件：（a）a，b都是整數；（都是整數；（b）b0；（c）存在一個整數存在一個整數q，滿足滿足abq。二整除是兩數之間的一種關係，如果甲乙兩個整數二整除是兩數之間的一種關係，如果甲乙兩個整數 之間存在著甲數除以乙數所得的商是整數，餘數是之間存在著甲數除以乙數所得的商是整數，餘數是 零，甲數是乙數的倍數，乙數是甲數的因數。零，甲數是乙數的倍數，乙數是甲數的因數。例如：
6、例如：1515 3 35050，1515是是3 3和和5 5的倍數的倍數 ，3 3和和5 5 是是1515 的因數。的因數。一倍數概念的形成：一倍數概念的形成：1.低年級課程：低年級課程：依序以三、六、二、五、十、依序以三、六、二、五、十、七、九、十二為集聚單位，引導學童進行計數活動，並且七、九、十二為集聚單位，引導學童進行計數活動，並且能透過多步驟合成的解題活動，決定數個集聚單位，如果重新用一能透過多步驟合成的解題活動，決定數個集聚單位，如果重新用一為單位時，其總數量為多少，進行倍數問題的學習。為單位時，其總數量為多少，進行倍數問題的學習。2.中年級課程：中年級課程：本階段將問題範圍逐步擴充
7、至新的範圍，繼續加強學童進本階段將問題範圍逐步擴充至新的範圍，繼續加強學童進行倍的活動的經驗。行倍的活動的經驗。3.高年級課程：高年級課程：直接引入倍的意義，因此直接引入倍的意義，因此透過乘數未知的乘法算式填充題透過乘數未知的乘法算式填充題2（）（）10，先要求學童解題，再經由語言的轉換，先要求學童解題，再經由語言的轉換，2的的5倍是倍是10，所以所以10是是2的的5倍，引入倍，引入倍數的意義：倍數的意義：10是是2的的5倍，而且倍，而且2.5.10都是整都是整數，所以說數，所以說10是是2的倍數的倍數 當學童有能力與方法判斷某數是否為另一數的倍數時，以某一正整當學童有能力與方法判斷某數是否為
8、另一數的倍數時，以某一正整 數為起點，使用乘以整數倍的方式，求出該正整數在某一數量數為起點，使用乘以整數倍的方式，求出該正整數在某一數量 範圍內的所有倍數。範圍內的所有倍數。一倍數的意義：一倍數的意義：倍數問題是討論一個正整數，可以倍數問題是討論一個正整數，可以 由這個正整數為單位量，經由乘法的方式來產生哪些由這個正整數為單位量，經由乘法的方式來產生哪些 正整數。正整數。例：例：12有哪些倍數時，有哪些倍數時，1個個12是是12、2個個12是是24、3個個12是是 36、4個個12是是48.，所以，所以12、24、36、48、都是、都是12 的倍數。的倍數。二倍數的求法：二倍數的求法：可以使用
9、逐一乘以正整數的方式來計可以使用逐一乘以正整數的方式來計算，要求兒童算出某範圍的所有倍數算，要求兒童算出某範圍的所有倍數 或經由乘法算是或經由乘法算是填充題方式，如填充題方式，如2（）24，24是是2和和12的倍數。的倍數。1.1.質數：質數：如果只有如果只有1 1和自己兩個因數，則該正整數稱之為和自己兩個因數，則該正整數稱之為 質數。質數。2.2.合數：合數：如果除如果除1 1和自己兩個因數外，還有其他的因數，和自己兩個因數外，還有其他的因數，則該正整數稱之為合數。則該正整數稱之為合數。問題：問題：1 1是不是質數？教師應說明是不是質數？教師應說明1 1不在質數的討論範圍不在質數的討論範圍
10、之內，質數的討論範圍在比之內，質數的討論範圍在比1 1大的正整數內。大的正整數內。（2）先找出某一數的所有因數，再判斷這些）先找出某一數的所有因數，再判斷這些因數是否為另一數的因數。因數是否為另一數的因數。例如：Q：12與18的公因數為哪些？A：12的因數有：1.2.3.4.6.12 18可被1整除，所以1是18的因數，依 序做2.3.4.6.12是否可整除18。找出公因數為1.2.3.6。高年級課程：高年級課程：使用單位量轉換的觀點，來處理概數的問題，以兩位數（幾十幾）的概數活動為例，一個兩位數（例如：56）。無條件捨去法：無條件捨去法：例如：例如：384701記成記成38萬萬 無條件進入法
11、：無條件進入法：例如：例如：384701記成記成39萬萬 四捨五入法：四捨五入法：例如：例如：384701記成記成38萬萬 3.迷思：迷思：現階段學童無法了解算術基本定理，因此現階段學童無法了解算術基本定理，因此無法理解使用質因數分解引入的短除法解題方式，無法理解使用質因數分解引入的短除法解題方式，雖然學童可以模仿成人的步驟，透過短除法的格雖然學童可以模仿成人的步驟，透過短除法的格式，來求出最大公因數，但是當學童找出式，來求出最大公因數，但是當學童找出2是是18與與24的因數，再找出的因數，再找出3是是9與與12的公因數時，無法的公因數時，無法理解為什麼理解為什麼2 3會是會是18與與24的最大公因數。基於的最大公因數。基於上述理解上的困難，本教材暫時不引入使用短除上述理解上的困難，本教材暫時不引入使用短除法求最大公因數的解題策略。法求最大公因數的解題策略。
