1、第四节 行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质二、行列式的计算二、行列式的计算2一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.TDD将将 n 阶行列式阶行列式 D 的行与列互换后所得到的的行与列互换后所得到的行列式记作行列式记作nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D TDnnaaa2211TD2121nnaaannaaa21123如如nnnnaaaaaa00022211211nnnnaaaaaa21221211000=nnaaa2211 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此因此行列式的
2、性质凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.行列式与它的转置行列式等行列式与它的转置行列式等.TDD 4nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面的公因子可以提到行列式符号的外面行列式的某一行（列）中所有的元素行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数都乘以同一数 行列式。行列式。等于用数等于用数 ,kk乘此乘此D1=Dk5由由 n 阶行列式的定义，阶行列式的定义，D1的一般项为的一般项为 nin
3、njijjjjjjakaaa)(1212121 ninnjijjjjjjaaaak2121211 ninnjijjjjjjaaaa2121211 所以所以 D1=kD如果行列式中的某一行元素全为零，如果行列式中的某一行元素全为零，那么行列式等于零。那么行列式等于零。为为 D 的的一般项一般项6 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.证明证明nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaa21212111211nnnniniiknkknaaaaaaaaaaaa21212111211=D=nkinjkjijjaaaa11 nkinnnjkjijjjjjjjjaaaa
4、1212111 显然显然 D 的展开式的一项的展开式的一项=D1 是是 D1展开式的一项展开式的一项,但该项在但该项在 D1中的符号为中的符号为 nkijjjj11 nkijjjjnik111 也也7例如例如如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零则此行列式为零.证明证明0 DD ,571571 266853.825825 361567nnnnnnnaaabbbbbbaaa21212111211nnnnnnnaaabbbbbbaaa21212111211 行行行行互换互换 与与 两行，有两行，有 ik推论推论567361266853ikD 8行列式中如果有
5、两行（列）元素成行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零比例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211.0 性质性质9性质性质5 5nnnnnnnaaacbcbcbaaa21221111211 nnnnnnaaabbbaaa212111211 nnnnnnaaacccaaa212111211 i行行i行行i行行10证明证明左端左端=niiiinnnjjijjjijjjjjjjaacbaa1112121111)(1 niiinnnjjijjijjjjjj
6、jaabaa11121211111 niiinnnjjijjijjjjjjjaacaa11121211111 =右端右端11把行列式的某一行（列）的各元素乘把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行以同一数然后加到另一行(列列)对应的对应的元素上去，行列式的值不变元素上去，行列式的值不变nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111nnnjnjninnjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k性质性质注注表示第表示第 列（行）列（行）的元素乘以的元素乘以 加到加到第第 列（行）。列（行）。ijk)
7、(jijikrrkcc 用用12例例2101044614753124025973313211 D二、行列式的计算二、行列式的计算利用行列式的性质，把行列式化为上（下）利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，从而算得行列式的值三角形行列式，从而算得行列式的值计算五阶行列式计算五阶行列式计算行列式常用的方法：计算行列式常用的方法：132101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211 2 213rr 142101044614753140202010013211 3 312rr 422200351201402020
8、10013211 514rr 413rr 1542rr 2220020100140203512013211 2220020100211003512013211 23rr 2220001000211003512013211 34rr 2 166000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 17例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 2，3，n列列都加到第一列，得都加到第一列，得nccc
9、2118 abbbabbbabbbbna1111)1(babababbbbna 0000000001)1(.)()1(1 nbabna)1(11312,rrrrrrn 19如果行列式中的所有的元素满足如果行列式中的所有的元素满足反对称行列式反对称行列式jiijaa 则该行列式称为反对称行列式。则该行列式称为反对称行列式。显然反对称行列式对角线上的元素均为零。显然反对称行列式对角线上的元素均为零。0000342414342313242312141312aaaaaaaaaaaa 20例例3 试证试证0000004535251545342414353423132524231215141312 aaa
10、aaaaaaaaaaaaaaaaaD证明证明行列式行列式 D 与其转置行列式相等与其转置行列式相等000004535251545342414353423132524231215141312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 000)1(2515251215125aaaaaa D 0 D行列式等于零。行列式等于零。奇数阶反对称奇数阶反对称21计算四阶行列式计算四阶行列式11111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已知已知例例4解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa 22d
11、ddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 .0 1111111112222dddcccbbbaaaa dddcccbbbaaa1111111111112222 23例例5：设设1112132122233132331,aaaaaaaaa 111213212223313233621035.35aaaaaaaaa 求求解：解：11121321222331323362103535aaaaaaaaa 1112132122233132333523535aaaaaaaaa 1112132122233132332(3)5aaaaaaaaa 2(3)5 1 30 祝您成功！祝您成功！
