1、几何静力学几何静力学 用矢量方法研究物体的平衡规律用矢量方法研究物体的平衡规律公理化理论体系公理化理论体系静力学篇静力学篇研究内容研究内容 力系的简化（理论基础）力系的简化（理论基础）力系的平衡力系的平衡分析静力学分析静力学(虚功原理虚功原理)1/3/20231第第1 1章章 力系的简化力系的简化1/3/20232力的单位：力的单位：国际单位制：国际单位制：牛顿牛顿(N);(N);千牛顿千牛顿(kNkN)1.1 1.1 静力学基本概念与公理静力学基本概念与公理定义：定义：力是物体之间的相互机械作用。力是物体之间的相互机械作用。力的效应力的效应:运动效应运动效应(外效应外效应);变形效应变形效应
2、(内效应内效应)。力的三要素：大小，方向，作用点力的三要素：大小，方向，作用点F一、力的概念一、力的概念集中力与分布力集中力与分布力 工程中常用载荷集度表示分布力的强弱程度工程中常用载荷集度表示分布力的强弱程度,用用q q 表示表示.单位有单位有:kN/m:kN/m3 3,kN/m,kN/m2 2,kN,kN/m m(三种三种)。1/3/20233等效力系等效力系作用效果相同的力系作用效果相同的力系力系力系作用在物体上的一群力作用在物体上的一群力.空间力系、平面力系空间力系、平面力系汇交力系、平行力系、一般力系汇交力系、平行力系、一般力系力系及其分类力系及其分类:二二.刚体的概念刚体的概念三三
3、.平衡的概念平衡的概念平衡力系平衡力系作用在平衡物体上的全部力作用在平衡物体上的全部力1/3/20234 2212122cosRFFFFF1sinsin(180)RFF1.1.力的平行四边形公理力的平行四边形公理合力的大小和方向分别是合力的大小和方向分别是合力可由力的平行四边形来作，也可用力的三合力可由力的平行四边形来作，也可用力的三角形来作。角形来作。12RFFF1/3/20235力的多边形法则：力的多边形法则：RiFF用途用途:力系简化的基础力系简化的基础(规则规则)适应适应:汇交力系、任何物体（刚体、变形体）汇交力系、任何物体（刚体、变形体）可推广到一般可推广到一般(汇交力系汇交力系):
4、):1/3/20236 2.2.二力平衡公理二力平衡公理作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条 件是：这两个力件是：这两个力大小相等大小相等|F1|=|=|F2|;|;方向相反、作用线共线，方向相反、作用线共线，作用于同一个物体上。作用于同一个物体上。F1 =-F2 用途：用途：最基本平衡条件最基本平衡条件 适应：适应：同一刚体同一刚体 例例(见教材见教材P8)P8)1/3/20237对刚体来说，上面的条件是必要且充分的对刚体来说，上面的条件是必要且充分的;二力体二力体：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体。：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力
5、体。对变形体来说，上面的条件只是必要而非充分的。对变形体来说，上面的条件只是必要而非充分的。二力杆二力杆1/3/20238 在已知力系中添加或除去任一平衡力系，并不改在已知力系中添加或除去任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。变原力系对刚体的作用。3.3.加减平衡力系公理加减平衡力系公理用途：用途：力系等效替换与简化力系等效替换与简化适应：适应：同一刚体同一刚体 不适用两例不适用两例(见教材见教材P9)P9)1/3/20239推论推论1 1：力的可传性：力的可传性 作用于刚体上的力可沿其作用线移到作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体同一刚体内内的任一点，而不改变该力对刚体的作用效应。的
6、任一点，而不改变该力对刚体的作用效应。不适用两例不适用两例(同前同前)1/3/202310推论推论2:2:三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理 刚体在三力作用下平衡，如果其中二力作用线刚体在三力作用下平衡，如果其中二力作用线相交，则第三力必位于前相交，则第三力必位于前二力所构成的平面上，且二力所构成的平面上，且作用线经过前二力的交点。即作用线经过前二力的交点。即F1F2F3O如果三力中有二力相交，如果三力中有二力相交，则三力共面汇点。则三力共面汇点。思考、推广与反例思考、推广与反例(见教材见教材P11)P11)1/3/2023114.4.作用力和反作用力公理作用力和反作用力公理 两物体之间的作用力
7、与反作用力同时两物体之间的作用力与反作用力同时存在，且大小相等、方向相反、沿同一作存在，且大小相等、方向相反、沿同一作用线用线,分别作用于不同的物体上。分别作用于不同的物体上。吊灯吊灯用途：用途：物系受力分析基础物系受力分析基础适应：适应：一切物体、静力与动力分析一切物体、静力与动力分析1/3/202312 5.5.刚化原理刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。体变成刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。用途：用途：提供用刚体模型研究变形体平衡的依据。提供用刚体模型研究变形体平衡的依据。刚体
8、平衡条件对变形体是必要而非充分。刚体平衡条件对变形体是必要而非充分。1/3/202313OeF FcosFFF e 投影的大小投影的大小:几何上就是过矢几何上就是过矢量的始末两端分别向投影轴量的始末两端分别向投影轴引垂线所截得的线段长。引垂线所截得的线段长。一一.力在任意轴上的投影力在任意轴上的投影FFe 沿沿轴的力可表示为轴的力可表示为投影是一个代数量投影是一个代数量1.2 1.2 力的投影、力矩与力偶力的投影、力矩与力偶1/3/2023141.1.一次投影法一次投影法cos cos cos xyzFFFFFF222zyxFFFF cos ,cos ,cos .yxzFFFFFF二.力在直角
9、坐标轴上的投影 投影与分量的矢量表示投影与分量的矢量表示 1/3/202315coscoscosFFFxyxsincossinFFFxyysinzFF2.2.二次投影法（间接投影法）二次投影法（间接投影法）xyzFFFFijk先将先将 F 投影到投影到 xoy 平平面上，面上，然后再投影到然后再投影到x、y轴上，即轴上，即:1/3/2023161/3/2023173.3.合力投影定理合力投影定理RiFF对于汇交力系对于汇交力系,前述有前述有iixjyjzFFFFijkRRxRyRzFFFFijk,RxixRyiyRzizFF FF FF称为合力投影定理称为合力投影定理,用此可求得合力大小和方向
10、用此可求得合力大小和方向.合力大小和方向的表达式合力大小和方向的表达式 1/3/202318三三.力矩力矩1/3/202319 力对点的矩等于矩心到该力作用点力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。的矢径与该力的矢量积。()OMFrF1.1.力对点之矩力对点之矩(矢量矢量)1/3/202320kjirzyx()OxyzxyzFFF ijkMFr F()()()zyxzyxyFzFzFxFxFyFijk()()()oxoyozMFiMFjMFkxyzFFFFijk1/3/2023211/3/202322()()()zzxyxyxyMMFFrFkxyxyrijxyxyFFFij zyx
11、MxFyFF()ozyxxFyFM F2.2.力对轴之矩力对轴之矩(代数量代数量)1/3/2023231/3/202324()()OzzMM FF力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系()()OxxMM FF()()OyyMM FF两例两例:1/3/202325()()xRxiMMFF3.3.合力矩定理合力矩定理对于汇交力系对于汇交力系,设矩心到汇交点的距离为设矩心到汇交点的距离为r,r,对点对点有有()()ORRiiOi M Fr FrFr FM F这就是合力矩定理这就是合力矩定理.相应地相应地对轴对轴有有()()OROiM FM F用途用途:简化计算简
12、化计算1/3/2023261 力偶的概念力偶的概念FF F定义：两个等值、反向的平行力，记为定义：两个等值、反向的平行力，记为 (,)F F2 2 力偶矩矢力偶矩矢hFBAFArBrOMM0BA(,)MF FrFrF AB,rABrFF而0(,)MF FABFBA FM1/3/202327性质：性质：力偶矩矢与矩心力偶矩矢与矩心O位置无关位置无关,为自由矢为自由矢,滑移、滑移、平移后不改变矩矢效果。平移后不改变矩矢效果。力偶三要素：大小、转向和作用面的方位力偶三要素：大小、转向和作用面的方位.力偶对轴之矩等于力偶矩矢在该轴的投影力偶对轴之矩等于力偶矩矢在该轴的投影.思考思考:图示三变形杆件受力
13、与变形有何相同与不同？图示三变形杆件受力与变形有何相同与不同？MllM2lMFlll0(,)MMF Fz0z(,)MMF F1/3/2023283.3.合力偶定理合力偶定理1 1）对点：）对点：2 2）对轴：上式投影）对轴：上式投影iMMxxyyMMMMMM iiziz222xyzMMMMcos()xM,MM icos()yM,MMjcos()zM,MM k3 3）平面力偶系：）平面力偶系：iMM(矢量和矢量和)(代数和代数和)1/3/2023291.3 力系的简化力系的简化一、力的平移定理一、力的平移定理1.1.过程过程2.2.定理：作用于刚体上的力，可平移至该刚体内定理：作用于刚体上的力，
14、可平移至该刚体内任一点，但须附加一力偶，其力偶矩等于原力对任一点，但须附加一力偶，其力偶矩等于原力对平移点之矩。平移点之矩。用途用途:力系简化的理论基础力系简化的理论基础,可解释某些工程现象可解释某些工程现象.适应：同一刚体。适应：同一刚体。1/3/202330思考：思考：1 1、单手攻丝为何不正确？、单手攻丝为何不正确？2 2、分布力简化正确与否、分布力简化正确与否?3 3、平移可行吗？、平移可行吗？ql/3l12qlFFFMqlql 例例 厂房立柱厂房立柱1/3/202331二二、一般力系向一点简化、一般力系向一点简化1.1.过程过程 选选O为简化中心为简化中心汇交力系的合汇交力系的合力力
15、RiFF 附加力偶系的合力偶矩附加力偶系的合力偶矩 00()iMM F1/3/2023323.3.简化结果简化结果222()()()RxyzFFFF 主矢大小主矢大小 主矢方向余弦主矢方向余弦 cos()xRRF,FF i2220()()()xiyiziMMMM FFF主矩大小主矩大小 00cos()xM,MM i主矩方向余弦主矩方向余弦 2.2.主矢与主矩主矢与主矩原力系的特征量原力系的特征量 主矢主矢Rii FFF,与简化中心无关与简化中心无关主矩主矩00()i MM F,与简化中心有关与简化中心有关1/3/202333问题问题1 1：插入端的受力分析插入端的受力分析 问题问题2 2：变形
16、杆件的内力分析变形杆件的内力分析 ABFoy-轴力轴力 Fox，Foz-剪力剪力Moy-扭矩扭矩 Mox，Moz-弯矩弯矩 平面问题的讨论平面问题的讨论 1/3/2023341/3/202335三、力系的最简形式三、力系的最简形式1.力系的不变量（力系的不变量（不依简化中心不同而改变的量）不依简化中心不同而改变的量）主矢主矢 Ri FF第一不变量第一不变量 0RAMMAOF0RARRRFMFMFAOF故故 0RARFMFM第二不变量第二不变量 力系主矢与主矩的点积不随简化中心变化力系主矢与主矩的点积不随简化中心变化图证图证 1/3/2023362.力系的最简形式力系的最简形式0R F(1)，与
17、零力系等效，平衡与零力系等效，平衡 00M 0R F00M(2),简化为一力偶简化为一力偶 0R F00M(3),简化为一合力简化为一合力 0R F00M(4),0 R.a FM，即 00R FMoRMh=F简化为一合力简化为一合力1/3/202337是力系的最简形式是力系的最简形式力学基本量力学基本量.0 R./bFM 力螺旋力螺旋0 R.与cFM 斜交斜交,力螺旋力螺旋02RRpF有FM0/Rp令MF1/3/202338结论：结论：力系的最简形式有力系的最简形式有:平衡，合力、合力偶和平衡，合力、合力偶和 力螺旋力螺旋4 4 种情形种情形.p为力螺旋参数为力螺旋参数,可见完全由第二不变量确
18、定可见完全由第二不变量确定,称称为第三不变量为第三不变量.力系的第二不变量是否为零力系的第二不变量是否为零,是判断力系能否进是判断力系能否进一步简化成为合力的条件一步简化成为合力的条件.1/3/202339思考思考1：图示力系沿正方体棱边作用，图示力系沿正方体棱边作用，F1=F2=F3=F,其向其向O点点 简化结果是什么？简化结果是什么？力螺旋思考思考2：一般力系简化为合力或合力偶条件是什么？一般力系简化为合力或合力偶条件是什么？思考思考3：哪些特殊力系不可能简化为力螺旋？哪些特殊力系不可能简化为力螺旋？汇交、平面、平行、力偶系思考思考4：某力系对不共线的三个简化中心主矩相同，该力系最某力系对
19、不共线的三个简化中心主矩相同，该力系最 简形式？简形式？力偶合力00R FM000R,FM合力偶 两例两例 1/3/202340例例3：沿图示长方体棱边作用的三力：沿图示长方体棱边作用的三力F1、F2、F3等效于过等效于过O点点 的一个力螺旋。已知的一个力螺旋。已知F2=F3=150N，求求F1，a及力螺旋中及力螺旋中 力偶矩大小。力偶矩大小。1300NF 300 6N moM 解题思路：解题思路：向向O简化简化,得主矢和得主矢和 主矩主矩.利用力螺旋利用力螺旋 性质性质:主矢与主矩主矢与主矩 平行平行,然后求得然后求得F1,进而求得进而求得a和和M0.O4m3F2F1Fyxz4m3ma1/3
20、/202341（平行力系的简化中心）（平行力系的简化中心）一、重心位置一、重心位置 1.1.矢径位置矢径位置 iGG()0ciiGGrrk ciiGGrkrk 即ciirGrG 由合力矩定理由合力矩定理 1/3/202342由于坐标选取的任意性，必有由于坐标选取的任意性，必有 iiGGcrr iicGGrr故重心矢径公式重心矢径公式 2.2.坐标位置坐标位置上式两边分别投影上式两边分别投影iiiiiicccG xG yG zx,y,zGGG1/3/2023433.质心与形心质心与形心 a.质心：质心：注意注意:质心的定义是独立的质心的定义是独立的 iiciiimG=m gmrr当当gi为常量时
21、，质心与重心重合为常量时，质心与重心重合.定义：定义：iiiiiicccm xm ym zx,y,zmmm投影：投影：1/3/202344b.形心：形心：均质薄平板的形心均质薄平板的形心 iiiiccA xA yxyAA iiciiiVm=VVrr定义定义:i当当 为常数时（均质）为常数时（均质）,形心与质心重合形心与质心重合iiiiiicccV xV yV zx,y,zVVV投影投影:,g同为常量，则三心合一。同为常量，则三心合一。1/3/202345二、求重心的几种方法二、求重心的几种方法1.1.计算法计算法（1 1）积分法）积分法将上述求和公式化为定积分将上述求和公式化为定积分,得出常用公式得出常用公式：见附录：见附录.（2 2）组合法，将物体分割为已知重心的部分，）组合法，将物体分割为已知重心的部分，再叠加，包括负面（体）积法再叠加，包括负面（体）积法.例例 1/3/2023462.2.实验法实验法悬挂法悬挂法称重法称重法lxBAGc测得测得l,G,FNB,后后,由由0,NBAcNBcF lMGxFlxG得 1/3/202347思考思考:怎样由地秤测算汽车重心怎样由地秤测算汽车重心.已知已知l，s，r,h,W及所称重量及所称重量,求求a,b,c.1/3/202348
