1、11 平衡问题探骊2 稳定平衡稳定平衡O稍微偏离原平衡位稍微偏离原平衡位置后能回到原位置置后能回到原位置 不稳定平衡不稳定平衡稍微偏离原平衡位稍微偏离原平衡位置后不能回到原位置后不能回到原位置置 随机平衡随机平衡能在随机位置保持平能在随机位置保持平衡衡O2 物体平衡的种类 稳定平衡模型特征O 稍微偏离原平衡位置3对由重力与支持力作用下的平衡对由重力与支持力作用下的平衡 设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之稍偏离原平衡位置稍偏离原平衡位置*或从能量角度考察受扰动后物体重心位置的高度或从能量角度考察受扰动后物体重心位置的高度变化，根据重心是升高、降低
2、还是不变来判断物体变化，根据重心是升高、降低还是不变来判断物体原本是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡；原本是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡；为比较扰动前后物体的受力与态势，要作出直观明为比较扰动前后物体的受力与态势，要作出直观明晰的图示；由于对微扰元过程作的是晰的图示；由于对微扰元过程作的是“低细节低细节”的描的描述，故常需运用合理的近似这一数学处理手段述，故常需运用合理的近似这一数学处理手段 或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量，或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量，即重力对扰动后新支点的力臂，从而判断物体原来即重力对扰动后新支点的力臂，从而判断物体原来的平衡态属于哪一种的平衡
3、态属于哪一种*依问题的具体情况，择简而从依问题的具体情况，择简而从*3 判断物体平衡种类的一般操作对由重力与支持力作用下的平衡 4 如图所示，一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率如图所示，一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为半径分别为a、b且长轴的长度为且长轴的长度为l，蛋圆的一端可以在不光滑的，蛋圆的一端可以在不光滑的水平面上稳定直立求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳水平面上稳定直立求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直立，碗的半径定地直立，碗的半径r需满足的条件需满足的条件 考察质心位置的高度变考察质心位置的高度变化化蛋圆在水平面处稳定平衡蛋圆在水平面处稳定平衡,应满足应满足BAbaClR
4、Rla 低细节低细节描述描述 cos2C MNMCM +蛋尖在球形碗内处稳定平衡蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足应满足微扰情况下微扰情况下、为小量，为小量，cos2RrR +1 cos2rR 22 sin2R 222R bRrRb 整理得整理得1bbR 1bbla 碗的半径碗的半径 b laabrl 续解续解4 如5MNO-M CAC B蛋尖在球形碗内处稳定平衡蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足应满足NMNMNMrb 2 2 2NM cosCM 续解续解 sinC M 续解续解5 MN O -C A B 蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足续解6考察质心位置侧移量考察质心位置侧移量蛋处于稳定平衡的条
5、件是蛋处于稳定平衡的条件是:重力对扰动后新支重力对扰动后新支点点N的力矩可使蛋返回原位，即满足的力矩可使蛋返回原位，即满足低细节低细节描述描述 sinC MMN Rr rRrb bRrRb 1bbR 1bbla 碗的半径碗的半径 b laabrl 222201sincossinab 01sin 0 0 0 0重力对重力对 的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置!O 不稳定平衡不稳定平衡abxx 笔不会因滚动而破坏平衡笔不会因滚动而破坏平衡!1 0 11B1BOA Ca过笔质心的横截过笔质心的横截面面 sin 60COa cos60OBa 0tancosOBCO 临
6、界状态下临界状态下续解续解重力作用线重力作用线1 1 B 1 B O A C a 过笔质心的横截面临界状态下续解重力作用线12127 飞檐问题飞檐问题：如图所示，建造屋顶边缘时，用：如图所示，建造屋顶边缘时，用长度为长度为L的长方形砖块，一块压着下面一块并伸出砖长的的长方形砖块，一块压着下面一块并伸出砖长的1/8，如果不用水泥粘紧，则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒？如果不用水泥粘紧，则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒？这样的几层砖最多可使屋檐这样的几层砖最多可使屋檐“飞飞”出多长？出多长？GL若共堆若共堆n层、每块伸出层、每块伸出1/8的砖而恰未翻的砖而恰未翻倒倒8L8L8L 18LLLn
7、全全C全全nG728L 7n 123n最上最上1 1层砖恰不翻倒层砖恰不翻倒,最多伸出最多伸出2L最上最上2 2层砖恰不翻倒层砖恰不翻倒,最多伸出最多伸出2G4L3G最上最上3 3层砖恰不翻倒层砖恰不翻倒,最多伸出最多伸出2L24LL G262GLxGGL x6L246LLL G以此类推，以此类推，7层砖的最大伸出层砖的最大伸出max111124614LL 1 2 1 2 7 13 如图所示，一矩形导电线圈可绕其中心如图所示，一矩形导电线圈可绕其中心轴轴O转动它处于与轴垂直的匀强磁场中，在磁场的作转动它处于与轴垂直的匀强磁场中，在磁场的作用下，线框开始转动，最后静止的平面位置是图中的用下，线框
8、开始转动，最后静止的平面位置是图中的AOBBBOCBODBO不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡1 3 14 图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的线联结起来，问每一种情况各属哪种平衡？的线联结起来，问每一种情况各属哪种平衡？随机平衡随机平衡稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡给两小球线绳系统一扰动给两小球线绳系统一扰动,从受力角度考从受力角度考察受扰动后察受扰动后,两小球重力沿绳方向力的合两小球重力沿绳方向力的合力指向力指向,从而判断平衡种类从而判断平衡种类!1 4 15llmLm 如图所示装置，它是由一个长如图所示装置
9、，它是由一个长L的木钉、从木钉的木钉、从木钉上端向左右斜伸出两个下垂的、长为上端向左右斜伸出两个下垂的、长为l的细木杆，以及在木杆的末的细木杆，以及在木杆的末端装有质量同为端装有质量同为m的小重球而组成木钉及木杆的质量可忽略，的小重球而组成木钉及木杆的质量可忽略，木杆与木钉间夹角为木杆与木钉间夹角为，此装置放在硬质木柱上，则，此装置放在硬质木柱上，则l、L、间应间应当满足当满足_关系才能使木钉由垂直位置稍微偏斜后，关系才能使木钉由垂直位置稍微偏斜后，此装置只能以此装置只能以O点为支点摆动而不致倾倒点为支点摆动而不致倾倒 为满足题意即系统为满足题意即系统处于稳定平处于稳定平衡衡,给系统一扰动给系
10、统一扰动,两小球重力对两小球重力对O O的力矩应能使系统的力矩应能使系统回到原位回到原位!原平衡位置时原平衡位置时coslL 2mg受一微扰后受一微扰后能回到原位能回到原位coslL 1 5 l l mL m 16 如图所示如图所示,长度为长度为2L、粗细均匀的杆，一端靠在、粗细均匀的杆，一端靠在铅直的墙上，而另一端靠在不动的光滑面上为了使杆即使没有铅直的墙上，而另一端靠在不动的光滑面上为了使杆即使没有摩擦仍能在任意位置处于平衡，试写出这个表面的横截线的函数摩擦仍能在任意位置处于平衡，试写出这个表面的横截线的函数表达式表达式(x)（杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内）（杆总是位于垂直于墙面的竖直
11、平面内）为满足题意即杆为满足题意即杆处于随遇平衡处于随遇平衡,应使杆的重心应使杆的重心始终在始终在x轴轴!OyxC(0,)(x,y)22222xyL+表面的横截线满足表面的横截线满足 222212xyLL+该表面为椭球面的一部该表面为椭球面的一部分分1 6 17 如图所示如图所示,两个质量分别为两个质量分别为m1和和m2的小环能沿着的小环能沿着一光滑的轻绳滑动绳的两端固定于直杆的两端，杆与水平线成一光滑的轻绳滑动绳的两端固定于直杆的两端，杆与水平线成角度角度在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环并使在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环并使m1、m2在其两在其两边设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时，边
12、设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时，直杆与轻环两直杆与轻环两边的绳夹角为边的绳夹角为 试证：试证：2112tantanmmmm m2m1同一光滑绳上张力同一光滑绳上张力处处相同处处相同设为设为FT,m1gFT两小环平衡两小环平衡,分析受力如图分析受力如图:m2gFT 90 90 由力矢量三角形由力矢量三角形:122cos 902cos 90Tm gm gF 12sinsinmm 21sin cossin cossin cossin cosmm 2112tantanmmmm 1 7 18 一根质量为一根质量为m的均匀杆，长为的均匀杆，长为L，处于竖直的位，处于竖直的位置，一端可绕固定的水平轴
13、转动有两根水平轻弹簧，劲度系数置，一端可绕固定的水平轴转动有两根水平轻弹簧，劲度系数相同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数相同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数k为何值时为何值时才能使杆处于稳定平衡？才能使杆处于稳定平衡？为使杆为使杆处于稳定平衡处于稳定平衡,给杆一扰给杆一扰动动,弹簧拉力对弹簧拉力对O O的力矩应的力矩应大于大于杆重杆重力矩力矩!mg FT即即22TLFLmg 其中其中 TFkL 得得4mgkL FT1 8 19 如图所示如图所示,一块厚一块厚d的木板位于半径为的木板位于半径为R的圆柱上，的圆柱上，板的重心刚好在圆柱的轴上方板与圆柱的一根摩擦因数为板的重心
14、刚好在圆柱的轴上方板与圆柱的一根摩擦因数为试求板可以处于稳定平衡状态的条件试求板可以处于稳定平衡状态的条件 RCC 令板从原平衡位置偏转一小角度令板从原平衡位置偏转一小角度 M M板板处于稳定平衡处于稳定平衡条件是条件是重心升高重心升高!2dR 2dcosR 以圆柱轴为参照以圆柱轴为参照,原板重心高度原板重心高度coscos2dR 扰动后重心高度扰动后重心高度sinR 应有应有cossincos22ddRRR 21 2sinsin222ddRRR 2sin2sin22dRR 考虑到考虑到 很很小小,s s i i n n2dR 且且1tan 1 9 20 如图所示如图所示,用均匀材料制成的浮子
15、，具有两个半径均为用均匀材料制成的浮子，具有两个半径均为R的球冠围成的外形，像一粒豆子浮子的厚度的球冠围成的外形，像一粒豆子浮子的厚度h2R，质量为，质量为m1沿浮子对沿浮子对称轴向浮子插入一细辐条，穿过整个厚度辐条长称轴向浮子插入一细辐条，穿过整个厚度辐条长lh，质量为，质量为m2当将浮当将浮子辐条向上地浸于水中时，浮子只有少部分没于水中浮子的状态是稳定的子辐条向上地浸于水中时，浮子只有少部分没于水中浮子的状态是稳定的吗？吗？先由同向平行力合成求浮子重力合力作用点重心位置：先由同向平行力合成求浮子重力合力作用点重心位置：Cm1gm2g2l2hx2121222mlhlhm g xm gxxmm
16、 由由Cl21222Cmhlhmml 故故浮子偏转小角度浮子偏转小角度低细节低细节描述描述21222CmhL hlRmm =当当1222mLRmR h =当当浮子为浮子为不稳定平衡不稳定平衡!1222mLRmR h 当当浮子为浮子为稳定平衡稳定平衡!至题至题92 0 21CC续解续解ClR若若 CClR若若=ClR若若 OCmmh R 3 2300g21 6 84g D 2 2 O O K D h R K D C K O 23 有一长为有一长为0.2 m、截面积为、截面积为2 cm2的均匀细棒，的均匀细棒，密度为密度为5102 kg/m3 在细棒下端钉上一小铁片（不计体积），让细棒竖立在水面，
17、在细棒下端钉上一小铁片（不计体积），让细棒竖立在水面，若细棒露出水面部分的长为若细棒露出水面部分的长为0.02 m，则小铁片质量为多少？，则小铁片质量为多少？不拿去浸在水中的小铁片，在上端要截去多少长度，恰好使不拿去浸在水中的小铁片，在上端要截去多少长度，恰好使上端面与水面齐平？上端面与水面齐平？要使细棒竖在水面是稳定平衡，下端小铁片至少要多重要使细棒竖在水面是稳定平衡，下端小铁片至少要多重?分析此时受力：分析此时受力：CMLSg mg0.9LSg 水水0.9LSgmgLSg 水水 0.9mLS 水水 340.9 0.5100.2 2 10 kg 16g 此时态势为：此时态势为：mgC11LS
18、g 1LSg 水水11LSgmgLSg 水水 1mLS 水水33416 10m=0.5 102 1016cm 4 cmL 低细节低细节描述描述系统为系统为稳定平衡稳定平衡条件是条件是浮心高于合重心浮心高于合重心!22MLMmMmS 水水即即 340.020.020.10.022 102 10mm min8gmC总至题至题112 3 24C总C总C总不稳定平衡不稳定平衡随机平衡随机平衡稳定平衡稳定平衡续解续解2 4 C 总C 总C 总不稳定平衡随机平衡稳定平衡续解25ab 两个相同长方体处于图示位置问当两个相同长方体处于图示位置问当角为多角为多少时它们才可能平衡？长方体与水平面间摩擦因数为少时它
19、们才可能平衡？长方体与水平面间摩擦因数为，长方体长，长方体长b宽宽a长方体间无摩擦长方体间无摩擦 分析受力：分析受力：G0Ff G0fG F 0fG 1tanab 系统系统可能平衡可能平衡条件是条件是在此条件下在此条件下,对右物块由力矩平衡对右物块由力矩平衡 sincoscos2cosbGF bG b G sin coscos sin2cos cos tan2tan 1tan2ab 在此条件下在此条件下,对左物块由力矩平衡对左物块由力矩平衡cos2aGF b sinsin 122tanab 111tanmin tan2,2tanaaabbb sin2cosbG 2 5 a b 26 在互相垂直
20、的斜面上放置一匀质杆在互相垂直的斜面上放置一匀质杆AB，设各接，设各接触面的摩擦角均为触面的摩擦角均为（tg）,求平衡时杆求平衡时杆AB与斜面与斜面AO交角交角的的范围已知斜面范围已知斜面BO与水平面交角为与水平面交角为 ABO三力杆平衡时的几何位置特点三力杆平衡时的几何位置特点:不稳定平衡不稳定平衡杆两端约束力与重力三力汇交杆两端约束力与重力三力汇交当当=时时GABOfA=0 fB=0续解续解结论结论:1O平衡时杆平衡时杆AB与斜面与斜面AO交角交角的范围为的范围为 22 2 6 27当当 时时GOABG-O 90,O AG O AG 90AO G AO G 9090 2 O GAGO GA
21、G =2 2 杆平衡位置与左斜面的夹角杆平衡位置与左斜面的夹角续解续解2 7 当 时 G O A B G -f A=f m 28当当 时时GOGAB 90,O AG O AG 90AO G AO G 9090 O 2 O GAGO GAG =O fA=f m fA=f m fA=f m fB f m fB=f m fA f m,O BG BO G O GBG 2 90 2 杆平衡位置与左斜面的夹角杆平衡位置与左斜面的夹角返回返回-O 2 8 当 时 G O G A B f A=f m f A=29 4个半径均为个半径均为R的光滑球静止于一个水平放置的的光滑球静止于一个水平放置的半球形碗内该半球
22、形碗内该4球球心恰在同一个水平面上，现将相同的第球球心恰在同一个水平面上，现将相同的第5个个球放在前述球放在前述4球之上，而此系统仍能维持平衡，求碗的半径为多少？球之上，而此系统仍能维持平衡，求碗的半径为多少？几何描述几何描述上球对下各球压力由对称性得上球对下各球压力由对称性得 C AE4G24GN=GNT各球三力构成闭合三角形各球三力构成闭合三角形45 sinsin 45NG =1tan5 由力三角形与几何三由力三角形与几何三角形相似求碗半径角形相似求碗半径!碗半径碗半径r由几何三角形由几何三角形2sinsin45rRR =12 13rR max动态分析动态分析minsi12 1326nrrR =结论结论:使系统平衡碗半径使系统平衡碗半径 12 1312 1326RRr 2 9 30D CB AE俯视图PP ABCDE剖面图球心与切点空间位置 C AEPGTN续解续解2RRr minr3 0 D C B A E 俯视图P P A B C D E 剖面图球心与切点空31 C AE碗半径增大碗半径增大,平衡破坏平衡破坏!3 1 C A E 碗半径增大,平衡破坏!32碗半径减小碗半径减小,平衡可维持至此平衡可维持至此!续解续解 C AEP3 2 碗半径减小,平衡可维持至此!续解 C A E P333 3
