1、第第2 2节平面向量基本定理及其坐标表示节平面向量基本定理及其坐标表示考纲展示考纲展示1.1.了解平面向量的基本定理及了解平面向量的基本定理及其意义其意义.2.2.掌握平面向量的正交分解及掌握平面向量的正交分解及其坐标表示其坐标表示.3.3.会用坐标表示平面向量的加法、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算减法与数乘运算.4.4.理解用坐标表示的平面向量共线理解用坐标表示的平面向量共线的条件的条件.知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】1.1.平面内任何两个向量都可以作为一
2、组基底吗平面内任何两个向量都可以作为一组基底吗?提示提示:不能不能,共线的两个向量不可以共线的两个向量不可以.2.2.向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置是否有关向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置是否有关?提示提示:无关无关.表示向量的有向线段可以自由平移表示向量的有向线段可以自由平移,它的起点、终点随之变化它的起点、终点随之变化,但此向量的坐标不变但此向量的坐标不变.知识梳理知识梳理 1.1.平面向量基本定理平面向量基本定理如果如果e e1 1,e e2 2是同一平面内的两个是同一平面内的两个 向量向量,那么对于这个平面内任意向那么对于这个平面内任意向量
3、量a a,有且只有一对实数有且只有一对实数1 1,2 2,使使a a=.其中其中,不共线的向量不共线的向量e e1 1,e e2 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.2.平面向量的正交分解平面向量的正交分解把一个向量分解为两个把一个向量分解为两个 的向量的向量,叫做把向量正交分解叫做把向量正交分解.不共线不共线1 1e e1 1+2 2e e2 2互相垂直互相垂直3.3.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示(1)(1)在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,分别取与分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个轴方向相同的两个 i i,j j作作为基底为
4、基底,对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a a,由平面向量基本定理知由平面向量基本定理知,有且只有一对实数有且只有一对实数x,y,x,y,使得使得a a=x=xi i+y+yj j,这样这样,平面内的任一向量平面内的任一向量a a都可由都可由x,yx,y唯一确定唯一确定,我们把我们把叫做向量叫做向量a a的坐标的坐标,记作记作 ,其中其中x x叫做叫做a a在在x x轴上的坐标轴上的坐标,y,y叫做叫做a a在在y y轴上轴上的坐标的坐标.(2)(2)若若A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则 =(x=(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-
5、y-y1 1).).4.4.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)(1)若若a a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则a ab b=;(2)(2)若若a a=(x,y),=(x,y),则则a a=(x,y).=(x,y).5.5.向量共线的充要条件的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示若若a a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则a ab b .AB 单位向量单位向量(x,y)(x,y)a a=(x,y)=(x,y)(x(x1 1x x2 2,y,y1 1y y2 2)x x1 1y
6、 y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0双基自测双基自测 1.(1.(20182018四川广元月考四川广元月考)已知向量已知向量a a=(3,-1),=(3,-1),b b=(-1,2),=(-1,2),c c=(2,1).=(2,1).若若a a=x=xb b+y+yc c(x,y(x,yR R),),则则x+yx+y等于等于()(A)2(A)2(B)1(B)1(C)0(C)0(D)(D)C C 12C C 3.3.导学号导学号 94626168 94626168 (20182018四川内江月考四川内江月考)在下列向量组中在下列向量组中,可以把向量可以把向量a a=(2,3)=(2,3)
7、表示成表示成e e1 1+e e2 2(,(,R R)的是的是()(A)(A)e e1 1=(0,0),=(0,0),e e2 2=(2,1)=(2,1)(B)(B)e e1 1=(3,4),=(3,4),e e2 2=(6,8)=(6,8)(C)(C)e e1 1=(-1,2),=(-1,2),e e2 2=(3,-2)=(3,-2)(D)(D)e e1 1=(1,-3),=(1,-3),e e2 2=(-1,3)=(-1,3)C C 解析解析:根据平面向量基本定理根据平面向量基本定理.只有只有e e1 1,e e2 2不共线才可不共线才可,验证各选项验证各选项,只有选只有选项项C C中的两
8、个向量不共线中的两个向量不共线.故选故选C.C.解析解析:中中,由于由于a a,b b共线共线,不能作为平面向量的基底不能作为平面向量的基底,错误错误;正确正确;向量向量平移后不变平移后不变,错误错误;当当x x2 2=0=0或或y y2 2=0=0时时,不成立不成立.答案答案:考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理及其应用答案答案:(1)A(1)A 反思归纳反思归纳 (1)(1)用基底表示平面上的其他向量用基底表示平面上的其他向量,其方法是其方法是:先选择一组不共线先选择一组不共线的基底的基底,通过向量的加、减、数乘运
9、算通过向量的加、减、数乘运算,把其他相关的向量用这一组基底表把其他相关的向量用这一组基底表示出来示出来,有时还要利用向量相等建立方程组有时还要利用向量相等建立方程组,解出某些相关的值解出某些相关的值.(2)(2)要熟练运用平面几何的一些性质定理要熟练运用平面几何的一些性质定理.考点二考点二 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 解解:由已知得由已知得a a=(5,-5),=(5,-5),b b=(-6,-3),=(-6,-3),c c=(1,8).=(1,8).(1)3(1)3a a+b b-3-3c c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,
10、-42).=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).反思归纳反思归纳 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知若已知有向线段两端点的坐标有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则想的运用及正确使用运算法则.跟踪训练跟踪训练2:2:已知向量已知向量a a=(5,2),=(5,2),b b=(-4,-3),=(-4,-3),c c=(x,y),=(x,y),若若3 3a a-2-2b b
11、+c c=0 0,则则c c等于等于()(A)(-23,-12)(A)(-23,-12)(B)(23,12)(B)(23,12)(C)(7,0)(C)(7,0)(D)(-7,0)(D)(-7,0)解析解析:因为向量因为向量a a=(5,2),=(5,2),b b=(-4,-3),=(-4,-3),c c=(x,y),=(x,y),且且3 3a a-2-2b b+c c=0 0,所以所以c c=2=2b b-3-3a a=2(-4,-3)-3(5,2)=(-23,-12).=2(-4,-3)-3(5,2)=(-23,-12).故选故选A.A.考点三考点三 共线向量的坐标表示共线向量的坐标表示答案
12、答案:(1)B(1)B 答案答案:(2)C(2)C(3)(-4,-2)(3)(-4,-2)(2)(2)(20192019广东惠州调研广东惠州调研)已知向量已知向量a a=(-1,1),=(-1,1),b b=(3,m),=(3,m),a a(a a+b b),),则则m m等于等于()(A)2(A)2 (B)-2(B)-2(C)-3(C)-3(D)3(D)3(3)(3)设向量设向量a a,b b满足满足|a a|=,|=,b b=(2,1),=(2,1),且且a a与与b b的方向相反的方向相反,则则a a的坐标为的坐标为.2 5解析解析:(2)(2)向量向量a a=(-1,1),=(-1,1
13、),b b=(3,m),=(3,m),a a+b b=(2,m+1),=(2,m+1),因为因为a a(a a+b b),),所以所以-(m+1)=2,m=-3.-(m+1)=2,m=-3.故选故选C.C.反思归纳反思归纳 (1)(1)向量共线的两种表示形式设向量共线的两种表示形式设a a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b b=(x=(x2 2,y,y2 2),),a ab ba a=b b(b b0 0););a ab bx x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0.=0.(2)(2)两向量共线的充要条件的作用两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线判断两向量是否共线(
14、平行平行),),可解决三点共线问题可解决三点共线问题;另外另外,利用两向量共线的利用两向量共线的充要条件可以列出方程充要条件可以列出方程(组组),),求出未知数的值求出未知数的值.备选例题备选例题 易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼忽视平面向量基本定理的条件致误忽视平面向量基本定理的条件致误易错分析易错分析:在平面向量基本定理中在平面向量基本定理中,一定要注意两个基向量不共线这一条件一定要注意两个基向量不共线这一条件.本题在本题在利用向量共线的充要条件列出等式后利用向量共线的充要条件列出等式后,易漏掉当易漏掉当a a,b b共线时共线时,t,t可为任意实数这个解可为任意实数这个解.点击进入点击进入 应用能力提升应用能力提升
